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Algorithmes Combinatoires (2) D´ecompositionencoupes-famillesbipartitives
Christophe PAUL (CNRS - LIRMM)
November 19, 2009
Familles bipartitives Familles des coupes (splits) ´ ` Theoremederepre´sentation
D´ecompositionencoupes(splits) Graph Labeled Trees (GLT) Graphestotalementd´ecomposables Algorithmeincrementalded´ecompositionensplit ´
Graphes de cercles D´ecompositionencoupedesgraphesdecercle
De´compositionetlargeurderang
lempessditpltosIbeturapiititonnoEexlaivirt-nonnoiti
B,
y
|A|>2,|B|>2;
sommets d’un grapheG
= (V,E) est
Coupes (splits)
Une bipartition (A,B) des unecoupe (split)ssi
n1,eKedallceledviai-nrtparttebiItouique
ssi
I
x
et
N(B)
y
A
et
pour
x
xy
I
E
N(A).
Coupes (splits)
Une bipartition (A,B) des sommets d’un grapheG= (V,E) est unecoupe (split)ssi I|A|>2,|B|>2; IpourxAetyB,xyEssixN(B) etyN(A).
Exemples de splits Itoute bipartition non-triviale de la clique Itoute bipartition non-triviale deK
1,n
tiarontitrauipeb.ell
(A1B1,A2B2)est un split;
Th´ ` eoreme La famille des splits d’un graphe est unefamille bipartitive: si (A1,A2) et (B1,B1) sont deux splits tels queA1etB1se chevauchent, alors
Familles bipartitive
aledimafesiellen)estfortehuaucenceehavcuebUnt.lispunst)e2A,1A(noititrapisplitdes)son1B1M12B1BA,A(M1stI;
I
1(AIB2),,A1B2,A(A211B2BA,21B,)A(
1AA,)2seftroetis.Unebipartition(nucutuaeibertrapleelchneaueveach.
Th´ ` eoreme La famille des splits d’un graphe est unefamille bipartitive: si (A1,A2) et (B1,B1) sont deux splits tels queA1etB1se chevauchent, alors I(A1B1,A2B2)est un split; I(A1B2,A1B1), (A2B1,A1B2), (A2B2,A1B1) sont des splits;
Familles bipartitive
ndelitioilleafamA1MB2)estunsplit(I1ABM,1
Th´`eme eor La famille des splits d’un graphe est unefamille bipartitive: si (A1,A2) et (B1,B1) sont deux splits tels queA1etB1se chevauchent, alors I(A1B1,A2B2)est un split; I(A1B2,A1B1), (A2B1,A1B2), (A2B2,A1B1) sont des splits; I(A1MB1,A1MB2)est un split.
e.
Familles bipartitive
milllafanoedititpirartbeavehehcuucuauaenfostesrtllieecenraititnoA(,12Ae)Unebip
Familles bipartitive
Th´or`e e me La famille des splits d’un graphe est unefamille bipartitive: si (A1,A2) et (B1,B1) sont deux splits tels queA1etB1se chevauchent, alors I(A1B1,A2B2)est un split; I(A1B2,A1B1), (A2B1,A1B2), (A2B2,A1B1) sont des splits; I(A1MB1,A1MB2)est un split.
Une bipartition (A1,A2) estfortesi elle ne chevauche aucune autre bipartition de la famille.
les
aretes ˆ
de
T
I
I
T()vvLCCTNopru
Repre´sentationarbore´e
The´`meS itFune famille bipartitive sur l’ensembleX. Il existe oreo un arbreTtel que
feuillesdeTsont en bijection avecX
(u).
en
sont
bipartitions
fortes
les
les
avec
bijection
´dduœnnure´ne´geteeTud´e=SA1uelqA1,A2)nortition(lixesiet-noftr,e´eenetr´udrog´´eetuoapibpI:qtruoterlique´etbledmeeiTerpdudsseœnissoptselI
ssibstpo´etiledIelititnoA(tubepira:Ipourton´er´etq´duoe´geerpTreimœusndedsetquleervTp)C(L=1vSuqAeTteleude´er´g´ene´dduœnnuetsixel,iteor-fon)nA21,N(TuoCr
F={({1,2},),({1,2,3},),({3,4,5},),({1,2,4,5},), ({1,2,3,4,5},),({6,7},),({7,8},),({6,8},), ({6,7,8},),({9,10},)}
Repre´sentationarbor´ee Th´eor`emeSoitFune famille bipartitive sur l’ensembleX. Il existe un arbreTtel que IlesfeuillesdeTsont en bijection avecX IlesesrˆetadeTsont en bijection avec lesbipartitions fortes
)u.
Repre´sentatiarbo´ on ree
The´or`emeSoitFune famille bipartitive sur l’ensembleX. Il existe un arbreTtel que IlesfeuillesdeTsont en bijection avecX IlesraeˆtesdeTsont en bijection avec lesbipartitions fortes
Ilestpossibled´etiqueterlesnœudsdeTpremieroue´nee´rdg´´etq : Ipour toute bipartition (A1,A2) non-forte, il existe un nœud d´ege´ne´re´udeTtel queA1=SvCL(Tv) pourCNT(u).