Ann Inst Fourier Grenoble

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Ann. Inst. Fourier, Grenoble 50, 5 (2000), 1445–1504. Sur certaines equations fonctionnelles arithmetiques R. de la Breteche & G. Tenenbaum Sommaire 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 Equations fonctionnelles approchees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 Valeur moyenne du produit de convolution de deux fonctions arithmetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5 Moments des fonctions de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • specifiques des arbres

  • mono-numerique ?? des structures chimiques

  • evaluation de d12

  • espace fonctionnel

  • constante convenable

  • moment


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble 50, 5 (2000), 1445–1504.
Sur certaines ´equations fonctionnelles arithm´etiques
R.delaBrete`che&G.Tenenbaum
Sommaire 1Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 2anriilimrPe´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ´ 3Equations fonctionnelles approch´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 4moyenne du produit de convolution de deux fonctionsValeur arithme´tiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5Moments des fonctions deE. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 28 5.1Valeursmoyennes:preuveduTh´eor`eme1.2(i). . . . . . . .28 5.2Valeursmoyennes:preuveduTh´eor`eme1.3. . . . . . . . . .29 ´ 5.3Ecartquadratiquemoyen:preuveduTh´eore`me1.2(ii)30 5.4PreuveduTh´eor`eme1.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 6csnerte´oMemtnsdordrekero.1emudeve´hTii2(33i)3:preu ` 7Valeur moyenne de certaines fonctions multiplicatives : preuve dTh´e`me1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 u eor 7.1 M´thode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 e 7.2Re´ductionpr´eliminaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 ´ 7.3 Evaluation deD11(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 ´ 7.4 Evaluation deD12(t). . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 47 ´ 7.5 Evaluation deD13(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 7.6 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 8Fonction de r´epartition def0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
Mots-clefs-tiulsmueiqmhtiite´oitcrasnon:Firht´mtecnitnoastives;foquesaddi plicatives ; fonction de Gutman–Ivi´c–Matula ; graphes ; r´epartition des nombres premiers;´equationsfonctionnellesapproch´ees;ine´galite´deBerryEsseen;trans-forme´edeFourierStieltjes;fonctionscaract´eristiques. Classification math.: 11N37, 05C35, 05C90, 11N60, 11N64.
2R. de la Breteche et G. Tenenbaum ` 1. Introduction Cetarticleapourobjetl´etudedespropri´et´esdere´gularit´edese´le´ments d’une certaine classe de fonctions arithm´etiques compl`etement additives, dont la fonction de Gutman–Ivi´c–Matula,(1),eilstettrvaravitoone´qmaiu le prototype. Elle est d´efinie comme l’unique fonction compl`etement additive ´eriantlarelation v (1·1)f(pk) = 1 +f(k) (k1), oupkde´isngleekrembnomer.ieemprrrevsuoNlsulpsnoommeoincnti-e` ` cette´etudepeutˆetreplong´eedanslaproble´matiqueg´en´eraledeladescrip-tion d’une fonction arithm´etique additive ou multiplicative pour laquelle f(pkile`e´ugeredenfsouncsttiunoen)tresammf(k). La fonctiongimonosevuoadenigirtrnoamhte´amituqensunemod´elisati utilise´eenchimieorganiqueetintroduiteparMatulaen1968[M68]. Lesmole´culesdalcanesnon-cycliques´etantrepre´sentablespardesarbres, Matulade´nitunecorrespondancebijectiveM:A →Nde l’ensemble des arbres dans celui des entiers naturels. Sa construction est r´ecursive : l’arbre trivialT1compos´e d’un seul sommet a pour imageM(T11=)rerbnaau;` ge´n´eriqueAmrnie´etd,-arbsousrles´epaserA1, . . . , Akissus de sa racine, on associe ensuite le nombreM(A) =kj=1pmjo`ulesmjsont d´efinis parM(Aj) =mj(1jk).Ainsi, l’unique arbreT2compos´e de deux sommets satisfait-ilM(T2) =p1= 2 alors que l’arbreT3e´sopmocedrtios sommets align´es est tel queM(T3) =p2= 3 et que l’arbreT3deeom,cs´po trois sommets en triangle, v´erifieM(T3) =p12= 4. Comme le note Matula [M68], on peut repr´esenter par un arbreAtoute mol´eculedalcaneαontidionac,`ueiqalae´rprisiohcednentublemnnoyclc atome de carbone particulier. L’applicationα→M(Aetlaros)rr´epenes un codage des mol´ecules d’alcanes par des nombres entiers. Elk [E89], [E90] a ´etendu ce type de repr´esentationmono-num´eriquedes structures chimiquesa`unevasteclassedecompos´esorganiques.GutmanetYeh ontmontre´dans[GY93]commentlonpeutd´eduirecertainespropri´et´es spe´ciquesdesarbres`apartirdeleurnombredeMatula.Lelecteurtrouvera dans l’article de Gutman et Ivi´c [GI96] un survol de l’histoire et des progr`es re´centsdelathe´oriedesnombresdeMatula. Gutman,Ivic´etElk[GIE93]ontrenouvel´ele´tudedecettecorrespondance en introduisant formellement l’application qui `aM(A) associe le nombre N(α) de carbones deα, mettant ainsi en ´evidence la fonctiongim, qui satisfaitN(α) = 1 +f(M(Anodttaltse`rpmisd´lenieontiecr´evruis))e (1·utman[GI94],GeuqesnitnusnaD.ulilvaraurieert´tovi1m)nt´eeliintrrˆet ` etIvic´onte´tablilencadrementessentiellementoptimal(2) lloogg2nnf(n)olgol5g3n(n7), 1.Cettefonctionestd´esigne´edanslasuitesouslenomdefonctionGIM. 2. Ici et dans la suite, nous d´esignons par log2oinnotcert´eiemafeled´e`ixuedal logarithme.
Sur certaines ´equations fonctionnelles arithm´etiques3 o`ulesbornesconstituentlesordresextr´emauxdef— autrement dit, il existe une infinit´e d’entiersnpour lesquels elles sont asymptotiquement atteintes. Nous introduisons un espace fonctionnel qui contient simultan´ement la fonctiongimet la fonction logarithme. Pour (a, b)R2, nous d´esignons par E(a, bsxe`svalauesrocpmelonsarithm´etiquealcadessofseitcn)lFqui sont comple`tementadditivesetsatisfont`a (1·2)rk=rk(F) :=F(pk)F(k)blog2kka2) log2k/logk(.(3) Ilesta`noter,entouteg´en´eralit´e,quunefonctioncompl`etementadditive Fesdoparlesdunn´eeronbmsetnet´etdieneri`enemF(2) et de la suite {rk(F)}k=2. La fonctiongimtlunique´el´emetnsefdeE(1,0) tel que f(2) = 1 etrk(f) = 0 pour toutkduntmeetaide´mmieluoce.2´dlI th´eor`emedesnombrespremiersquelelogarithmeappartient`aE(0,1). La classeE:=a,bE(a, b) est un espace vectoriel dont la fonction logarithmeest,enuncertainsens,un´el´ementmaximal:onaF(n)logn pour toute fonctionFdeE— cf. Lemme 2.1infra. Unefamilleremarquabled´el´ementsdeEest constitu´ee par la suite {ϕj}jNdes fonctions deE(0,ar0d)eipse´n(1·3)ϕj(2) :=δ1j, rk(ϕj) :=δkj(j1, k2), o`uδkj´edre.reLonbmrKnoceekymboledesignelesϕj(nodetcnr´epenes)r le nombre de sous-arbres cod´es parjapparaissant dans l’arbre cod´e parn. Ainsi,ϕ1(n´dperae´d)bmoneleruefsleilelsdrbacoren. Nous remarquons que{ϕj}jNest une famille totale deEanp,luouoetuotr,o`nsseau fonctionFE, F(n) =F(pj)F(j)ϕj(n) (nN). j=1 Re´ciproquement,unes´erieformellej=1αjϕjunitn´ededtneme´le´E(a, b) si, et seulement si, l’on a αj=a+blog2j+O(log2j/logj) (j2). La fonctiongim, par exemple, v´erifief=j1ϕj. Lame´thodequenousd´evelopponspour´evaluerlesmomentsdes´el´ements deEuqceitnoreavosbsurld´eetfonesoitauqe´sedtnofstisaest´tianquesns 3. Ici et dans tout l’article la notation de Vinogradovfgyolppreueo´emets signifier que|f|C|g|pour une constante convenableC, qui peut ˆetre absolue ou de´pendredecertainsparam`etresauquelcaslad´ependancepourraˆetreindiq´ uee en indice. La notationfgsignifie quefgetgfont lieu simultan´ement.
4deR.Brla`eeteehcT.Gtnenemuab fonctionnellesapproch´ees.Nouse´tablissons`aceteet,auThe´ore`me1.1, unr´esultatge´n´eraldenaturetaub´erienne,posse´dantuninte´rˆetintrins`eque d´epassantlargementlecadredel´etudedelespaceE. Nous obtenons une formule asymptotique pour la valeur moyenne d’une fonction arithm´etique quelconquegen fonction de la quantit´e (1·4)R(x;g) :=x1xg(n)1xpkxg(k)xpkn sous la seule hypoth`ese que l’on a, pour une constante convenableα >0, (1·5)g(n)(logn)α. SoitVl’ensemble des fonctionsU: [1,[Reenbion´orva`aatriiuqtnos sur tout intervalle born´e. Nous d´efinissons deux transformations surVpar les formules U(t) (1·6)U(x) :=1sutpx|U(t)|,TU(x) :=U(e) +ame(xe,x)glodt , et nous posons, sous r´eserve d’existence, U(x) :=U(x)lim+U(x),u`odTU(x) =max(x,e)dolU(gtt). x→ ∞ Uneinte´grationparpartiespermetd´ecrire (1·7)TU(x l) =U(goxx)+ext(lUog(tt))2dt(xe). ` Ansder´efe´rencesult´erieures,nousobservonsd`esa`pre´sentquune condition suffisante pour queTU(x)ocvnreega`inlien:st (1·8) etet(lUgo(tt))2dtconverge. U(x) =o(logx) Dans ce cas, on a (1·9)TU(x l) =Ugo(xx)xt(lU(ogtt))2dt(xe). Nous posons, pour toute fonction arithm´etiqueget tout entierk1, (1·10)Mk(x;g) =g(n)k. 1nx Nousetablissonslere´sultatsuivant. ´ Th´ ` e 1.1.Soitgnofenuetiqthm´narictio1na(treieu´v·5). eorem (i)SiTR(x;g)tend vers une limite finie lorsquex→ ∞, il existe une constanteΦ1(g)telle que (1·11)M1(x;g) =xlog(xlogx)Φ1(g) +TR(x;g) +Oε(xlolog)xg2x avecε(x) := suptxTR(t;g)+ 1/logx=o(1).
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