Ann Inst Fourier Grenoble

De
Publié par

Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 55, 7 (2005), 2423–2474. Sommes des chi?res de multiples d'entiers Cecile Dartyge & Gerald Tenenbaum Sommaire 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Enonces des resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1 Valeurs de ?·sq(hn) et majorations de |Gr(x, y;?;?,h,k)| . . . . . . . . . . . 4 2.2 Quelques pas vers la conjecture de Gelfond et d'autres applications du Theoreme 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Applications aux progressions arithmetiques . . . .

  • vertu de la version multidimensionnelle du theoreme de dirichlet

  • preuve du theoreme

  • sommes des chi?res de multiples d'entiers

  • applications au theoreme

  • entierm ?


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 63
Tags :
Source : iecn.u-nancy.fr
Nombre de pages : 44
Voir plus Voir moins
Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 55, 7 (2005), 2423–2474.
Sommes des chiffres de multiples d’entiers Ce´cileDartyge&G´eraldTenenbaum
Sommaire 1Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 ´ 2Eno ´s des r´esultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 nce 2.1 Valeurs deα·sq(hn) et majorations de|Gr(x, y;ϑ;α,h,k)|. . . . . . . . . . .4 2.2 Quelques pas vers la conjecture de Gelfond et d’autres applications du Th´eoreme 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ` 2.3 Applications aux progressions arithm´etiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2.4 Valeurs moyennes `a coefficients multiplicatifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 3siaermini´rlepaesmeceetntaudsertitseitampsnoUrne´ustltad. . . . . . . . . . .14 4´devitceenoasinoleStdtaulesersiVTu´hoe`rp:ervudeeme2.3.. . . . . .19 un r 5Applications aux sommes d’exponentielles. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 23 6itnoveailrlapsuoGesd´randbioiminoeal. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 24 7ueevudhTe´roe`em1.P2r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 8duTheuvePr5.2roe´eme`. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 9nsduTh´Aepplicatio:5rpueevroe`em.2taul´etsessdesr´ucnonase´§2.2. . . .32 9.1PreuveduThe´ore`me2.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 9.2PreuveduTh´eor`eme2.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 9.3PreuveduTh´eor`eme2.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 9.4PreuveduTh´eor`eme2.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 10Sommes des chiffres et progressions arithm´etiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 11Sommes des chiffres et fonctions multiplicatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
1. Introduction Soitq2.uPonal`aesr´aeugmeonitinrunN, notonssq(n) la somme des chiffres denen baseq. Danslesderni`eresd´ecennies,denombreusesrecherchesontport´esurlare´par-tition asymptotique de la fonction vectorielle n→sq(hn) :=sq(h1n), . . . , sq(hrn)(h:= (h1, . . . , hr)Nr) On pourra notamment consulter les travaux de Stolarsky [22], Schmidt [18], Schmid [17] pour le casq= 2. Dans[17](th´eore`me1.1,p.392),Schmiddonneenparticulier,pourhNret aZrxbleandlraidsnmeleetompsynaucedqutieenu,se´oitamits {0nx:sq(hn) =a} lorsquex→ ∞.
2´G&elareneTdCci´eDale rtyg enbaum D’autres informations sur la loi limite du vecteursq(hnentveeu)ptiseedsrtdee´ud ˆ r´esultatsg´en´erauxdeIndlekoferetKatai[11],[12],concernantlesvaleursmoyennes de fonctions de la formen→g1(h1n)· · ·gk(hkn)ulo`esgj(1jk) sont des fonctionsq-multiplicatives(1)de module 1 : en effet, le choixgj(n) := eitjsq(n)avec tjRfournit la transform´ee de Fourier multidimensionnelle de la loi de r´epartition desq(hn). To´sultatssontvalablesuniquementlorsquelevecteur`acoordonne´es us ces re entie`reshitnouqseacete´il.Ladx´eestneencdaenepd´ladehdes termes d’erreurs et des constantes implicites n’y est pas abord´ee. L’objet principal de ce travail consiste `a preciser quantitativement, y compris du ´ point de vue de l’uniformit´e enhNr, le degr´e d’ind´ependance asymptotique des suitesn→sq(hjn)eaere`tcaracnudtiplimultifouddit.facit(2)enloorˆtUcn effectif du param`etrehnoitacilsavsre`eneeterccuaipluordenombreusesapp arith´etiques. m Pourh:= (h1, . . . , hr)Nr,kNr,αRr,ϑR, nous introduisons les produits scalaires α·sq(hn) =αjsq(hjn), 1jr α·sq(hn+k) =αjsq(hjn+kj). 1jr Commesq(qn) =sq(n) pour tout entiernuon,uopseral´en´it´eassnovsndegeeptr restreindrele´tudeden→α·sq(hnosu`caau)qhjpour 1jr. Par commodit´e, nous appliquons cette mˆeme restriction au cas den→α·sq(hn+k). Posons e(t) := exp(2iπt) (tR).Une mesure de l’ind´ependance asymptotique e´voque´eplushautestfournie,danslecasduncaract`ereadditif,parlamajoration des sommeslongues (1·1)Gr(x;ϑ) =Gr(x;ϑ;α,h) :=eα·sq(hn) +ϑn, nx etcourtes Gr(x, y;ϑ) =Gr(x, y;ϑ;α,h) :=Gr(x+y;ϑ;α,h)Gr(x;ϑ;α,h). Pourdesraisonspr´ecise´esplusloin,nousnousint´eressons´egalementa`lasomme Gr(x, y;ϑ;α,h,k) :=eα·sq(hn+k) +ϑn. x<nx+y 1. Une fonctionq-multiplicativegest une fonction arithm´etique v´erifiantg(a+qtb) = g(a)g(qtb) pour tous nombres entiersa0,b0,t0 tels quea < qt. 2.Commeonleverradansl´´duTh´eor`eme2.12infra, nous englobons le cas d’un enonce caract`eremultiplicatifdanscelui,plusg´en´eral,dunefonctionmultiplicative`avaleurs dans le disque unit´e.
Sommes des chiffres de multiples d’entiers3 Lorsquer= 1, nous avons (1·2)G1qK1;ϑ;α,1=e(αsq(n) +ϑn) = ed(α+ϑqk). n<qK0k<K0d<q En exploitant cette identit´e, Gelfond [9] a ´etabli, pour chaque entierm1, l’existence d’une constanteλ=λm,q]0,1[ telle que l’on ait, uniform´ement pour 1j < m, (m, q1) = 1,ϑR,hN, (1·3)G1(x;ϑ;j/m;h)(hx)λ. Il a en outre montr´e que,λ2,2 3)= (log/cette valeur est en fait optimale, log 4 ; comme l’attestent les r´esultats de Newman [15] relatifs au casr= 1,h= 3,ϑ= 0. Gelfond d´eduit en particulier de (1·3) que, sous la condition (m, q1) = 1, on a 1 =mdx+O(xλ) , nx nb(modd) sq(n)a(modm) avecλ=λm,q, uniformement ena,b,d,m. ´ Lorsquer2, l’identit´e (1·2), qui refl`ete laqe´tiviticnofaledonti-addsq, n’a plus lieu, et il faut recourir `a des techniques diff´erentes. En 1982, Coquet (voir [4], th´eoremes1et3),amontr´eque,silesparame`tresαRr,hNrsont choisis de ` sorte quen→(q1)α·sq(hn) ne soit pas constante modulo 1, on a pour chaque ϑR, (1·4)Gr(x;ϑ;α,h) =o(x). Cette estimation est uniforme enϑ, mais pas enh. Une version effective a ´ete ´ donn´eeparSolinas[21]lorsqueαQretϑ= 0. Cela lui a permis de calculer, pour tousaZr,mN, la densit´e de l’ensemble des entiersnsatisfaisant a ` ` sq(hn)a(modm). A la fin de son article, il cite(3)une majoration, ´etablie dans sath`ese[20],deGr(x;α,h; 0)en fonction deH:= [h1, . . . , hr] et du ppcmmdes denominateurs desαj, soit ´ (1·5)Gr(x; 0;α,h)2111H2x1δ(H,m)(x1), avecδ(H, m sin) := 42(π/2m)/{q4H2log(q4H2)}s’il existe unjtel quemaj(qiuitqfdncu´dieprux´eocstnaieucesopurustlusertaedecer´e.Lapreuv)1 permetdere´duireleproble`mea`le´valuationdespuissancesdunematricedetaille H×H1erauspostes(xsuie´deacila`etnarttetenichesqublemC.te·1) lorsqueϑ= 0 carlamatriceprendalorsunevaleurdi´erentea`chaquepasdelar´ecurrence. 3. Nous rectifions une coquille dans cette assertion.
4nbnemTealudra´e&GgeytraDelice´C Lapremi`erepartiedecetravailestd´evolue`alamajorationdesquantit´s e Gr(x, y;ϑ;α,h,k)ultatsobtenusson´tneno´cseuaaparseL.se´ruonu`o,1.2ehpargs mentionnons ´egalement des majorations moins fortes mais valables pour desr-upletshpour lesquels h:=1mjaxr|hj| est de l’ordre dex. Nous d´eveloppons ensuite divers types d’applications, qui sont explicit´ees aux paragraphes 2.2 `a 2.4.
´ 2.Enonc´esdesresultats ´ 2·1. Valeurs deα·sq(hn)et majorations de|Gr(x, y;ϑ;α,h,k)| Notrere´sultatprincipalfournituneestimationuniformeenϑet cependant effective relativement aux vecteurshetk. Nous notons traditionnellementω(n), ou parfois, pour all´eger les notations,ωn, le nombre des facteurs premiers, compt´es sans multiplicit´e, d’un entiern1. Nousde´signonsparula distance d’un nombre r´eelusitre`emnsealenesedbl etnouse´tendonslad´enition`aRren posant u:=1mjaxujuRr. r ´ Etant donn´es un vecteurαRret un entierX1, il existe, en vertu de laversionmultidimensionnelleduth´eore`medeDirichlet(voirparexemple[24], lemme II.1.14.1), un entierm[1, Xr] tel quemα1/X.Nous notonsm(α;Xr) le plus petit des entiersmurectesunvaloropprteettcanisfaetsixelI.e´te´irisats a´=a(α;X)Zrtel quemαa1/X. Etantdonne´eunepuissancedeq, disons!=qν, nous notons (2·1)n=ej(n)!j j0 led´eveloppementdunentierg´en´eriqueenbase!et posons, pourE0, D0, N(E, D;!) :={n0 :ej(n) = 0 (E < jE+D)}. AinsinN(E, D;!) si, et seulement si,n=a+!E+Dbavec 0a < !E,b0. The´ore`me2.1.SoientrN,αRr, ethNrunr-uplet dont les coordonn´ees sontdeuxa`deuxdistinctesetnondivisiblesparq. On poseh:=h. Il existe des constantes strictement positivesδetK,ned´ependantquedeqetr, telles que lesassertionssuivantessoientv´eri´ees. Notons (2·2)X:= 84(ql1)rohglqog(2Kqh), m:=mα;Xr.
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.

Diffusez cette publication

Vous aimerez aussi