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Cours de Mathématiques (2ème année ) Département de Génie Electrique et Informatique Industrielle IUT du Havre Gisella Croce
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Publié le : mercredi 28 mars 2012
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Source : lmah.univ-lehavre.fr
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èmeCours de Mathématiques (2 année )
Département de Génie Electrique et Informatique Industrielle
IUT du Havre
Gisella CroceTable des matières
1 Avant-propos 3
2 Fonctions de plusieurs variables 4
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Le graphe d’une fonction à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4.1 Dérivées partielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4.2 Composition de fonctions avec des fonctions à une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Intégrales doubles 10
3.1 Comment calculer un volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Propriétés de l’intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Changement de variables dans une intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 Flux d’un champ vectoriel à travers une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.5 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Suites numériques 15
4.1 Définition de suite et de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3 Limites de fonctions et limites de suites numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.4 Rappel sur les limites de fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 Séries numériques 18
5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2.1 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.3 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6 Transformées en z 23
6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.2 Tableau des transformées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.4 Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.5 Relation avec la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.6 Equations aux différences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7 Séries de Fourier 29
7.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
18 Transformée de Fourier 34
8.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.2 Tableau des transformées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9 Appendice : exemples de DS et exercices de révision 37
9.1 Exemple de DS module MA31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9.2 Exemple de DS module MA32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9.3 Document pour le module MA32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.3.1 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.3.2 Transformées en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.3.3 Transformées de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9.4 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9.5 Corrigé des exercices du chapitre Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9.6 Corrigé des exercices du chapitre Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9.7 Corrigé des exercices du chapitre Suites numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
9.8 Corrigé des exercices du chapitre Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9.9 Corrigé des exercices du chapitre Transformées en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
9.10 Corrigé des exercices du chapitre Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
9.11 Corrigé des exercices du chapitre Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
10 Retrouver ce cours sur le web : EUREKA 52
2Chapitre 1
Avant-propos
Ce polycopié a été élaboré à partir de
– notes des cours donnés par Adnan Yassine, Aziz Alaoui et Dominique Soudière au Département de Génie
Electrique et Informatique Industrielle de l’IUT du Havre
– R.V. Churchill, Fourier series and boundary value problems, McGraw-Hill Book Co., 1963
– B. Dacorogna et C. Tanteri, Analyse avancée pour ingénieurs, Presses polytechniques et universitaires ro-
mandes, 2002
– E. Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, 1991
– E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, 1991
– E. Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, 1991
– E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, 1991
– J-M. Monier, Analyse MPSI, Dunod, 2006
Un grand merci à Dominique Soudière, Pierre Maréchal et Mounsif Ech-cherif el-kettani pour leur aide.
Même s’il a été contrôlé plusieurs fois, ce polycopié pourrait contenir des imprécisions, des fautes... merci aux
étudiants qui voudront me signaler les erreurs éventuelles.
Ce cours peut être retrouvé en ligne à la page https ://eureka.univ-lehavre.fr (voir chapitre 10 pour plus de
détails).
Gisella Croce
3Chapitre 2
Fonctions de plusieurs variables
SupposonsdevouloirétudierlatempératureenFrance,parexemple,danslemoisdeseptembre.Ils’agitdétudier
une fonction de trois variables : la position (deux variables) et la variable temps...voici un exemple qui illustre
l’importance des fonctions à plusieurs variables.
2.1 Définition
n nOn appelle fonction de plusieurs variables de R dans R, d’ensemble de définition D ⊆R , toute application
définie par :
nf : D⊆R → R
(x ,..x ) → f(x ,..x )1 n 1 n
2Exemple 2.1.1 1. f (x ,x ) = 3x +4x +7; D =R1 1 2 1 2 f1
22. f (x ,x ) = ln(2x +x +3); D ={(x,y)∈R : 2x+y +3> 0}2 1 2 1 2 f2
3. quel est le domaine de définition de la fonction température en France au mois de septembre?
Dans ce cours on traitera essentiellement les fonctions de deux variables.
2.2 Le graphe d’une fonction à deux variables
2Soit f : D ⊂R →R une fonction à deux variables. Pour représenter son graphe, on se donne le plan xy sur
lequel on positionne le couple (x,y) et sur un troisième axe vertical, au dessus du point (x,y), on positionne un
point à la hauteur f(x,y). Les points ainsi positionnés composent le graphe de f.
En général il peut être difficil de représenter le graphe d’une fonction f à deux variables. Cependant on peut
s’aider avec les "sections". Considérer la sectiony =c consiste à considérer les points (x,c,f(x,c)), c’est-à-dire
la courbe qui se trouve au dessus ou en dessous de la droite y = c (perpendiculaire à l’axe des y). En fait
f(x,c) est une fonction à une variable, dont on peut tracer le graphe, qui est justement une courbe. On peut
pareilement considérer la section x =C, c’est-à-dire les points (C,y,f(C,y)). Ces points composent la courbe
au dessus ou en dessous de la droite x =C (perpendiculaire à l’axe des x).
2Exemple 2.2.1 Soit f(x,y) = x y. La section x = constant nous donne des droites par l’origine; la section
y =constant nous donne des paraboles par l’origine.
Considérer les points du graphe de f qui se trouvent à une même hauteur z donne aussi une idée du graphe0
de f. On appelera les points de l’ensemble {(x,y)∈D :f(x,y) =z } la ligne de niveau à hauteur z .0 0

2 2Exemple 2.2.2 Soit f(x,y) = x +y . Les lignes de niveau sont des cercles de centre (0,0,z) et rayon C
pour C> 0.
4Exemple 2.2.3 Il n’est pas difficile de tracer le graphe des fonctions "radiales", c’est-à-dire des fonctions dep
+2 2la forme f(x,y) = g( x +y ) pour g :R →R. En effet on remarque que f vaut g(α) pour tous les points
(x,y) appartenent au cercle de centre (0,0) et rayon α. Alors il suffit de tracer le graphe de la fonction t→g(t)
dans le plan (t,z) et d’ajouter une dimension perpendiculaire à la feuille pour pouvoir représenter les cercles et
les valeurs de f correspondantes à ces cercles. Cela revient à faire une rotation du graphe de g autour de l’axe
z.
2.3 Fonctions continues
2On dit que f :D⊆R →R est continue en (x ,y )∈D si0 0
lim f(x,y) =f(x ,y )0 0
(x,y)→(x ,y )0 0
2.4 Dérivées partielles
Soit
2f : D⊆R → R
(x,y) → f(x,y)
En analogie avec ce qu’on fait pour les fonctions d’une variable, on voudrait connaître comment varient les
valeurs de f. Pour cela on va utiliser les dérivées partielles.
2.4.1 Dérivées partielles du premier ordre
Les dérivées partielles de f sont deux fonctions de deux variables.
1. Pour obtenir la dérivée partielle de f par rapport à x, on "gèle" la variable y et on dérive f par rapport
∂f
à la variable x. Elle sera notée . Elle nous dit comment varie f par rapport à x.
∂x
2. Pour obtenir la dérivée partielle de f par rapport à y, on "gèle" la variable x et on dérive f par rapport
∂f
à la variable y Elle sera notée . Elle nous dit comment varie f par rapport à y.
∂y

2 ∂f ∂fDéfinition 2.4.1 Le gradient de f :D⊂R →R au point (x,y)∈D est le vecteur ∇f(x,y) = , .∂x ∂y
On peut calculer la dérivée directionnelle de f dans une direction h : ∇f ·h. Cette quantité nous dit comment
varie f dans la direction h.
2Remarque 2.4.2 Le gradient nous donne la direction de plus grande pente. En effet, soit h ∈R un vecteur
direction, c’est-à-dire, |h| = 1. Alors, pour tout vecteur direction on a

∇f

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