Année Scolaire 2011–2012

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Année Scolaire 2011–2012 Lycée Guez De Balzac MATHÉMATIQUES MPSI DS N˚1 Samedi 24/09/2011 (4h) Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction: les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les résultats doivent être encadrés . La calculatrice, les formulaires et les téléphones sont interdits. 1
  • αb −α
  • ⇐⇒ z
  • ∃t ∈
  • point d'affixe
  • −α
  • références des questions
  • référence des questions
  • a′
  • y2 −
  • ⇐⇒
  • x2
Publié le : lundi 26 mars 2012
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Lycèe Guez De Balzac
Annèe Scolaire 2011–2012
MATHÈMATIQUES MPSI
DS N˚1 Samedi 24/09/2011 (4h)
Les candidats sont invitÉs À porter une attention particuliÈre À la rÉdaction: les copies illisibles ou mal prÉsentÉes seront pÉnalisÉes. La rÉfÉrence des questions doit obligatoirement tre mentionnÉe et les rÉsultats doivent tre encadrÉs .
La calculatrice, les formulaires et les tèlèphones sont interdits.
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Exercice 1
Les questions sont indÉpendantes. Q1)Exprimer les assertions suivantes en langage courant. Dire si elles sont vraies ou fausses (justifier), dans le cas d’une assertion fausse, on Écrira sa nÉgation :
a)x]0; 1],y]0; 1]< x, y . 2 2 b)TR,xR,(x+ T) =x.
Q2)Exprimer les assertions suivantes en langage mathÉmatique et les justifier :
a) La fonction carrÉe n’est pas majorÉe dansR. b) L’exponentielle complexe est pÉriodique.
0 0 0 Q3)Soient A,B,C,A,B,C six parties d’un ensemble E telles que : 0 0 ABC = E,AB = AB, 0 0 0 0 BC = BC,CA = CA 0 0 0 AA,BB,CC
0 0 0 Montrer que A = A,B = B et C = C . r 1 +x Q4)En raisonnant par Équivalences, rÉsoudre :61x. 1x
Exercice 2
Les deux questions sont indÉpendantes. n P k Q1)Soitzun complexe etn=un entier supÉrieur ou Égal À 2, on pose : S kz. n k=1 P a) Exprimer S , S et S sans le symbole . 1 2 3 n P n+1k b) DÉmontrer que (1z)S +nz=z. n k=1 c) En dÉduire que lorsquez,1, on a :
n+1n+2 z(n+ 1)z+nz S =. n 2 (1z)
2π i n d) Que vaut S lorsquez= 1 ? Mme question avecz=e. n
iθ 0 Q2)Soitz0=eun complexe avecθ0]π;π[\ {0}. On pose pourn>0 :
|z|+z n n z=. n+1 2
iθ n On Écrit sous forme trigonomÉtrique :z=r eavecr=|z|etθ]π;π]. n n n n n
2
θ niθ/2 n a) Montrer quez=|z|cos( )e. n+1n 2 b) Exprimer|z|en fonction de|z|, etθen fonction deθ. n+1n n+1n c) En dÉduire que :   n Y θ 0 |z|= cos. n k 2 k=1 y n d) On posey= Im(z) (partie imaginaire), montrer quey= . n n n+1 2 e) En dÉduire (pourn>1) que :
n  Y θsin(θ) 0 0 cos =. kθ0 n 2 2 sin(n) k=1 2
ProblÈme
7 z− −i 4 On notef:C\ {1} →C\ {1}dÉfinie parf(z.) = z1 Partie I
Q1)a) Soitz,1, vÉrifier quef(z),1. b) Soitz,1, montrer quef(f(z)) =z. Que pouvez-vous en conclure ? Q2)a) DÉterminer la forme algÉbrique def(z) pourz,1. b)DÉterminer les complexesztels quef(z)R. Donner une interprÉtation gÉomÉtrique simple. c)DÉterminer les complexesztels quef(z)iR. Donner une interprÉtation gÉomÉtrique simple. d)DÉterminer les complexesztels quef(z)U. Donner une interprÉtation gÉomÉtrique simple.   n 7n Q3)Soitnun entier tel quen>2, rÉsoudre dansC:z− −i= (z1) . 4 Q4)a) RÉsoudre l’Équationf(z) =z(on obtiendra deux solutionsaetbavec Re(a)<Re(b)). a1 b) Calculer . b1 bf(z)bz c) Montrer que siz<{1;a}alors =. af(z)az
Partie II
On noteAle point d’axea,Ble point d’axebetCle point d’axe 1 (on remarquera 0 queA,B,Csont alignÉs). PourzC\ {1}on noteMle point d’axezetMle point d’axe f(z). On admettra que quatre points distincts du planA,B,C,Dsont alignÉsousur un mme −→−→−→−→ cercle (cocycliques) si et seulement si : ( CA,DA= ( CB ) ,DB ) (modπ).
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Q5)
−−→−−→−−→−→ 0 0 a)Montrer que siM<{A,B,C}alors (M A,M B) = (MA,MB) (modπ).Que peut-on 0 en dÉduire gÉomÉtriquement pour M ? −−→−−→−−→−→ 0 b) Montrer que ( CM,CM= 2( CM ) ,CB ) (mod 2π). 0 c)En dÉduire une construction gÉomÉtrique simple deMlorsqueMn’est pas sur la droite (AB). Faire une figure. −−→−→ d)SoitMun point de la droite (AB) diÉrent deC, on poseCM=kCBaveckR, −−→1−→ 0 montrer que CM = CB . Conclusion ? k
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MPSI 2011–2012 DS N˚1: Corrigè
Exercice 1
Q1)a)Traduction proposÉe : « L’intervalle ]0; 1] n’a pas de plus petit ÉlÉment ». Cette assertion est vraie x car sixalors en prenant]0; 1] yon a= , yet 0]0; 1] < y < x61. 2 b)Traduction proposÉe : « La fonction carrÉe est pÉriodique ». Cette assertion est fausse. Sa nÉgation 2 2 estTR,xR,(x+ T) =x. Il sut de prendrex= 0. 2 2 Q2)a)Traduction :MR,xR>, x M. Preuve : soitMR, prenonsx=1 +|M|, alorsx= 1+|M|> M, doncxconvient. b)Traduction :TC,zC,exp(z+T) =exp(z). Preuve : prenonsT= 2iπ, on sait d’aprÈs le cours que exp(z+ T) = exp(zor exp(2) exp(T), iπ) = cos(2π) +isin(2π) = 1, donc exp(z+ T) = exp(z). 0 0 0 Q3)D’aprÈs les hypothÈses, pour montrer queA=A, il sut de montrer queAA: soitxA, 0 0 0 supposons quex<A, alorsx<AB, orAB=ABdoncx<B, on en dÉduit quex<B(car 0 0 0 0 BB). De mmex<AC=AC, doncx<C, par consÉquentx<C. Finalement,x<ABC, or 0 0 ABC = E : absurditÉ ; par consÉquentxA, c’est À dire AA . Par permutationA = A et donc 0 0 circulaire sur les lettres A,= B et C = C.B et C, on a Également B Q4) r1+x 06 1x 1 +x61x⇐⇒061x 1x1+x2 (1x)60 1x x[1; 1[ x61 ⇐⇒ 3 1+x(1x) 60 1x ( x[1; 1[ ⇐⇒ 2 x(x3x+ 4)60 2 ⇐⇒x[1; 0] (car le trinÔmex3x+ 4 est toujours positif)
Q1)
Exercice 2
2 2 3 a) On a S1=z,S2=z+ 2zet S3=z+ 2z+ 3z.  !  !  !  ! n n n n+1 P P P P k k+1k k b)(1z)Sn=SnzSn=kzkz, ce qui donne (1z)Sn=kz(k1)z(en k=1k=1k=1k=2  ! n P k n+1 posantq=kpuis+ 1, k=q), on a alors (1z)Sn=z+znz, et par consÉquent : k=2 n X n+1k (1z)Sn+nz=z . k=1
n+1 n Pzz k c)Lorsquez,1 on az= (somme de termes consÉcutifs d’une suite gÉomÉtrique de 1z k=1 n+1n+1n+1n+2 zz n+1zznz+nz raisonz). On en dÉduit alors que (1z)S=nz, c’est À dire (1z)S= , n n 1z1z n+1n+2 z(n+ 1)z+nz par consÉquent Sn= . 2 (1z)
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Q2)
Q1)
Q2)
n Pn(n+ 1) i2π/ n d)Siz= 1 alorsSn=k= . Siz=e, alors sin= 1 on az= 1 et on est ramenÉ 2 k=1 À la question pÉcÉdente, sin>2 alorsz,1, on peut donc utiliser la formule de la question 2 z(n+ 1)z+nz nz n prÉcÉdente : Sn= = , carz= 1. 2 (1z)z1 rθ θ θ niθniθ/2n n n n [ ] =r)cos( os( >0, par consÉquent : a) On azn+1=21 +en)e, or]π/2;π/2] donc c2 2 2
θnθn rn+1=rnetcos( ) θn+1= 2 2
θ 0 b) On en dÉduit par une rÉcurrence simple, queθn= n 2
y 10 y c)yn+1=2n, doncyn=n, c’est À dire : 2
n  Y θ 0 rn= cos k 2 k=1
sin(θ) 0 yn= n 2
et donc pourn>1 :
θ θ 0 0 ) =rsin(n), or sinn)>0, par d) On a aussiyn=rnsin(θn n2(2consÉquent :
n  Y y θ0nsin(θ0) cos =rn= = kθ θ 0n0 2 sin(n) 2 sin(n) k=1 2 2
ProblÈme
Partie I 7 a)Posonsα= +i,fest bien dÉfinie surC\ {1}, sif(z) = 1 alorszα=z1 d’oÙα= 1 ce qui est 4 absurde doncf(z)C\ {1}. b) On a :
zα f(z)αα z1 f(f(z=)) = zα f(z)11 z1 zαα(z1)z(1α) = = zαz1+ 1 α =z
On en dÉduit quefest une bijection et qu’elle est sa propre rÉciproque (involution).
(zα)(z1)zzαzz+α a)f(zen posant= , ) = z=x+iy, on en dÉduit que : 2 2 |z1| |z1|
2 2 x+y7x/4yx+ 7/4 7y/4xy+ 1 f(z+) = i 2 2 |z1| |z1|
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Q3)
d’oÙ
3y 2 2 11x7 x+y− −y+ 1x+ 4 4 4 f(z+) = i . 2 2 |z1| |z1| 3y( 3y 1x+ 41x+ = 0 4 b)f(z)R⇐⇒Im[f(z)] = 0⇐⇒= 0⇐⇒ce qui revient À dire 2 |z1|z,1 3y que : le point M(z) est sur la droite d’Équation 1x0 privÉe du point C(1)+ = . 4 ( 2 2 11x7 x+y− −y+ = 0 4 4 c)f(z)iR⇐⇒Re[f(z)] = 0⇐⇒ z,1 h i 2 2 11 1 2 5 (x() + y) = 8 2 8 ⇐⇒, ce qui revient À dire que : z,1
11i5 le point M(z+ ) ) est sur le cercle de centre I( privÉ du point C(1)et de rayon . 8 2 8 ( zα|zα|=|z1| d)f(z)U⇐⇒= 1|⇐⇒ ⇐⇒ zα|=|z1|, ce qui revient À dire z1z,1 que : le point M(z) est sur la mÉdiatrice du segment [C(1),D(α)] (d’Équation 24x+ 32y= 49). ( ( 2 zα=z(z1)z2z+α= 0 2 a)f(z) =z⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒z2z+α= 0 [car 1 n’est z,1z,1 2 pas solution], le discriminant estΔ= 44α=34i, on chercheδ=x+iytel queδ=34i   2 2 2 xy=3x= 1x=±1     2 2 2 ce qui donnex+y= 5⇐⇒y= 4⇐⇒y=±2, on peut prendre     2xy=4xy=2 2xy=4 2 +δ3 δ= 12ice qui donne comme racines pour l’Équation du second degrÉ :z1= =iet 2 2 2δ1 1 3 z2= = +i, on a donc :a= +ietb=i . 2 2 2 2 1 a1+i 2 b) On a = =1 . 1 b1 i 2 c) On sait quea=f(a) etb=f(b), donc
(bα)(z1)(zα)(b1) bαzα bf(z)f(b)f(z)(b1)(z1) b1z1 = = = aαzα (aα)(z1)(zα)(a1) af(z)f(a)f(z)a1z1 (b1)(z1) a1 (bα)(z1)(zα)(b1) =× b1 (aα)(z1)(zα)(a1) bzbαz+αzb+z+αbα =azaαz+αza+z+αaα bαz+αb+z(bz)(α1)bz ===. aαz+αa+z(az)(α1)az
Partie II
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