APPLICATION DE HODGE TATE DUALE D'UN GROUPE DE LUBIN TATE IMMEUBLE DE BRUHAT TITS DU GROUPE LINEAIRE ET FILTRATIONS

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APPLICATION DE HODGE-TATE DUALE D'UN GROUPE DE LUBIN-TATE, IMMEUBLE DE BRUHAT-TITS DU GROUPE LINEAIRE ET FILTRATIONS DE RAMIFICATION LAURENT FARGUES Resume. L'un des buts de cet article est de decrire l'isomorphisme entre les tours de Lubin- Tate et de Drinfeld au niveau de leurs squelettes apres quotient par GLn(OF ) ? O?D ou bien I ?O?D ou OD est l'ordre maximal dans l'algebre a division d'invariant 1 n sur F et I un sous- groupe d'Iwahori de GLn. Nous donnons des applications a l'etude des sous-groupes canoniques sur les espaces de Lubin-Tate, la description des orbites de Hecke spheriques dans ces espaces, les domaines fondamentaux pour les correspondances de Hecke et l'application des periodes de Gross-Hopkins. Nous-y etudions egalement en detail les filtrations de ramification (inferieure et superieure) et l'application de Hodge-Tate d'un groupe formel p-divisible de dimension un. Abstract. One of the goals of this article is to describe the isomorphism between Lubin-Tate and Drinfeld towers at the level of their skeletons after taking quotient by GLn(OF ) ?O?D or I?O?D where OD is the maximal order in the division algebra with invariant 1 n over F and I a Iwahori subgroup of GLn. We give applications to the theory of canonical subgroups on Lubin- Tate spaces, the description of spherical Hecke orbits in those spaces, fundamental domains for Hecke correspondences and the Gross-Hopkins period mapping.

  • action des correspon- dances de hecke

  • hodge-tate

  • groupe formel

  • filtrations de ramification

  • espace des polygones de newton

  • point dans l'immeuble


Publié le : mardi 19 juin 2012
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APPLICATION DE HODGE-TATE DUALE D’UN GROUPE DE LUBIN-TATE,
´IMMEUBLE DE BRUHAT-TITS DU GROUPE LINEAIRE ET FILTRATIONS
DE RAMIFICATION
LAURENT FARGUES
´ ´Resume. L’un des buts de cet article est de d´ecrire l’isomorphisme entre les tours de Lubin-
×
Tate et de Drinfeld au niveau de leurs squelettes apr`es quotient par GL (O )×O ou bienn F D
× 1I×O ou` O est l’ordre maximal dans l’alg`ebre a` division d’invariant sur F et I un sous-DD n
groupe d’Iwahori de GL . Nous donnons des applications a` l’´etude des sous-groupes canoniquesn
sur les espaces de Lubin-Tate, la description des orbites de Hecke sph´eriques dans ces espaces,
les domaines fondamentaux pour les correspondances de Hecke et l’application des p´eriodes de
Gross-Hopkins. Nous-y ´etudions ´egalement en d´etail les filtrations de ramification (inf´erieure et
sup´erieure) et l’application de Hodge-Tate d’un groupe formel p-divisible de dimension un.
Abstract. One of the goals of this article is to describe the isomorphism between Lubin-Tate
×and Drinfeld towers at the level of their skeletons after taking quotient by GL (O )×O orn F D
× 1I×O whereO is the maximal order in the division algebra with invariant over F and I aDD n
Iwahori subgroup of GL . We give applications to the theory of canonical subgroups on Lubin-n
Tate spaces, the description of spherical Hecke orbits in those spaces, fundamental domains for
Hecke correspondences and the Gross-Hopkins period mapping. We also study in details the
ramification filtrations (upper and lower) and the Hodge-Tate map of a one dimensional formal
p-divisible group.
Introduction
Soit F une extension de degr´e fini de Q et n ≥ 1 un entier. L’un des buts de cet article estp
de d´ecrire l’isomorphisme entre les squelettes des tours de Lubin-Tate et de Drinfeld apr`es quo-
× ×tient par GL (O )×O ou bien I ×O ou` O est l’ordre maximal dans l’alg`ebre `a divisionn F DD D
1d’invariant etI un sous-groupe d’Iwahori de GL . Aucun des r´esultats de cet article ne d´ecoulenn
de l’existence de cet isomorphisme. Par exemple, le fait que l’isomorphisme entre les deux tours
induise une application au niveau des “squelettes” ne d´ecoule pas de son existence. Les r´esultats
de cet article donnent des compl´ements sur la structure de cet isomorphisme. R´eciproquement ils
ne sont pas n´ecessaires a` sa construction.
L’isomorphismeentrelestoursdeLubin-TateetdeDrinfeldauniveaudespointsdeFaltings([6],
cf. ´egalement le chapitre II de [7] pour une version plus d´etaill´ee) est un isomorphisme GL (F)×n
×D -´equivariant en niveau infini

LT Dr∞ ∞
×n−1˚ Dr /O =ΩLT /GL (O )=B ∞∞ n F D
n−1˚ou`LT d´esigne “la tour de Lubin-Tate en niveau infini”,Dr celle de Drinfeld,B la boulep-∞ ∞
n−1adique“ouverte”endimensionn−1etΩ⊂P l’espacedeDrinfeld.Ilinduitunhom´eomorphisme
2000 Mathematics Subject Classification. 14Gxx.
Key words and phrases. Lubin-Tate spaces, Drinfeld spaces, p-divisible groups, Hodge-Tate decomposition,
Bruhat-Tits building.
1
//2 frenchLAURENT FARGUES
des espaces analytiques p-adiques de Berkovich associ´es

|LT |−→|Dr |∞ ∞
×
Par passage au quotient par GL (O )×O il induit donc une applicationn F D
× n−1˚O \|B |−→ GL (F)\|Ω|nD
On va d´ecrire cette application au niveau des squelettes de ces deux espaces.
Plutˆot que de tenter de d´ecrire le r´esultat g´en´eralexplicitons ce que cela signifie sur la figure 1
×
dans le cas de GL pour le quotient par GL (Z )×O :2 2 p D
– L’espace de Lubin-Tate sans niveau (la tour de Lubin-Tate quotient´ee par GL (Z )) est2 p
1˚une boule ouverte p-adique au sens de Berkovich B . Dans ce cas l`a appelons squelette de
˚1B un rayon de cette boule ]0,+∞]. Il y a une r´etraction (la fl`eche verticale de gauche)
˚1|B |−→]0,+∞] donn´ee par la valuation de la coordonn´ee dans la boule.
×– L’espace de Drinfeld sans niveau (la tour de Drinfeld apr`es quotient parO ) est l’espace ΩD
de Drinfeld ayantpourC -pointsC \Q . Son squelette est l’arbre de Bruhat-TitsI de GL .p p p 2
Il y a une r´etraction (la fl`eche verticale de droite)|Ω|−→I qui apr`es quotient par GL (Z )2 p
fournit une r´etraction GL (Z )\|Ω|−→GL (Z )\I.2 p 2 p
2– SiD d´esigne une demi-droite simpliciale d’origine la classe du r´eseauZ dans l’arbreI alorsp

D est un domaine fondamental pour l’action de GL (Z ) surI etD−→GL (Z )\I.2 p 2 p
– L’isomorphisme entre les deux tours induit une application ]0,+∞]−→D
– On d´ecrit alors compl`etement la structure simpliciale sur ]0,+∞] d´eduite de celle surD par
l’application pr´ec´edente.
– Apr`esquotientparune“petite”partiede]0,+∞]l’applicationinduitunisomorphisme(fl`eche
du bas).
Le r´esultat est du mˆeme type pour GL , bien qu’un peu plus compliqu´e `a ´enoncer.n
Ω
GL (Z )
2 p
x
v(x)
q GL (Z )q+1 2 p
+ 1 1 1 0
q+1 2q(q+1) q (q+1)
isomorphisme
Fig. 1. Le cas de GL2
Ind´ependamment de l’isomorphisme entre les deux tours la structure simpliciale que nous ex-
plicitons sur l’espace de Lubin-Tate a de nombreuses applications comme l’´etude des sous-groupes
canoniques, la d´etermination de domaines fondamentaux pour les correspondances de Hecke et
l’´etude du morphisme des p´eriodes.
L’un des autres buts de cet article est d’´etudier en d´etails la filtration donn´ee par la valuation des
points de torsion sur un groupe formel p-divisible de dimension un.
D´ecrivons succinctement le contenu de chacune des parties de l’article :
8´frenchAPPLICATION DE HODGE-TATE ET IMMEUBLE DU GROUPE LINEAIRE 3
– Dans le premier chapitre nous donnons une formule pour la valuation p-adique des p´eriodes
de Hodge-Tate du dual de Cartier d’un groupe p-divisible formel de dimension un sur un
anneau de valuation (pas forc´ement discr`ete) complet pour une valuation de hauteur 1. En
fait, nous consid´erons plus g´en´eralement le cas d’un O-module formel π-divisible ou` O est
l’anneau des entiers d’une extension de degr´e fini de Q . Dans ce cas la bonne notion dep
dualit´e remplac¸ant la dualit´e de Cartier est celle d´efinie par Faltings ([5]). Le lecteur ne
connaissant pas la th´eorie de [5] pourra supposerO =Z .p
– Danslesecondchapitreon´etudielafiltrationdonn´eeparlavaluationsurlespointsdetorsion
d’un groupe formelπ-divisible de dimension 1. Cette filtration fournit une famille de r´eseaux
danslemodule deTaterationnelV .L’imagedansl’immeuble de Bruhat-Titsde PGL(V )dep p
cetensembleestunensemblefinidesommets.Deplus les´el´ementsde valuationsuffisamment
petite d´ecrivent un simplexe S de cet immeuble. L’un des principaux r´esultats est que cet
ensemble est contenu dans un appartement et peut ˆetre reconstruit g´eom´etriquement dans
l’immeuble `a partir du simplexeS et du sommet donn´e par le r´eseauT ⊂V ou` T d´esignep p p
le module de Tate.
Nous donnons ´egalement une description combinatoire du simplexe S `a partir du polygone
de Newton de la multiplication par π sur une loi de groupe formel associ´ee.
– Letroisi`emechapitreestinspir´eparlestravauxd’Abbes-SaitoetAbbes-Mokrane([1]).Lafil-
trationsurlespointsdetorsion´etudi´eedansledeuxi`emechapitresecomportebienparrestric-
tion `a un sous-groupe: siH est un groupe formelp-divisible de dimension 1 etG ⊂G ⊂H2 1
des sous-groupes plats finis alors ∀λ{x∈ G | v(x)≥ λ}∩G ={x∈ G | v(x) ≥ λ}. Par1 2 2
contre cette filtration dite de “ramificationinf´erieure” ne se comporte pas bien par isog´enies.
C’estlecasdelafiltrationd´efinieentouteg´en´eralit´esdans[1].Danslecasquenous´etudions,
celui des sous-groupes plats finis d’un groupe formel p-divisible de dimension 1, l’alg`ebre de
ces groupes est monog`ene et la filtration de ramification sup´erieure de [1] est obtenue par
r´eindexation de la filtration de ramification inf´erieure via une fonction de Herbrand. Cela
est expliqu´e dans l’appendice B. La terminologie “inf´erieure/sup´erieur” provient par analo-
gie avec la th´eorie des groupes de ramification des groupes de Galois des corps locaux : les
groupes de ramification inf´erieure se comportent bien par restriction `a un sous-groupe de
Galois tandis que ceux de ramification sup´erieure se comportent bien vis `a vis d’un quotient.
Nous ´etudions cette filtration de ramification sup´erieure ainsi que son image dans l’im-
meuble de la mˆeme fac¸on que dans le chapitre deux.
– Dans le quatri`eme chapitre on ´etudie le point de la r´ealisation g´eom´etrique de l’immeuble
d´efiniparl’applicationdeHodge-Tateduduald’unO-moduleformelπ-divisiblededimension
un. Ce point est la classe d’´equivalence de la norme sur le module de Tate rationnel donn´ee
par la valuation de l’application de Hodge-Tate ´etudi´ee dans le premier chapitre. On donne
des formules int´egrales pour cette norme en fonction des filtrations ´etudi´ees aux chapitres 2
et 3. Cette formule est particuli`erement simple lorsque formul´ee en termes de la filtration de
ramification sup´erieure (proposition 14).
L’un des principaux corollaires de ces formules est que ce point dans l’immeuble est contenu
dans la r´ealisation g´eom´etrique|S| du simplexe S d´efini au chapitre 2.
– Dans le chapitre 5 ond´efinit et´etudie une structure simpliciale sur le squelette de l’espace de
Lubin-Tatesansniveau.Le bonobjetn’estpasenfaitce squelettemaisplutoˆtunquotientde
celui-ci, l’espace des polygones de Newton. On d´ecrit compl`etementune structure simpliciale
sur cet espace des polygones de Newton ainsi que l’action de certains op´erateurs de Hecke
sur cet espace simplicial.
La d´efinition de cette structure simpliciale est inspir´ee des r´esultats des chapitres 2 et 4.
– Dans le chapitre 6 on montre que la bijection entre les points des tours de Lubin-Tate et de
Drinfeldinduitunisomorphismeentrel’espacedespolygonesdeNewtonmunide lastructure
simpliciale d´efinie au chapitre 5 et le quotient de l’immeuble de PGL par un sous-groupen
compact maximal.
– Le chapitre 7 est consacr´e aux applications de la structure simpliciale sur l’espace des poly-
gones de Newton et de l’action des op´erateurs de Hecke sur celle-ci. Certains raisonnements
sur l’espace de Lubin-Tate s’interpr`etent naturellement sur un appartement de l’immeuble.4 frenchLAURENT FARGUES
Parexemple ond´emontreque l’existence de sous-groupescanoniquesen un sens g´en´eralis´e
est´equivalent`acequelepointdansl’immeublesoitcontenudansuncertaindemi-appartement.
Cela d´emontre par un simple raisonnement g´eom´etrique que le “bord” de l’espace de Lubin-
Tate est recouvertpar des ouverts admissibles sur lesquels il y a des sous-groupescanoniques
puisque c’est le cas dans l’immeuble. L’application quotient par un sous-groupe canonique
se comprend ´egalement tr`es facilement sur l’immeuble, de mˆeme que l’action des correspon-
dances de Hecke.
Coupl´e aux r´esultats des chapitres pr´ec´edents cela donne une condition n´ecessaire et suffi-
sante pour l’existence de sous-groupes canoniques g´en´eralis´es en termes de l’application de
Hodge-Tate du groupe p-divisible formel de dimension 1, comme dans [1].
Ong´en´eralise´egalementledomainefondamentaldeGross-Hopkins([8])grˆace`acette´etude
sur l’immeuble : n’importe quel domaine fondamental poly`edral dans le simplexe standard
n+1Convexe(e ,...,e ) ⊂ R sous l’action du groupe des rotations engendr´ees par e →0 n 0
e ,e →e ,...,e →e fournit un domaine fondamental pour l’action des correspondances1 1 2 n 0
de Hecke dans l’espace de Lubin-Tate.
– Dansle chapitre8 ong´en´eraliselesr´esultatspr´ec´edentsaucasde l’espacede Lubin-Tateavec
structure de niveau Iwahori. Dans ce cas l`a l’espace est une couronnep-adique g´en´eralis´eeet
sonsqueletteunsimplexe“ouvert”.Ond´efinitet´etudiealorscommeauparavantunestructure
simpliciale sur ce simplexe et montre que via l’isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate
et de Drinfeld ce simplexe ouvert est isomorphe au quotient de l’immeuble par un sous-
groupe d’Iwahori. Enfin on peut comprendre facilement graˆce a` cette ´etude le morphisme de
l’espace de Lubin-Tate avec niveau Iwahori vers celui sans niveau au niveau des squelettes.
Ce chapitre ne contient aucune d´emonstration, les d´emonstrations ´etant semblables `a celles
du cas de l’espace de Lubin-Tate sans niveau elles sont laiss´ees au lecteur.
– Enfin l’appendice A contient des rappels sur l’immeuble de Bruhat-Tits de PGL .n
Certains des aspects de cet article apparaissent d´eja dans les travaux de Yu [12]. Cet article
peut donc ˆetre en quelques sortes consid´er´e comme une suite de [12], suite qui permet de com-
prendre pourquoi les calculs effectu´es dans [12] font apparaˆıtre l’appartement d’un immeuble de
Bruhat-Tits.
Remerciements : L’auteur tient a` remercier Alain Genestier et Vincent Lafforgue pour de nom-
breuses discussions sur le sujet. C’est en particulier Alain Genestier qui a sugg´er´e d’introduire le
simplexe de la d´efinition 4, simplexe qui a sugg´er´e a` l’auteur d’´etudier plus en d´etails les filtrations
de ramification. Ils ont ´egalement sugg´er´e a` l’auteur l’´etude du cas Iwahori faite au chapitre 8.
1. Une formule pour la valuation p-adique de l’application de Hodge-Tate du
dual d’un groupe de Lubin-Tate
Soit F|Q une extension de degr´e fini et O = O son anneau des entiers. On note π unep F
uniformisante de O et q le cardinal de son corps r´esiduel. On appelle O-module π-divisible un
groupep-divisible sur une base au dessus deO , muni d’une action deO telle que l’action induiteF
sur l’alg`ebre de Lie soit l’action canonique.
Soit K|F un corps valu´e complet pour une valuation v a` valeurs dans R ´etendant celle de F.
Soit H unO-module π-divisible formel de dimension 1 et de hauteur finie n surO .K
Supposons d’abord que O = Z . Le but de cette section est de donner une formule pourp
l’application compos´ee
α DH vDT (H )−−−−→ω ⊗O ≃O −→R ∪{∞}p H b b +K K
D D D Dou` α D est l’application de Hodge-Tate de H : si x ∈ T (H ), x : Q /Z −→ H et x :p p pH OcK
H −→μ ∞ alorsO p /Oc cK K
dTD ∗α D(x) = (x )H
T´frenchAPPLICATION DE HODGE-TATE ET IMMEUBLE DU GROUPE LINEAIRE 5
PourO plus g´en´eral queZ nous donnons une formule pour la compos´eep
Oα ∨ v∨ H
T (H )−−−→ω ⊗O ≃O −→R ∪{∞}p H b b +
K K
∨ou` H est le dual strict au sens de Faltings ([5]). Si LT d´esigne un groupe de Lubin-Tate de
∨ ∨O-hauteur 1 alors `a x∈T (H ) est associ´e un morphisme x :H −→LT qui d´efinit doncp O /Oc cK K
O ∨ ∗α ∨(x) =(x ) β apr`es choix d’un g´en´erateurβ de ω .LTH
bIl est clair que pour le probl`eme auquel on s’int´eresse on peut supposer que K = K, ce que
nous ferons dans la suite.
On va ´egalement faire l’hypoth`ese suppl´ementaire suivante.
Hypoth`ese : Soit k le corps r´esiduel de K, un corps alg´ebriquement clos. Il existe alors uneK
unique section ǫ comme morphisme de O -alg`ebresF
ǫ
O /πO kK K K
On demande alors que lesO-modulesπ-divisibles (H⊗ k )⊗ O /πO etH⊗ O /πOO K k ,ǫ K K O K KK K K
soient isog`enes. Cela est encore ´equivalent a` supposer que pour un λ v´erifiant 0 < λ ≤ 1, si
m = {x ∈ O | v(x) ≥ λ}, alors H ⊗O /m est isomorphe a` un groupe constant via ǫ,λ K K λ
(H⊗ k )⊗ O /m . Une autre condition ´equivalente consiste a` dire que H provient d’unO K k ,ǫ K λK K
point de l’espace des d´eformations de Lubin-Tate du groupe H⊗ k a` valeurs dans O .O K KK
Remarquons que cette hypoth`ese est automatique siH est d´efini sur l’anneau des entiers d’une
extension de F dont la valuation est discr`ete. Les groupes p-divisibles ne la satisfaisant pas ont
peu d’int´erˆet.
Convention : Dans cet article tous les groupes p-divisibles sur un anneauO , avec K|F valu´eeK
b
compl`ete, satisfairont a` l’hypoth`ese pr´ec´edente lorsqu’on ´etend les scalaires a` K
1.1. P´eriodes de Hodge-Tate de certains sch´emas en groupes de type (p,...,p).
1.1.1. Le cas O =Z . Soit G un sch´ema en groupes fini localement libre d’ordre p sur une basep
affineSpec(R)audessusdeSpec(Z ).D’apr`es[11],ouplusg´en´eralement[9],ilexistealorsγ,δ∈Rp
tels que γδ =w, ou` w∈Z est une constante universelle de valuationp-adique 1, tels quep
pG ≃ Spec(R[T]/(T −δT))
D p
G ≃ Spec(R[U]/(U −γU))
Alors,
ω ≃ R/δR.dTG
ω D ≃ R/γR.dUG
et
D
α D :G −→ ωGG
u −→(u mod δ).dT
Si R =O avecK comme pr´ec´edemment alorsv(γ)+v(δ) =1 etK
v(γ)D∀u∈G (O ) v(u)=K
p−1
et donc on connaˆıt le sous-moduleO .Imα D de ω D d`es que l’on connaitv(Ann ω ) =v(δ) ouK GG G
bien v(Ann ω D)=v(γ).G
/v/v//6 frenchLAURENT FARGUES
1.1.2. Le cas O g´en´eral. Soit R une O-alg`ebre. Soit G un sch´ema en groupes fini et localement
libre sur Spec(R). Supposons le muni d’une action deO/πO et de type (p,...,p) relativement `a
cette action. L’anneauR ´etant uneO-alg`ebre il y a un caract`ere
Teichmu¨ller× × ×χ:(O/πO) −−−−−−−→O −→R
Z/rZD’apr`es [9] il existe alors (γ ,δ ) ∈ R tels que γ δ = w ∈Z est de valuation p-adiquei i i∈Z/rZ i i p
1, localement sur Spec(R) G≃ Spec(A) avec
p
A =R[T ] /(T −δ T )i i∈Z/rZ i i+1i
×et l’action de (O/πO) sur A induite par l’action de O/πO sur G se fait sur T `a travers lei
ipcaract`ereχ . On a alors
M
ω ≃ R/δ R.dTG i−1 i
i∈Z/rZ
Supposons maintenant de plus que l’action de O sur ω soit l’action naturelle induite par laG
structure deO-alg`ebre de R. Alors,
×∀i =r−1 δ ∈Ri
et donc, si
r−1 r−2p p p
δ =δ δ ...δ δr−10 1 r−2
on a
qA≃R[T]/(T −δT)
Le complexe de co-Lie de G s’identifie alors `a
×δ
l ≃ [R−−→R]G
plac´e en degr´es−1 et 0. Supposons maintenant queG est muni d’une action stricte deO au sens
de [5] relevant l’action de O/πO sur G. D’apr`es [5] l’ensemble de ces rel`evements est un torseur
−1sous le groupe de cohomologie H (End(l ))≃Ann (δ). Supposons maintenant que R est sansG R
p-torsion. Cela implique Ann (δ) = (0). D’apr`es ce qui pr´ec`ede il existe donc une unique telleR
O-action stricte : c’est celle d´efinie dans le chapitre 3 de [5] sur le groupe not´e G . On a doncu,v
identifi´e G muni de son action stricte de O et d’apr`es le chapitre 3 de [5] le dual strict d’un tel
′ ′groupe est connu. Rappelons en effet qu’il existe alors γ ∈R tel que γδ =w ∈O ou` w est une
uniformisante de F et que le dual strict s’identifie `a
∨ qG ≃ Spec(R[U]/(U −γU))
Soit LT un groupe formel de Lubin-Tate de O-hauteur 1. Alors, d’apr`es [5], pour un choix de
coordonn´ee formelle V surLT l’accouplement
∨G×G −→LT[π]
est donn´e par
V −→T ⊗U
Soit alors
O ∨α ∨ :G −→ωGG
l’application de Hodge-Tate relative `aO. Avec l’identification
ω ≃R/δR.dTG
cette application s’identifie donc a`
u −→(u mod δ).dT
OLorsqueR=O avecK comme pr´ec´edemmenton en d´eduit que l’on connaˆıtO .Imα d`es que∨K K G
l’on connaˆıtv(Ann ω )=v(δ) ou bien v(Ann ω ∨)=v(δ).G G
O1.2. Calcul de la valuation p-adique de α (x).∨H
6´frenchAPPLICATION DE HODGE-TATE ET IMMEUBLE DU GROUPE LINEAIRE 7
1.2.1. Notations. Soit H un O-module π-divisible formel de dimension 1 et de O-hauteur n sur
O ∨ bSpec(O ). Nous allons calculer v(α (x)) pour x∈ T (H ). Nous noterons H le groupe formel∨K pHS
k bassoci´e sur Spf(O ). Alors H(O ) = H[π ](O )⊂H(O ). Il y a une “valuation”K K K Kk≥1
bv :H(O )−→]0,+∞]K
bqui d´efinit une filtration dite de ramification inf´erieure sur H(O ) et donc sur les points deK
torsion (cf. section 2). Cette “valuation” est d´efinie de la fac¸on suivante : fixons un isomorphisme
de Spf(O )-sch´emas formels point´esK
∼bH −→Spf(O [[T]])K
bou` H est point´e par sa section unit´e et Spf(O [[T]]) par la section T = 0. Cet isomorphismeK
b binduit une bijection H(O )≃{x∈O |v(x)> 0}. Si via cette bijection y∈H(O ) correspondK K K
a` x ∈ O on pose alors v(y) = v(x). On v´erifie aussitˆot que cette d´efinition ne d´epend pas deK
l’isomorphisme de sch´emas formels point´es choisi.
On utilisera syst´ematiquement le jeu entre la fibre g´en´erique et les mod`eles entiers en ´ecrivant
pour G un groupe fini localement libre surOK
G(O )=G(K)K
et
k kT (H) = lim H[π ](K)= lim H[π ](O )p K
←− ←−
k k
´Etant donn´e que K est alg´ebriquement clos on consid´erera toujours les fibres g´en´eriques des
groupes finis surO comme des groupes abstraits.K
SoitG un groupep-divisible sur Spec(O ) etD un sous-groupe fini de la fibre g´en´erique deG.K
adh kOn noteraD l’adh´erence sch´ematique deD dansG[p ] pourk>>0 (et cela ne d´epend pas de
k). Dans la suite il n’y aura jamais d’ambigu¨ıt´e pour un D donn´e sur le groupeG dans lequel on
prend l’adh´erence sch´ematique, c’est pourquoiG n’intervient pas dans la notation.
1.2.2. Premiers calculs. PourG un groupe fini localement libre muni d’une action stricte deO le
O ∨morphisme de faisceaux fppfα :G −→ω est naturel enG, tout morphisme strictf :G −→∨ G 1G
G induit un diagramme commutatif2
Oα ∨G2∨ ωGG 22
∨f
Oα ∨G1∨ ωG G11
∗ k k+1En particulier ∀k ∈ N l’inclusion H[π ] ֒→ H[π ] induit un diagramme commutatif de mor-
phismes de sch´emas en groupes
Oα ∨ k+1H [p ] ∼∨ k+1 k+1ω k+1H[π ]H [π ] ω /π ωH H
Oα ∨ kH [p ] ∼∨ k kω kH [π ] H[π ] ω /π ωH H
oo/////o///o8 frenchLAURENT FARGUES
et un diagramme de morphismes de groupes
Oα ∨H∨ ωT (H ) Hp
∨ k ∨ kT (H )/π T (H ) ω /π ωp p H H
≃ ≃
Oα k ∨H[π ]k∨ ω kH[π ]H[π ] (O )K
∨ k∨ k∨ou` T (H ) est le groupe des (x ) , x ∈ H[π ] (K) = H[π ] (O ), πx = x . Ainsi sip k k≥1 k K k+1 k
O Ox = (x ) pour calculer α (x) il suffit de calculer α (x ) pour tout k, qui s’identifie `a∨k k≥1 k ∨ kH H[π ]
O kα (x) mod π .∨H
∨ O ∨Soit donc x∈ T (H ) dont on veut calculer v(α (x)). On peut supposer que x∈/ πT (H )p D pH
c’est `a dire que le morphisme associ´e T (H)−→O (1) est surjectif ou` F(1) d´esigne le caract`erep F
Ode Lubin-Tate. On fera donc cette hypoth`ese. On constate que la valuation deα (x) ne d´ependDH
∨ ∨que du sous-module engendr´e O.x ⊂ T (H ) qui est facteur direct dans T (H ). Via la dualit´ep p
parfaite
∨T (H)×T (H )−→O (1)p p F
de tels sous-modules correspondent aux sous-O-modulesM ⊂T (H) facteur direct de rangn−1,p

M =(O.x) .
k k∨ k−1∨Cela reste valable modulo π . Si x∈H[π ] (K)\H[π ] (K), modulo une unit´eα k ∨(x)H[π ]
ne d´epend que du sous-module engendr´eC =<x> et de tels sous-modules sont en bijection avec
⊥ k kles sous-modules C ⊂H[π ](K) facteurs directs de rang n−1 surO/π O.
Lemme 1. L’op´eration d’adh´erence sch´ematique commute a` la dualit´e de Cartier-Faltings : si
k∨C⊂H[π ] (K) est un sous-groupe alors
∨ adhadh k ⊥C ≃H[π ]/ C
D´emonstration. De la suite exacte
adh k∨ k∨ adh0−→C −→H[π ] −→H[π ] /C −→0
on d´eduit d’apr`es le th´eor`eme 8 de [5] la suite exacte
∨ ∨k∨ adh k adh0−→ H[π ] /C −→H[π ]−→ C −→0
⊥Le sous-groupe fini localement libre de gauche co¨ıncide en fibre g´en´erique avec C . Il est donc
adh⊥´egal a` C .
Proposition 1. Soit D⊂H un sous-groupe fini localement libre sur O . Alors ω ≃O /γOK D K K
ou` X
v(γ)= v(λ)
λ∈D\0
Le complexe de co-Lie de D est isomorphe au complexe
h i
γ
O −→OK K
D´emonstration. Avec un choix de bonnes “coordonn´eesformelles” (on entend par l`a un isomor-
bphisme de sch´emas formels point´es entre H et Spf(O [[T]])) a` la source et au but, l’isog´enie deK
groupes formels
b bH −→H/C
Y
s’´ecritT (T −x).
x∈D\{0}
//////´frenchAPPLICATION DE HODGE-TATE ET IMMEUBLE DU GROUPE LINEAIRE 9
Remarque 1. Dans cette derni`ere proposition l’assertion concernant la valuation de γ est l’ana-
logue de la proposition 4 du chapitre IV de [10] reliant valuation de la diff´erente et les groupes de
ramifications inf´erieurs d’une extension de corps locaux.
Corollaire1. SoientD ⊂D des groupes fini localement libres surO sous-groupes deH. Alors1 2 K
la suite
0−→ω −→ω −→ω −→0D /D D D2 1 2 1
est exacte.
−1D´emonstration. D’apr`es la proposition pr´ec´edente le groupe de cohomologieH du complexe
de co-Lie de nos groupes est nul puisqueO est sans p-torsion. K
k∨ ⊥ kSoitdoncmaintenantC =O.y⊂H[π ] (K)facteurdirectderang1etnotonsC ⊂H[π ](K)
son orthogonal. Consid´erons le diagramme
Oα =α1 adhC kadh ω adh ∨(C ) ω /π ωC H H
q q1 2
α2adh k−1 adh ω adh k−1 adh ∨(C /C[π ] )C /C[π ]
∨ adhadh k ⊥L’isomorphisme C ≃H[π ]/ C implique que si ω adh ∨ ≃O /γO alors(C ) K K
X
v(γ) =k− v(z)
⊥z∈C \{0}
′De mˆeme si ω k−1 adh ∨ ≃O /γO alorsK K(C[π ] )
X

v(γ )=k−1− v(z)
⊥ k−1z∈C [π ]\{0}
′′ ′′Soit maintenantγ tel que ω adh k−1 adh ∨ ≃O /γ O . On d´eduit donc du corollaire 1 queK K(C /C[π ] )
X
′′v(γ )= 1− v(z)
⊥ ⊥ k−1z∈C \C [π ]
adh k−1 adhNous allons maintenant utiliser les r´esultats de la section 1.2. Le groupe C /C[π ] est de
type (p,...,p) et son dual strict v´erifie les hypoth`eses de la section 1.2. Avec les notations du
diagramme pr´ec´edent, q (x) engendre les points a` valeurs dans K de ce groupe comme O/πO-1
′′module. On en d´eduit que α (q (x)) =β mod γ O ou`2 1 K
P
v(z)⊥ ⊥ k−1z∈C \C [π ]
v(β) =
q−1
et donc, si
′′v(β)<v(γ )
c’est `a dire si
X 1
v(z)< 1−
q
⊥ ⊥ k−1z∈C \C [π ]
alorsα (y) =0∈O /γO et1 K K
P
v(z)⊥ ⊥ k−1z∈C \C [π ]
v(α (y))=1
q−1
//6////10 frenchLAURENT FARGUES
k∨ ∨ ∨Si maintenant notre ´el´ement y ∈ H[π ] (K) provient d’un x ∈ T (H )\ πT (H ), puisquep p
kω adh D ֒→ω /π ω est une injection on aH H(C )
P
v(z)⊥ ⊥ k−1z∈C \C [π ]Ov(α (x)) = +k−v(γ)∨H q−1
P
Xv(z)⊥ ⊥ k−1z∈C \C [π ]
= + v(z)
q−1
⊥z∈C \{0}
D´efinition 1. Soit A un ensemble de points de torsion de H. On note
X
v(A) = v(z)
z∈A\{0}
R´esumons ce que nous avons d´emontr´e jusqu’a` maintenant.
∨ ∨ ⊥Proposition 2. Soit x ∈ T (H )\πT (H ) et M = (O.x) ⊂ T (H) facteur direct de rangp p p
k kn−1. Notons pour tout entier k≥ 1 M[π ] le sous-groupe des points de π -torsion associ´e dans
kH[π ](K). Si l’entier k est tel que
1k k−1v(M[π ]\M[π ])< 1−
q
alors
k k−1v(M[π ]\M[π ])O kv(α )(x) = +v(M[π ])∨H q−1
1 k k−1= qv(M[π ])−v(M[π ])
q−1
Reste a` voir qu’il existe un tel entier k, ce que nous allons faire sous une condition.
1.3. La formule finale. Rappelons maintenant ([8], [7] chapitre I) qu’il existe une loi de groupe
formelle associ´ee `a H telle que le polygone de Newton de la multiplication par π pour cette loi
soit l’enveloppe convexe des points
i n−1 n
(0,∞),(1,1),(v(x ),q),...,(v(x ),q ),...,(v(x ),q ),(0,q )1 i n−1
ou` x ,...,x ∈ K et ∀i v(x ) > 0 (cf. figure 2). Rappelons ´egalement la recette suivante :1 n−1 i
b bsi y ∈ H(O ) la valuation des points s’envoyant sur y par la multiplication par π sur H(O )K K
s’obtient en prenant l’enveloppe convexe du polygone pr´ec´edent et du point (0,v(y)).
1
v(x )j
v(x )i
v(x )k
i j k n
1 q q q q
Fig. 2. Le polygone de Newton de la multiplication par π

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