Approche multidomaine pseudospectrale pour la résolution des ...

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20eme Congres Franc¸ais de Mecanique Besanc¸on, 29 aout au 2 septembre 2011 Approche multidomaine pseudospectrale pour la resolution des equations de Navier-Stokes en geometrie cylindrique G. Fontaine, S. Poncet, E. Serre . M2P2, IMT La Jetee, 38 rue Joliot-Curie, 13013 MARSEILLE Resume : Ce travail concerne le developpement d'une approche multidomaine pour la resolution des equations de Navier-Stokes tridimensionnelles en coordonnees cylindriques et en formulation vitesse-pression.
  • probleme d'helmholtz
  • erreur en norme l2
  • equations de navier-stokes ecrites en variables primitives et en coordonnees cylindriques
  • turbulent rotor-stator
  • convergence spectrale de la solution globale
  • approche multidomaine pour la resolution des equations de navier-stokes tridimensionnelles en coordonnees cylindriques et en formulation vitesse-pression
  • pressions
  • pression
  • solutions
  • solution
Publié le : mercredi 28 mars 2012
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Source : l3mgp.l3m.univ-mrs.fr
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`eme 20Congr`esFran¸caisdeM´ecanique
Besanc¸on,29aouˆtau2septembre2011
Approche multidomaine pseudospectrale pour la r´esolutiondese´quationsdeNavierStokeseng´eom´etrie cylindrique
G. Fontaine, S. Poncet, E. Serre .,2MIMP2rueJe,38et´eTLaJ1031,eiruCtoiloLEILSEAR3M
Re´sum´e: Cetravailconcerneled´eveloppementduneapprochemultidomainepourlar´esolutiondese´quationsde NavierStokestridimensionnellesencoordonne´escylindriquesetenformulationvitessepression.La techniqueestbase´esurunematricedinuencedecontinuite´quiassuredemani`eredirecteunraccord 1 Cuxderentesinmado.snisiovcetetteClesadoienlotuioutnshniquepermetdacrciortlese´rselo utilis´eesaumoyenduneparalle`lisationdirecteducodeetd´etendrelutilisationdesm´ethodesspectrales a`desge´om´etriessemicomplexes.Les´ecoulementsenvisag´esconcernentles´ecoulementsdecavit´een rotationenre´gimeturbulent.Cepapierpr´esentelatechniqueetlesd´evelopementsne´cessite´sparla ge´ome´triecylindrique.Lapre´cisiondusche´maestaussianalys´eeetmontrequelaconvergencespectrale delasolutionsurledomaineglobalestconserv´ee. Abstract : This work concerns the development of a multidomain approach for solving the NavierStokes equations in cylindrical coordinates and velocitypressure formulation. The technique is based on an influence 1 matrix of continuity that ensures a direct connection ofCtype for the solution between two neighboring domains. This technique allows to increase resolutions through a direct parallelization of the code. Moreover, it expands spectral methods to dealing with semicomplex geometries. Rotating cavity flows are mainly concerned in turbulent regime. This paper presents the technique and the changes required by the cylindrical geometry. The accuracy of the scheme is also analyzed and shows that the spectral convergence over the overall domain is preserved. Mots clefs :ecneededohte´Mspdoeupse,altreccEuoelemtnotruannt,Matricedinu continuite´
1 Introduction Lese´coulementsconne´senrotationsontpr´esentsdansungrandnombredapplicationsindustrielles lie´esauxmachinestournantesetmettentenjeudescomportementsphysiquespr´esentse´galementdans dessyst`emesouvertsdeplusgrande´echelle(circulationsoc´eaniqueetatmosph´erique)quidemeurent pertinentsmˆemeaudela`desaspectsspe´ciquesderotation[2].Lessujetsmajeursaborde´sactuellementconcernentlessce´nariosdetransitiona`laturbulenceetlecontroˆleainsiquelamod´elisation destransfertsdemasseetdechaleurdanslese´coulementsturbulents.Lapre´cisiondessolutionsrequiertlutilisationdem´ethodesdordre´elev´equiassurentunetre`sgrandepr´ecisiondelasolutionsur destempsdesimulationlongsavecunetr`esfaibledissipationetdispersionnum´erique.Cese´tudes ne´cessitentdesre´solutionsspatialesettemporellesnesandeprendreencompteavecpre´cisionles structuresdepetitee´chelletr`esanisotropesquised´eveloppentauvoisinagedesparoisetquisont responsablesdelaproductiondeturbulence.Cesre´solutionsnesontaccessiblesquauxtraversdalgorithmesparalle`lesoptimis´essurdessupercalculateursoudesfermesdePC.Di´erentesm´ethodes existentaujourdhuidanslalite´raturedepuislese´l´ementsnishpiuqtexuartcepsjsuqsuua´xlee´emtn
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e`me 20Congr`esFran¸caisdeM´ecaniqueBesan¸con,29aouˆtau2septembre2011 satisfontlescrit`eresmentionne´scidessus(voirdans[1]).N´eanmoins,cesm´ethodesquipermettentde traiterdesge´om´etriesextrˆemementcomplexessontdiciles`amettreenoeuvreetrelativementcouteusesentempsdecalcul,cequinelesrendpasoptimalespourl´etuded´ecoulementseng´eom´etries simplesousemicomplexescommecellesquinousinte´ressentdanscetravail.Danslam´ethodepropos´ee,lescomposantesdelavitesseauxinterfacesarticiellesentresousdomainessontcalcule´espar unetechniquedematricedinuence,construite`apartirdebasesrespectantlacontraintedincompressibilite´.Lamatricedinuenceae´t´eapplique´edepuisplusdedixansavecsucce´senge´ome´trie cart´esienne[5]etcylindriqueuniquementpourdese´coulementsaxisyme´triquesd´ecritsenformulation fonctiondecourantvorticit´e[3].Lam´ethoded´evelopp´eeiciestdetypecollocationspectraleChebychev(ChebychevFourieren3D)etutilisedessolveursdirectsdel´equationdeHelmholtzetdu proble`medeStokesg´en´eralis´e. 2Mod´elisationge´om´etriqueetmath´ematique Unedesdicult´esdanslamode´lisationdes´ecoulementseng´eome´triecylindriqueestlie´eauxeetsde courbure en 1/rairecompos´eededU.enaciv´taennlursyaraesnosstsele`eepnied´uqsidxuellarapse inte´rieurRintexutr´ieerteRextainsi que par son espacement interdisqueHresiituqcsraca´t.Cees permettentdede´nirdeuxparame`tresg´eom´etriquesglobauxcaracte´risantlerapportdaspectetla courbure, soient respectivement : Rext+RintRextRint Rm=, LR= (1) RextRintH Lemouvementduuideincompressibleestgouvern´eeparlese´quationsdeNavierStokes´ecritesen variablesprimitivesetencoordonn´eescylindriques(r, θ, z) : V +V.V=−∇p+νΔV+Fdans Ω ∂t V=Wsur Γ =Ω (2) ¯ .Vsur Ω = Γ= 0Ω ou`Vest le vecteur vitesse de composantes (u, v, w) respectivement dans les directions radiale, azi mutale et verticale,pest la pression,νsivaluq,ematiin´et´eccosiFofcrreemltera´eurtetΔeeoplLaplacien. 3Mode´lisationnum´erique Ladiscr´etisationdese´quationsestbas´eesurletravaildeRaspoet al.cristi´e4][ad.Lelsetaainopsasitt bas´eesurunem´ethodecollocationChebychev(danslesdirectionsnonhomog`enes(r, z)) et Galerkin Fourierenazimut.Ladiscr´etisationtemporelleestbase´esurunsch´ematemporelsemiimplicitedordre 2avecune´evaluationAdamsBashforthexplicitedestermesconvectifs,etdunsch´emadEulerretard´e pour les termes visqueux. Soit, n+1 nn1 3V4V+Vn n1n+1n+1n+1 + 2V.VV.V=−∇p+νΔV+Fdans Ω 2δt n+1n+1 V=W(3)sur Γ n+1 ¯ .V= 0sur Ω o`uδtest le pas de temps. Lecouplagevitessepressionestr´esoluaumoyendelalgorithmedepre´dictioncorrection.Unchamp devitessepr´editnonsol´eno¨ıdalesttoutdabordcalcul´eenutilisantunpr´edicteurdepressionestime´ a`partirdel´equationdePoissonobtenueenprenantladivergencedele´quationdequantit´edemouvement.Parlasuitecechamppre´ditestprojete´surunespacedechamps`adivergencenulleaumoyen d’un correcteur de pression. Cetalgorithmeseram`ene`alar´esolutionsuccessivedeprobl`emesdHelmholtzbidimensionnelspour chaque mode de Fourier.
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