C1 : Fonctions de plusieurs variables

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1er semestre 2011/12 CPUMP 3 U 11 : Abrégé de cours Compléments Analyse 3 : fonctions analytiques Les notes suivantes, disponibles à l'adresse contiennent les définitions et les résultats principaux du cours “compléments d'Analyse 3” ainsi que quelques exercices concernant ces compléments. Le résumé du cours prin- cipal “Analyse 3” est disponible dans un fichier séparé à la même adresse. Nous citons le théorème x.y du résumé de ce cours sous la forme [Cours, théorème x.
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  • rn →
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Publié le : mardi 27 mars 2012
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Source : iecn.u-nancy.fr
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1er semestre 2011/12
CPUMP 3 U 11 : Abrégé de cours
Compléments Analyse 3 : fonctions analytiques
Les notes suivantes, disponibles à l’adresse http://www.iecn.u-nancy.fr/~bertram/,
contiennent les définitions et les résultats principaux du cours “compléments d’Analyse
3” ainsi que quelques exercices concernant ces compléments. Le résumé du cours prin-
cipal “Analyse 3” est disponible dans un fichier séparé à la même adresse. Nous citons
le théorème x.y du résumé de ce cours sous la forme [Cours, théorème x.y], etc. Les
compléments seront numérotés C1 (= Complément 1), C2, :::
C1 : Fonctions de plusieurs variables
Dans la “vie réelle” en mathématiques (et dans les applications, comme la physique), il est
important de développer l’analyse non seulement pour les fonctions d’une variable, mais
npour des fonctions de plusieurs variables, i.e., des fonctionsf définies sur une partie deR
mà valeurs dansR . Ce sujet sera traité de façon plus approfondie dans le cours “Analyse 2
- fonctions de plusieurs variables”, qui sera enseigné en CPU en S4, après le cours Analyse
3. Cependant, il faut s’habituer le plus rapidement possible à placer l’analyse dans le
cadre de plusieurs variables ; dans les compléments, nous allons développer ce point de
vue un peu plus loin que dans le cours principal. Ce premier chapitre sert à se familiariser
ndès maintenant avec quelques notions “topologiques” fondamentales sur les espaces R :
distance, suites convergentes, continuité...
nC1.1. Définition. Soient x;y2R . La distance euclidienne entre x et y est définie par
la “formule de Pythagore” v
u nXu
t 2d (x;y) := (x y ) :eu i i
i=1
La distance de x à l’origine 0 s’appelle la norme euclidienne, notée
v
u nXu
2tkxk :=d (x; 0) = x ;eu eu i
i=1
de sorte qu’on a d (x;y) =kx yk . La boule ouverte de centre x et de rayon r esteu eu
nB (x) :=fy2R j d (x;y)<rg:r;eu eu
nC1.2. Définition. Soient x;y2R . La distance sup entre x et y est définie par
d (x;y) = max jx yj:1 i i
i=1;:::;n
1La distance de x à l’origine 0 s’appelle la norme sup, notée
kxk :=d (x; 0) = maxjxj;1 1 i
i
de sorte qu’on a d (x;y) =kx yk . Le cube ouvert de centre x et de rayon r est1 1
n nB (x) :=fy2R j d (x;y)<rg =fx2Rj8i = 1;:::;n :jxj<rg:r;1 1 i
C1.3. Remarque. Voici quelques propriétés évidentes que satisfont ces deux normes,
resp. distances : pour d =d ou d =d etkk =kk oukk =kk ,eu 1 eu 1
(N1) (positivité)kxk 0, etkxk = 0 ssi x = 0 ;
(N2) (homogénité) pour tout r2R,krxk =jrjkxk ;
(D1) (positivité) d(x;y) 0, et d(x;y) = 0 ssi x =y ;
(D2) (symétrie) d(x;y) =d(y;x).
Nous discutons plus tard (exercice 5) une autre propriété importante.
p p
nC1.4. Lemme. Pour tout z2R , on akzk nkzk nkzk , i.e.,eu 1 eu
v v
u un nX Xu up
t 2 t 2z n maxjzj n z :ii i
i
i=1 i=1
Géométriquement, le lemme signifie qu’on peut “emboîter” des cubes dans des boules, et
réciproquement (faire un dessin pour n = 2).
n (k)C1.5. Définition. Une suite dansR est notée (x ) , oùk2N

(k)(k) (k) nx = x ;:::;x 2R :1 n
(k)
Chaque composante (x ) , pour i = 1;:::;n fixé, est une suite numérique ordinaire.k2Ni
(k) n (k)On dit que la suite (x ) converge vers un vecteurx2R , et on écritx = lim x , sik2N
k!1
(k) (k)la distance euclidienne entre x et x converge vers 0, i.e., si lim d (x ;x) = 0:eu
k!1
nC1.6. Lemme. Pour une suite dansR sont équivalents :
(k) (k)(i) lim d (x ;x) = 0 (i.e., x converge vers x pour k!1) ;eu
k!1
(k)(ii) lim d (x ;x) = 0 ;1
k!1
(k)
(iii) pour tout i = 1;:::;n : la suite numérique (x ) converge au sens usuel, pourk2Ni
k!1, vers un nombre réel x .i
Ce lemme permet, d’une part, de reconnaître facilement des suites convergentes dans
nR , et, d’autre part, de démontrer, “composante par composante”, quelques résultats
standards, similaires aux propriétés usuelles pour les suites :
2(k) (k)C1.7. Corollaire. La somme de deux suites convergentes x et y est convergente, et
(k)sa limite est la somme des deux limites ; un multiple rx d’une suite convergente vers x
est convergente, avec limite rx.
nC1.8. Notations relatives aux applications. Dans la suite, soit UR une partie
mnon-vide et f :U!R , x7!f(x) une application. Plus explicitement, on note

f(x) = f (x);:::;f (x) = f (x ;:::;x );:::;f (x ;:::;x ) :1 m 1 1 n m 1 n
L’application
f :U!R; x7!f (x)i i
s’appelle la i-ième composante de f. Si m = 1, on a juste une composante : on parle
d’une fonction scalaire. Si n = 1, on note souvent t au lieu de x la variable (“temps”), et
m mon interprète f :RU!R comme une courbe paramétrée dansR .
mC1.9. Définition. Soit f : U ! R comme ci-dessus et soit x2 U. On dit que
(k)f est continue au point x si, pour toute suite x 2U qui converge vers x pour k!1,
(k) mla suite f(x ) converge dansR vers f(x) :

(k) (k)f lim x = lim f(x )
k!1 k!1
On dit que f est continue (sur U) si f est continue en tout point x2U.
nExemples : les fonctions constantes sont continues ; les projections pr :R !R, x7!xii
sont continues.
n mC1.10. Théorème. Pour une application f :R U!R sont équivalents :
(i) f est continue au point x (resp. sur U) ;
(ii) pour tout i = 1;:::;n : la composante f est continue au point x (resp. sur U).i
Cethéorèmepermetdoncdeserameneraucasdesfonctionsscalaires(m = 1). Attention:
on ne peut pas se ramener aussi facilement au casn = 1. Dans ce sens, le cas des fonctions
scalaires est le cas le plus important.
C1.11. Théorème.
(1) Sommes et multiples d’applications continues sont continues, et la fonction f = 0
m mest continue ; ainsi l’ensemble C(U;R ) des applications continues f :U!R est
un espace vectoriel.
k 0 k(2) La composée gf :U!R de deux applications continues g :U !R et f :U!
0 mU R est continue.
(3) (pourm = 1 :) Le produitfg (définie par (fg)(x) :=f(x)g(x)) de deux fonctions
scalaires continues f;g :U!R est continue.
n mC1.12. Théorème. Toute application linéaire f :R !R est continue.
Rappel (cours d’algèbre) : une application linéaire est de la forme f(x) = Ax avec une
P Pn n
matrice A = (a ), ou encore f (x) = a x ; autrement dit, f = a pr .ij i ij j i ij jj=1 j=1
3n mC1.13. Théorème. Toute application polynomiale f :R !R est continue.
n nC1.14. Définition/rappel. SoitK un corps. Pour x2K et 2N (un multi-index),
on définit le monôme
1 nx :=x x1 n
Pn nson degré est par définitionjj := . Une fonction polynomialep :K !K est uneii=1
combinaison linéaire finie de monômes (i.e., la somme suivante a seulement un nombre
fini de termes non-nuls) : X
x7!p(x) = a x ;
n2N
avec des constantesa 2K. Il est commode de regrouper tout les termes de même degrée.
Le degré de p est alors le plus haut degré qui apparaît dans cette écriture :
dX X
p(x) = a x :
nj=0 2N ;jj=j
Noter que le terme correspondant à j = 0 est juste une constante, celui correspondant à
j = 1 est une forme linéaire, et celui correspondant à j = 2 une forme quadratique, etc.
n mUne application polynomiale f : K ! K est une application telle que chaque com-
nposante f :K !K est une fonction polynomiale.i
Exercices pour le complément 1
1. Puissance matricielle. Montrer qu’on peut identifier l’espace des matrices carrées
2nM(n;n; ;R) avecR , et que l’application
2M(n;n;R)!M(n;n;R); X7!X
est polynomiale (on pourra commencer par le cas n = 2), et conclure qu’elle est continue.
kIdem pour l’application X7!X avec k2N.
12. Applications rationnelles. Montrer que l’inversion i : R ! R, t 7! t est
p(x) ncontinue. En déduire que toute fonction rationnelle f(x) = (i.e., p;q :R !R sont
q(x)
npolynomiales et q = 0) est continue sur l’ensemble U :=fx2Rjq(x) = 0g.
1Application : montrer que l’inversion matricielle GL(n;R)! M(n;n;R), X7! X est
une application continue.
3. Changement de base: un exemple. Fixons la base b = (1; 0), b = (1; 1) dans le1 2
2 2plan E et identifions E avecR par la bijectionR !E, (x;y)7!xb +yb . Identifions1 2
également les boulesB (x), resp.B (x), avec leur image par cette bijection. Dessinerr;1 r;eu
lesimagesdansE deB (0)etdeB (0). Quellesfiguresgéométriquessontreprésentées1;1 1;eu
par ces images ? Montrer qu’on peut “emboiter” ces dans les boules “usuelles” (par
rapport à la base canonique), dans le sense du lemme C1.4.
4. Changement de base: cas général. Homéomorphismes. Soit A2 GL(n;R)
n n(i.e., une matrice inversible). Montrer que l’application f : R ! R , x7! Ax est un
1homéomorphisme (i.e., bijective, continue, et l’inverse f est aussi continue).
Conclure que les notions de convergence et de continuité ne dépendent pas de la base
nchoisie, i.e.: soit V un espace vectoriel de dimension n sur R, et identifions V à R à
4
66l’aide d’une base b ;:::;b . On définit ainsi sur V des notions de convergence de suites1 n
et de continuité d’applications. Alors, ces notions ne dépendent pas du choix de la base.
n5. Convexité. C’est une notion fondamentale de géométrie enR :
nC1.15. Définition. Une partie S R est dite convexe si, pour tout x;y 2 S, le
segment
[x;y] =ftx + (1 t)yjt2 [0; 1]g
2appartient entièrement à S. (Faire des dessins d’exemples de parties convexes deR !)
n(1) Montrer que les boules B (x) avec x2R et r> 0 sont convexes.r;1
n(2) Montrer que les boules B (x) avec x2R et r> 0 sont convexes.r;eu
Remarque/indication. Chercher d’abord une preuve directe : on constate que la preuve
est nettement plus difficile dans le cas euclidien. Elle sera systématisée dans le cours
“Analyse 2” où on étudie la notion fondamentale de norme :
C1.16. Définition. Soit V un espace vectoriel sur R. Une norme sur V est une
applicationV!R,x7!kxk vérifiant les propriétés (N1) et (N2) de la remarque C1.3, et
(N3) (inégalité triangulaire) pour tout x;y2V,kx +ykkxk +kyk.
L’approche systématique consiste à établir d’abord que la norme sup et la norme euclidi-
enne sont des normes dans ce sens. Ensuite, on démontre la convexité des boules à partir
de (N1), (N2) et (N3).
n 2n6. Le cas complexe. Montrer qu’il existe une identification naturelle entreC etR ,pPn
et que sous cette identification la norme euclidienne correspond àkzk := zz .i ii=1
Montrer que la normejjzjj := maxjzj est équivalente à la précédente (au sens du lemme1 i i
2nC1.4) ; est-ce qu’elle correspond exactement à la norme sup dansR ?
nFormuler des notions de convergence de suites et de continuité dans C , et dire lesquels
parmi les résultats précédents restent valables dans ce cadre.
C2 : Exponentielle matricielle et équations différentielles ordinaires
at 0Les exponentielles usuelles t7! ce sont les solutions de l’équation différentielle f =
af (a2 R) avec condition initiale f(0) = c. En plusieurs dimensions, cette équation
est remplacé par un système d’équations différentielles ordinaires. D’abord, quelques
définitions de base concernant les courbes :
nC2.1. Définition. Une courbe [continue] dans V =R est une application [continue]
:I!V, où IR est un intervalle. (Dessiner des exemples pour n = 2 ou n = 3 !)
C2.2. Lemme. Pour une courbe :I!V sont équivalentes :
(t+h) (t)0(i) pout tout t2I, la limite (t) := lim existe dans V ;
h
h!0;h=0
(ii) chaque composante := pr :I!R est différentiable au sens usuel.i i
5
6On a alors
0 0 0 (t) := (t);:::; (t) :1 n
1C2.3. Définition. Une courbe : I! V est dite différentiable (de classe C ) si elle
0 0satisfait la condition du lemme et si la courbe dérivée :I!V est continue. Si est
1 2 00 0 0de classe C , la courbe est dite de classe C , et on pose = ( ), etc. (Interpétation
0cinématique: t7!(t) est une trajectoire,t la variable de temps et (t) le vecteur-vitesse
00et (t) le vecteur-accélération.)

1 2Exemple : (t) = cos(t); sin(t) est une courbe de classe C dansR . Faire un dessin
de la trajectoire, calculer les vecteurs vitesse et accélération.
nC2.4. Définition. Soit UV =R une partie non-vide. Un champ de vecteurs sur U
est une application X : U! V. Visualisation : on “accroche” à chaque point u2 U un
“vecteur direction” (une flêche) d’origine u et de direction X(u).
1Une courbe intégrale d’un champ de vecteurs X : U! V est une courbe de classe C ,
:I!V, qui “suit le champ” dans le sens que

082I : (t) =X (t) : (EDO)
C2.5. Remarque. (EDO) est un système d’équations différentielles ordinaires :

08i = 1;:::;n : (t) =X (t);:::; (t) :i 1 ni
En général, on ne sait pas si des solutions existent (il faut au moins supposer que X soit
suffisamment régulier...)
2Exemple 1 : U = V =R et X(u ;u ) = ( u ;u ). Dessiner ce champ, et montrer que1 2 2 1
la courbe de l’exemple précédent est une courbe intégrale. Trouver des courbes intégrales
telles que (0) = (r; 0) avec r 0, et les dessiner dans un dessin commun.
2Exemple 2 : U = V = R et X(u ;u ) = (u ;u ). Dessiner ce champ, et montrer que1 2 2 1
la courbe (t) = ch(t); sh(t) est une courbe intégrale. Trouver des courbes intégrales
telles que (0) = (r; 0), resp. (0) = (0;r) avec r 0.
Ces deux exemples sont des cas particuliers des résultats puissants suivants, qui utilisent
l’exponentielle matricielle, définie dans [cours, thm. 3.9] et [cours, thm. 3.10].
mC2.6. Théorème. Soit A2M(m;m;R) une matrice carrée, et soit v2R .
tA(i) La courbe :R!M(m;m;R), t7!e est différentiable, et on a
0 (t) =A(t) (produit de matrices), et (0) = 1 :m
m tA(ii) La courbe :R!R , t7!e v est une courbe courbe intégrale (avec valeur intialev
m m (0) =v) du champR !R , u7!Au, i.e.,v
0 (t) =A(t) (produit matrice vecteur) et (0) =v:vv
C2.7. Remarque. La propriété (t +s) =(t)(s) (pour tout s;t2R) donne
(t +s) = (s):v (t)v
6C2.8. Remarque. On peut résumer le théorème C2.6 en disant que tout champ linéaire
de vecteurs (i.e., X :v7!X(v) est une application linéaire, donnée par une matrice A),
admet des courbes intégrales : I ! V, avec condition initiale (0) = 0, telles quev v
l’intervalle de définition I soitR tout entier. On verra (exercice 1) qu’il en est de même
pour les champs constants. Plus généralement, en théorie des équations différentielles
ordinaires, on considère des champs “lisses” quelconques X : U ! V (définis sur une
partie “ouverte” U de V). Un théorème général affirme alors que des courbes intégrales
existent et sont uniques, mais en général le plus grand intervalle de définition I est plus
petit queR. L’étude plus détaillée de l’ensemble de ces courbes intégrales fait partie de
la théorie des EDO et, plus globalement, de la théorie des systèmes dynamiques. Le cas
linéaire y joue un rôle important : il sert, localement, comme première approximation du
cas général.
Exercices pour le complément C2
n1. Les champs constants. Soitv2V =R etX(x) =v (champ constant). Calculer et
dessiner ses courbes intégrales : montrer que, pour tout u2V, il existe une uniqe courbe
intégrale telle que (0) = u. Étudier, pour t2 R fixé, l’application : V ! V,u u t
u7! (t) : quelle est sa nature géométrique ? Montrer que, pour t;s2R, = .u t s t+s
2. Image d’une courbe intégrale. Fixons une matrice carrée A. Pour tout vecteur
n tAv2V =R , notonsO :=fe vj t2Rg l’image de la courbe intégrale . Montrer que,v v
pour v;w2V, seulement les deux cas suivants sont possibles :
a) soit,O =O ;v w
b) soit,O \O =;.v w
Autrement dit, les ensembles0 pour v2V forment une partition de V.v
tA3. Calcul d’exponentielle : exemples. Pour les matrices A suivantes, calculer e
(ici, a>b> 0) :

0 0 0 0 a 0 a 0
; ; ; ;
0 0 0 a 0 a 0 b

0 1 a 1 0 1 a b
; ; ;
0 0 0 a 1 0 b a
4. Exercice de dessin. Pour chacune des matrices de l’exercice 3 : dessiner le champ
2 2de vecteursR !R , u7!Au ainsi que quelques courbes intégrales.
5. Exponentielle et changement de base.
(1) Soit A une matrice carrée et T une matrice inversible. En utilisant la série exponen-
tielle, montrer que
1TAT A 1e =Te T :

0 1 tA(2) Soit A = . Calculer e . (Indication : deux stratégies possibles – calcul direct
1 0
2 3 0 1en calculant A ;A ;:::, ou bien trouver une matrice de passage T telle que A =TAT
soit une matrice diagonale.) Tracer les courbes (t) comme dans l’exercice précédent.v
(3) Résoudre le système différentiel
o0f (t) = f(t) + 2g(t)
0g (t) = 2f(t) + 3g(t)
76. EDO linéaires à coefficients constants. On cherche à résoudre l’équation différen-
tielle
(n) 0 (n 1)f =a f +a f +::: +a f0 1 n 1
0 0(où a 2R). Montrer que, en posant f :=f , f :=f , etc., ce système est équivalent ài 1 2 1
n équations de degré 1, qu’on écrira sous forme matricielle.
xPour résoudre cette équation, on peut chercher des solutions de la formee . Trouver une
condition nécessaire pour le scalaire . Exemple : résoudre
000 00 0f 6f + 11f 6f = 0:
xParfois, il existe aussi des solutions de la forme xe . Exemple : résoudre
00 0f 2f +f = 0
Distinguer aussi des solutions réelles et complexes. Exemple : résoudre
000 00 02f 5f + 6f 2f = 0
7. Lien entre matrices orthogonales et matrices antisymétriques. Montrer que
tA t A t(e ) =e (matrice transposée). Conclure que, si A = A (i.e., A est antisymétrique),
A t 1alors B :=e est une matrice orthogonale (i.e., B =B ).
C3 : Brève introduction aux équations différentielles aux dérivées partielles
Les EDO concernent des fonctions d’une variable réelle, et les équations différentielles
aux dérivées partielles (EDP) concernent des fonctions de plusieurs variables
f(x ;:::;f ). C’est un très vaste sujet, et nous donnons ici seulement quelques1 n
notions de base pour permettre au lecteur de se faire une idée de la nature mathématique
de ces questions. Les EDP les plus importantes proviennent de la physique. Nous
supposons que le lecteur a déjà utilisé de façon “naïve” des dérivées partielles : par
2exemple, pour une fonction f(t;x;y), on les note @f, @ f, @ f, et @ f = @ (@ f) pourt x y x xx
une dérivée partielle seconde, ou aussi parfois f , f , f , resp. f , etc. Voici une liste det x y xx
quelques EDP fondamentales :
Exemple 1 : l’équation de la chaleur. La distribution de la chaleur sur un bâton
(coordonnée x) au temps t obéit à l’équation de la chaleur (où C > 0 est une constante)
2(EqCh1) @f(x;t) =C@ f(x;t):t x
Si, au lieu d’un bâton (une dimension) on prend une plaque (deux dimensions ; coordon-
nées x;y), cette équation devient

2 2(EqCh2) @f(x;y;t) =C @ f(x;y;t) +@ f(x;y;t) :t x y
Pour que la solution soit bien déterminée, il faut préscrire une distribution de température
au temps t = 0 : f(x; 0) = h(x), resp. f(x;y; 0) = h(x;y), avec h une fonction donnée
(condition initiale). Si les bouts du bâton (de coordonnées x = 0 et x = ‘ > 0) sont
maintenus à température donnée, on a une condition de bord supplémentaire, comme par
exemple f(0;t) = 0, f(‘;t) = 0 (“bouts frigofiées”).
8Exemple 2 : l’équation des ondes, resp. de la corde vibrante. C’est l’EDP
2 2(EqOn1) @ f(x;t) =C@ f(x;t);t x
avec une constante C > 0, qui décrit la vibration d’une corde (coordonnée x) en fonc-
tion du temps t, resp. d’une membrane (coordonnées x;y), resp. des phénomènes d’onde
(coordonnées x;y;z) :

2 2 2 2(EqOn2) @ f(x;y;z;t) =C @ f(x;y;z;t) +@ f(x;y;z;t) +@ f(x;y;z;t) :t x y z
Comme dans l’exemple précédent, la physique motive d’imposer des conditions initiales
et des conditions de bord.
Exemple 3 : l’équation du potentiel. Pour une fonction de trois variables f(x;y;z),
c’est l’équation
2 2 2(EqPot) @ f(x;y;z) +@ f(x;y;z) +@ f(x;y;z) = 0x y z
On l’abrègre souvent sous la forme f = 0, et une fonction telle que f = 0, est dite
harmonique.
Exemple 4 : l’équation de transport. C’est l’EDP, avec une fonction d’une variable
réelle a(x),
(EqTrp) a(x)@ f(x;y) +@ f(x;y) = 0x y
Exemple 5 : les équations de Cauchy-Riemann. C’est un système de deux EDP
2 2pour une fonctionR !R , (x;y)7! (f(x;y);g(x;y)) :
(EqsCR) @ f(x;y) = @ g(x;y); @ f(x;y) =@ g(x;y):y x x y
nCalcul différentiel dansR
Nous donnons les définitions et les faits fondamentaux concernant les dérivées par-
tielles, puis proposons l’étude de quelques propriétés des exemples précédentes sous forme
nd’exercice. On abrègre V :=R , et soit toujours f :U!R une fonction scalaire définie
sur une partie non-vide UV.
C3.1. Définition. Soit v2V. La dérivée directionnelle d’une fonction f :V U!R
en direction de v, et au point x2U, est définie par

d f(x +tv) f(x)

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