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Categories Foncteurs Transformations naturelles Monades Modules Materiel categorique Dedou Janvier 2010

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  • categories foncteurs

  • unicite des identites

  • application ?a

  • verifiant des conditions

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Publié le : vendredi 1 janvier 2010
Lecture(s) : 56
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 42
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Cat´egoriesFoncetruTsarsnofmrtansiotunallreMoesedandoMsselu
Janvier 2010
cat´egorique
De´dou
Mate´riel
Plan
du chapitre
3
4
naturelles
Transformations
Modules
1
Monades
5
Foncteurs
Cat´egories
2
roge´taCuesrrTnaeiFsnotconsnatursformatisedaudoMellenoMssle
sruetcnorofsnarTt´CasFieoregdaseMsnoelsoMudonsnmatielleatur
Lesdonne´esdunecategorie ´
Exemple Les ensembles : soitUun ensemble d’ensembles... c’est l’ensemble desobjetsdunecat´egoriedensembles.Vouslavoyez?
Unecat´egorieCtu´eepartsocsnite unensemble(e´ventuellementgros)not´eObCdes objets de C pour chaque couple (A,B) d’objets deCun ensemble Hom(A,B) des morphismes deAdansB pour chaque triplet (A,B,C) d’objets deCune application A,B,C:Hom(B,C)×Hom(A,B)Hom(A,C)
ve´riantdesconditionsquonverraplusloin.
Exo Choisissezvotrecategoriefavorite,etindiquezsesingre´dients. ´
at´eCruTscnetseoFogirnansioatrmfonsraMsedanoMsellerutdoluse
Lesaxiomesdunecat´egorie
Lesdonne´esdunecat´egorieCseocneltoisndntiantesuivsv´ier identite´s ´ associativite
Exemple Lesensembles.Vousvoyezidentite´s?associativit´e?
Exo D´emontrezlesaxiomesdecat´egoriepourvotrecate´goriefavorite.
Lnicite´desidentit´es u
Exercice Donnezuned´enitionduneidentite´dunobjetdune cat´egorie Montrezquilyaunicit´edelidentit´edunobjetdune cate´gorie.
sleduMselleruoMsedanoCaegt´ansformationsnatroeiFsnotcuesrrT
udelsamrofsnatansnoitsMleelurMoesadon´tgeaCsFonoriersTrcteu
Exercice Ecrivezcettede´nitiondesimili-cat´ri ego e.
´ Onpeutdenirlescate´goriesautrement: enmettantlesidentite´sdanslesdonnees. ´
Variantedescat´egories
D´enitionse´quivalentes
Exercice Donnezunsens`alaphraseinformelle:lesd´enitionsdecate´gorie etdesimili-cate´goriesont´equivalentes.
Maisquesq¸caveutdire?Unecat´egorieestuntriplet t-ce ue tandisquunesimili-cate´gorieestunquadruplet,cenestdoncpas la meme chose. ˆ
Nimportequelmathe´maticienvousledira: cesdeuxd´enitionsdecat´egoriesont´equivalentes.
aCduleesMosrulenstanodaelMssfanTrrsontimaoreiroge´tuetcnoFs
sCaieoregt´uetcnoFsfsnarTsrtionormaurelsnatnodaelMsudelseoM
Equivalded´enition ence
Cestquoiuned´enition? Enmaths,cest-`a-direenthe´oriedesensembles,ilnyapasde de´nitions,ilnyaquedesensembles(etencore).Doncune de´nitioncestunensemble.Etunee´quivalenceentredeux d´enitions,¸capourraitˆetreunebijectionentrelesdeuxensembles. Lesbijectionssontlesisomorphismesdelacate´goriedesensembles.
Exercice Explicitez une bijection entre l’ensemble des categories et celui des ´ simili-cate´gories(dununivers).
Exercice Proposezunede´nitionsimpledecat´egori´uivalentes. es eq
Consequence ´ Ducdxde´nitionse´quivalentesdeviennentdeux oup, eu cate´gories´equivalentes.Maisquesontlesmorphismes, isomorphismes,e´quivalencesdecate´gorie?
Equivalencedede´nition(bis)
Mais on veut mieux Onpr´ef`erelesd´enitionsquisp´ecient,enguisedensemble,une cat´egorie.Parexempleonpr´ef`ered´enirlacat´egoriedesgroupes que la notion de groupe (ou que l’ensemble des groupes). Autrementdit,onconside`requelesmorphismesfontpartiedela notion. Donc on doit savoir ce que sont les isomorphismes (ou equivalences?)decate´gorie. ´
llerutansnoitamresulodsMdenaMoesCat´egoriesoFcnetruTsarsnof
Cat´gories e
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Foncteurs
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Monades
Transformations
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du chapitre
naturelles
odsMesulseoManedanuterllrmationssTransforuetcnoFseiroge´atC
Exercice Onconsid`erelensembleBeda`e´xueml´tsen(VetF) et la cat´egorieC:=Ens/Beiroge´,etpacatuislD:=Ens×Ensdes ledembles.D´enissezun(pre´)foncteurF:C → Dqui coup s ens envoief:XBvers le couple (f1(V),f1(F)).
Lesdonne´esdunfoncteur
verifiant des conditions qu’on verra plus loin. ´
Un foncteur (covariant)F:C → Destconsritute´ap une applicationF:=Fob:ObC →ObD pour chaque couple (A,B) d’objets deCune application F:=FA,B: homC(A,B)homD(FA,FB)
atCnadeesMorellnatuluseMsdourtencFoesrigo´esnoitamrofsnarTs
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