CHANGEMENT DE BASES RANG ET SYSTEMES LINEAIRES

Publié par

CHAPITRE 4 CHANGEMENT DE BASES, RANG ET SYSTEMES LINEAIRES 1

  • espaces vectoriels de dimension finie

  • famille

  • px ?

  • unicite des coordonnees

  • a11 ·

  • vecteurs de l'espace vectoriel


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 51
Tags :
Source : iecn.u-nancy.fr
Nombre de pages : 4
Voir plus Voir moins
Universit´edeNice D´epartementdeMath´ematiques
Cours 4 : Noeuds, cols, foyers et centres
Ann´ee2011-2012 Syst`emesDynamiques
Jusquicinousavonse´tudie´des´equationsdi´erentiellescommemod`elespourladynamiquedune quantit´eunique´evoluantaucoursdutemps.Apre´sentnousallons´etudierdessyste`mesdedeuxe´quations di´erentiellesmod´elisantladynamiquededeuxquantite´s(parexempleleseectifsdedeuxpopulations) e´voluantavecletempseninteractionluneaveclautre.
Syst`emesdedeuxe´quationsdi´erentielles Onconside`relesyst`emededeux´equationsdi´erentiellessuivant: 0 x=f(x, y) 0 y=g(x, y)
(1)
ou`fetgsont deux fonctions que l’on supposeralissesesc`at-ir-donecˆnitnemue´dtavir.)lbse( On appellesolution(ruetcevnu)1(et`emusysdx(t), y(tsdlentdo))no´neessuecxoodrnctionsontdesfo 0 du temps quie´veirntonaeterid-aleuqselleltiener-`ste,cme`e´dilestsyx(t) =f(x(t), y(t)) et aussi 0 y(t) =g(x(t), y(t)). On appellecondition initialeruedalosulitnoa`lavaleonlue(qlaitinitnatsnil choisitsouvente´gala`0),cest-`a-direlevecteur(x(0), y(0)). Parexemplepourlesyste`medi´erentielsuivant,appel´eoscillateur harmonique, 0 x=y (2) 0 y=x
onpeutv´erierfacilementque,pourtouteslesvaleursder0 etθ[0,2π[, le vecteur (x(t), y(t)) = (rcos(tθ), rsin(tθtioiocdnitlainine(2))estunesolutionysude`tsteemssuaueiqsolatilulaon,0) est (x(t), y(t)) = (2cost,2 sint). Commepourles´equationsdi´erentiellesuniques,onpeutrarementcalculerlessolutionsexactesdun telsyste`medie´rentiel.Mais,commepourlese´quationsdi´erentielles,onpeutmontrerquepourassurer lexistenceetlunicite´dessolutionsdusyst`eme,e´tantdonne´euneconditioninitiale(x(0), y(0)), il suffit que les fonctionsfetgralrclecueutdonc,sses.Onpdtsevaioa`´dfeua´tlenssnied´uiiltneiosnoitauqeq dessolutionsexactes,chercher`ade´crirelecomportementdessolutionssoitparunee´tude qualitative, soit encalculantdessolutionsapproch´ees(ou,mieuxencore,lorsquecestpossible,encombinantlesdeux approches).
Trajectoires et champs de vecteurs Onpeutrepre´senterge´om´etriquementlessolutionsdusyste`medi´erentieldedeuxfa¸consdie´rentes: soit on trace les graphes de chacunes des deux composantes de la solution comme des fonctions du temps, soit on trace la courbe image det(x(t), y(t)) qui est unebruorapee´mae´rtecdans le plan (x, y) qu’on appelle unetrajectoire.eme`stsydu Dans le cas de l’oscillateur harmonique, les trajectoires sont des cercles concentriques (pourquoi?). Onsaitquelavitessedede´placementsurlacourbesolutionestdonn´eeparlevecteur vitesseque l’on peutcalculersimplement`alaidedesde´riv´eesdesdeuxcomposantesdelasolution   0 x(t) V=. 0 y(t)
0202 A noter que plus sa longueurkVk=x(t) +y(t) estgrande et plus la courbe est parcourue rapidement parladynamiqueassoci´eeausyst`eme. Bienquonneconnaissepaseng´ene´rallestrajectoires,onconnaitne´anmoinsleursvecteurstangent V(x, ype´nelratsyseme`uitpusqesilontd)neottuopniitlereneid´V(x, y) = (f(x, y), g(x, y)). Au syste`medi´erentielcorresponddoncunchamps de vecteurseer´srapaetm´uocssebr.naleltEdanslep t7→(x(t), y(tedit`emntie´ereltseslnoebtsocrusoui)q)itulostnsysudsnogeanesntchenunaceledsru pointsauvecteurdecoordonne´es(f(x, y), g(x, y)). Etudequalitative,isoclines,e´quilibres Le´tude qualitativedusenaxemdnraitdrue,unusyst`emisno`ets`tsycemeerinap,`´eadrmteaper¸cudu champs de vecteursdne´ddereuianl’alluredes trajectoires. Pour cela on remarque que sif(x, y) = 0 en un point, le vecteur du champs de vecteur sera vertical encepoint,etdemˆemesig(x, yquatd´eionqteudeiuruebalocizortaonOnl.d´en0=)sli,hareg(x, y) =
1
0 0,appele´eisocliney= 0, est une courbe sur laquelle les solutionst7→(x(t), y(t)) ont unetangente 0 horizontaletionemmˆDe.uobrlecaqeaude´f(x, y´,eaeplp)e=0isoclinex= 0, est une courbe sur laquelle les solutionst7→(x(t), y(t)) ont unetangente verticale. Les points d’intersections des isoclines sontlese´quilibres(x, y)st`edusy-tsecemlerid-a`tsinpoeselqulstetaarejtcioersiuseduntelpoint 0 0 reste en ce point pour toutt(car six(t) ety(t) sont nuls,x(t) ety(t) sont constants). Danschacunedesre´gionsdupland´elimit´eesparlesisoclines,lesquantit´esf(x, y) etg(x, y) sont de signeconstantetonpeutdoncsche´matiserladirectionduchampsdevecteursparunee`chedelundes quatres types suivants: vers la droite et vers le haut (sif >0 etg >0), vers la droite et vers le bas (si f >0 etg <0), vers la gauche et vers le haut (sif <0 etg >0), ou vers la gauche et vers le bas (si f <0 etg <0). 0 0 Larepre´sentationdesdeuxisoclinesy= 0 etx0=sed,s(rel`aqu´eibiledisitnosrceniet)etinessocl dusche´madese`chesduchampsdevecteursconstituentl´etude qualitativestsyme`eo`douluopnarrud leplussouventd´eduire,enutilisantlapropri´ete´quontlestrajectoiresdenejamaissecroiser,lallure des solutions en fonction de leur condition initiale (x(0), yneuauctie´nuciedlonisraenurqtenoA.))0( trajectoiresnetraverseun´equilibre.
Calculdesolutionsapproch´ees Commedanslecasdune´equationdie´rentielleunique,lam´ethodedEulerpermetdecalculerune solutionapproch´ee(˜x(t), y˜(turaptnassap))(´enndontoinpx0, y0snsy`tmep)uourntiel.Ledi´eree´die est ici encore de suivre le champ de vecteur durant un pas de tempshsseas´pot,tipeezedsiups,pu recommencer durant un second pas de tempsheueq,tsnniiountvano`aeauveculpmaheveduetcpuar lonaatteint.Lalgorithmeestlesuivant:ond´enitunesuitedepointsduplandecoordonn´ees(x0, y0), (x1, y1) , ...(xn, yn), ... par xn=xn1+hf(xn1, yn1) (3) yn=yn1+hg(xn1, yn1) etonreliecespointsentreeuxdefa¸con`aformerunelignebris´ee.Sihest suffisamment petit, cette ligne bris´eefournituneapproximationdelasolutionexacte.Eneetonpeutmontrerquesih= (tt0)/n, alors la suite (xn, yn) converge, quandntend vers l’infini, vers la valeur exacte de la solution (x(t), y(t)) a`linstanttt0. Onpeutaussiv´erierquecetalgorithme,commedanslecasdunee´quationdie´rentielleunique, estunalgorithmedordre1(cest-`a-direquelerreurtendversz´erocommelepashpiueteuqerˆtte) remplac´epardesalgorithmesplusperformants,notammentdesalgorithmesdordrepluse´l´ev´e.Parmiles plusutilise´ontrouvelalgorithmedeRunge-Kuttadordre4.
Naturedese´quilibres:classicationdePoincare´ HenriPoincar´eaintroduituneclassicationdeschampsdevecteursline´airesduplanquiregroupe ceschampsenunnombrenideclassesselonlaspectge´ome´triquedelafamilledestrajectoiresdu champs.Cetteclassicationesttre`simportantecaronlutilisenonseulementpourle´tudedechamps lin´eairesmaissurtoutpourle´tudedechampsnonlin´eairesdontonapproximelalluredestrajectoires auvoisinagedespointsd´equilibreparcelledestrajectoiresdulin´earise´duchampscommenousallons le voir ci-dessous. Unsyste`medie´rentiel(1)estditlin´eaierlorsque les deux fonctionsfetgonsres´eailsniitnoofcndtse dexet deyieictrmameorsfoussrolatirce´slI.avtn:elledelafa¸consui     0 x ab x = 0 y cd y
o`uAtameeciree´r2elleunst×2. On supposera queAestnnoe´´n´dgee´eern0euqerisaptsec,-d`at-es une valeur propre. On noteraλetµles deux valeurs propres deAuellesslorsqnnotesellee´rtnoaerot 2 α±ces deux valeurs propres lorsqu’elles sont complexes. On sait qu’il existe une base deRdans laquellelapplicationlin´eaireassoci´ee`aAa pour matrice l’une des suivantes :     λ0λ1α ω 0µ0λω α
En notantUetVmeeenlesesy`tesdann´eordoescoldrouesr´de´eistaseli,esabettecsnUetV: dans λt µtλt le premier cas on a (U, V) = (e U0V, e0), dans le second (U, V) =e(U0+tV0, V0) et enfin dans le troisie`me     Uλtcosωtsinωt U0 =e . Vsinωtcosωt V0
2
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.