Chapitre Equations I EXPRESSIONS LITTÉRALES

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Chapitre 3 : Equations I. EXPRESSIONS LITTÉRALES a. Définition Définition : Une expression littérale est une suite d'opérations comprenant des nombres et des lettres (variables). Exemples : 22 3 4A x x= + + 2P Rpi= Remarque : On peut calculer une expression littérale pour des valeurs particulières des variables. Exemples : Calculer A pour x = 5. 2 2 2 2 3 4 2 3 4 2 5 3 5 4 2 25 3 5 4 50 15 4 69 A x x A x x A A A A = + + = ? + ? + = ? + ? + = ? + ? + = + + = Calculer P au centième pour R = 7 cm 2 2 2 7 14 43,98 P R P R P P P pi pi pi pi = = ? ? = ? ? = ≈ b. Réduire des expressions littérales exemples : Réduire les expressions littérales suivantes A=4?x A=4 x B=2?4 x B=8x C=5 x?6 C=30 x D= x?x D= x2 E=4 x?x E=4 x2 F=6 x?3 x F=18 x2 G=4 x?6 x G=10 x H=2 x?15?7 x?9 H=2 x?7 x?15?9 H=9 x?6 I=?3 x2?5x?3???2 x2?7 x?9? I=3 x2?5 x?3?2 x2?7 x?9 I=3 x2?2 x2?5 x?7 x?2?9 I

  • x2?25 x?13 x?3?9

  • x?3?7 x2?13 x?9

  • couple ?2

  • appelées solution de l'équation

  • ?6 x?12?32 x?4


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Chapitre 3 : Equations
I. EXPRESSIONSLITTÉRALESa. Définition Définition :Une expression littérale est une suite d’opérations comprenant des nombres et des lettres (variables). Exemples : 2 A12x#3x#4P2R 1p Remarque :On peut calculer une expression littérale pour des valeurs particulières des variables.
Exemples : Calculer A pour x = 5. 2 A12x#3x#4 2 A12´x#3´x#4 2 A12´5#3´5#4 A42 25 3 5 1 ´# ´ # A50 154 1 ## A69 1
b. Réduire des expressions littérales
Calculer Pau centième pour R = 7 cm P12pR P12´p´R P12´p´7 P114p P»43, 98
exemples :Réduire les expressions littérales suivantes
A=4×x A=4x E=4x×x 2 E=4x
B=2×4x B=8x F=6x×3x 2 F=18x
2 2 I=3x5x32x7x92 2 I=3x5x32x7x9 2 2 I=3x2x5x7x29 2 I=5x2x7 K=2x453x2K=2×x2×45×3x5×2 K=2x815x10 K=2x15x810 K=17x2
c. Équations
C=5x×6D=x×x 2 C=30x=x D G=4x6xH=2x157x9 G=10xH=2x7x159 H=9x6 2 2 J=−2x25x3−−7x13x92 2 J=−2x25x37x13x9 2 2 J=−2x7x25x13x39 2 J=5x28x6 L=−32x4−48x1L=−3×2x3×−4−4×8x4×1 L=−6x1232x4 K=−6x32x124 K=−38x8
Définition :On appelleÉQUATIONl’écriture du signe « = » entre deux expressions littérales (appelées les MEMBRESde l’équation). Les lettres (ou variables) sont appeléesINCONNUESde l’équation. Exemples : 2 2x#113x#23x#71y% 5 9
Définition:Résoudreune équation c’est trouver toutes les valeurs numériques que l’on peut donner aux inconnues pour que l’égalité devienne vraie. Cette (ou ces) valeurs (s) sont appeléessolutionde l’équation.
Exemple :3t+ 2 = 18 –test uneÉQUATION. test l’INCONNUE. (3t + 2) et (18 – t) sont lesMEMBRESde cette équation. * Si on remplacetpar 5 (au hasard) et qu’on calcule séparément chaque membre de l’équation : D’une part :3t+ 2 = 3´5+ 2 = 15 + 2 = 17 D’autre part :18 –t= 18 – 5 = 13 Puisque 17¹13, l’égalité estfaussequandtvaut 5. Donc, 5 n’est pas une solution de l’équation. * Si on remplacetpar 4 (au hasard) et qu’on calcule séparément chaque membre de l’équation : D’une part :3t+ 2 = 3´4+ 2 = 12 + 2 = 14 D’autre part :18 –t= 18 – 4 = 14 Puisque les deux membres sont égaux lorsque t vaut 4, l’égalité estvraiequandtvaut 4. Donc, 4 est une solution de l’équation.
II.ÉQUATIONDUPREMIERDEGRÉÀUNEINCONNUE
Définition :Les équations du premier degré à une inconnue sont les équations de la formeax bcx d# 1# où a, b, c et d sont des nombres quelconques et x est l'inconnu.
a. Résoudre une équation Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, on isole l’inconnue dans un des membres en utilisant les deux propriétés suivantes. Propriété 1: On peut ajouter (ou retrancher) unExemple :Résoudre l’équationx3 6 % 1 même nombre aux deux membres d’une équationx%316 sans modifier ses solutions. x%3#316#3 x%3// #319 x19 la solution est 9.
Propriété 2: On peut multiplier (ou diviser) les deux membres d’une équation par un même nombre non nul, sans modifier ses solutions.
Exemple :Résoudre l’équation5x2 3x4 # 1% 5x2 3x3x4 3x # %1 %% 2x2 4 # 1% 2x#2%21 %4%2 2x1 %6 2x%6 1 2 2 x1 %3 la solution est3.
Exemple :Résoudre l’équation7x12 1 7x112 7x12 1 7 7 7/x12 1 /7 7 12 x 1 7 12 la solution est 7
b. Mettre un problème en équation Définition :Résoudre un problème par une mise en équation consiste à traduire un problème en une équation puis à résoudre cette équation pour obtenir une solution du problème.
Exemple : Trois frères se partagent 1600 euros : Loïc reçoit 200 euros de plus que Brice et Brice reçoit 100 euros de plus que Xavier. Combien reçoit Xavier ?
ère 1étape:On choisit l’inconnue ème 2étape:on utilise l’inconnue pour traduire les renseignements du texte et on écrit l’équation correspondante.
ème 3étape:On résout l’équation
ème 4étape:on vérifie la cohérence
On appellexle montant que reçoit Xavier Xavier reçoit : n Brice reçoit : n+100 Loïc reçoit n+100+200 Somme total : 1600 L’équation correspondante est donc : n+(n+100)+(n+100+200)=1600 n+n+100+n+100+200=1600 3n+400=1600 3n#40011600 3n#400%40011600%400 3n1200 1 3n1200 1 3 3 n1400
400 est bien positif donc le résultat est cohérent
III.SYSTÈMESDE2ÉQUATIONSÀ2INCONNUESDUPREMIERDEGRÉDéfinition : Les systèmes de deux équations du premier degré àdeux inconnuessont les équations de la forme a xb y=c 1 1 1 {a2xb2y c2 =
a ,b ,c ,a ,b ,c 2 2 21 1 1 sont des nombres quelconques.xetysont les inconnues.
Une solutionde ce système est un couplex ; ytel que les deux égalités soient simultanément vraies
Exemple : 2x6y=−2 Les couples2 ;1et−4 ; 1 sont-ils solutions du système { 3x5y=−7
Pourx ; y=2;12x6y=2×26×−1=−2 3x5y=3×25×−1=1≠−7 donc le couple2 ;1n'est pas solution.
Pourx ; y=−4;12x6y=2×−46×1=−2 3x5y=3×−45×1=−7 donc le couple−4;1est une solution.
a. Résolution par substitution 4xy=7 Exemple :résoudre le système d'équations. { 3x2y=4 On exprime une inconnue en fonction d'une autre4xy=7 4x −4x=74x y=74x On reporte dans la seconde équation puis on résout3x2y=4 l'équation du premier degré à une inconnue3x2×74x=4 3x2×72×−4x=4 3x148x=4 5x14=4 5x=414 10 x= 5 x=2 On reporte la valeur dexpour obteniry y=74x =74×2 y=−1 On vérifie la solution Le couple (2;-1) est solution du système d'équations b. Résolution par combinaison 4x3y=−2 Exemple :.résoudre le système d'équations { 2x5y=4 On multiplie la première équation par 5 et la5×4x3y=5×−2deuxième par -3 pour faire apparaître des{3×2x5y=−3×4 coefficients opposés sury. 20x15y=−10 { 6x15y=−12 20x15y−6x15y=−1012 On additionne les deux équations pour éliminery. 20x15y−6x15y=−1012 14x=−22 22 x=− 14 11 x=− 7 On recommence la même opération en multipliant la seconde équation par2pour faire apparaître4x3y=−2 { des coefficients opposés surx.2×2x5y=−2×4 4x3y=−2 { 4x10y=−8
4x3y−4x10y=−28 On additionne les deux équations pour éliminerx. 4x3y−4x10y=−10 7=−10 10 y=− 7
On vérifie que le couplex , y11 10est bien solution ;La solution du système est et on conclut.7 7
c. Mise en équation
Pour un concert de jazz, les places coûtent 35 euros ou 15 euros. Une association a acheté 15 places au total. Cela lui a coûté 425 euros. Combien de places de chaque sorte l'association a-t-elle achetées ?
ère 1étape:On choisit les inconnues
ème 2étape: on utilise les inconnues pour traduire les renseignements du texte et on écrit les équations correspondantes.
ème 3étape:On résout l’équation par substitution ou par combinaison. ème 4étape :on vérifie la cohérence
IV.ÉQUATIONPRODUIT
On appellexle nombre de place à 15 euros et yle nombre de places à 35 euros achetées par l'association. L'association a acheté au total 15 places, d'où l'équation : x =15 xplaces à 15 euros coûtentx×15=15x. yplaces à 35 euros coûtenty×35=35y. Au total l'association a payé 425 euros, d'où l'équation : 15x35y=425 d'où le sstème d'éuations xy=15 { 15x35y=425 Après calculs la solution de ce système est le couple5;10
4 et 10 sont bien des nombres entiers donc l'association a acheté 5 places à 15 euros et 10 places à 35 euros.
Définition: On appelle équation-produit, les équations de la forme :(ax b)(cx d) 0, où a, b, c et d # #1 x sont des nombres quelconques etl’inconnue.
La résolution de cette équation est basée sur la propriétésuivante:
Propriété: Si un produit est nul alors un de ses facteurs est nul Sia b0alorsa0oub10 ´ 11
Exemple :Résoudre l’équation(2x1)(3x5) 0 # %1 Réponse :(2x1)(3x5) 0 # %1 donc2x1 0ou3x5 0 # 1% 1 donc2x0 11 1ou3x5 55 # % 1%1 #% # 2x%13x5 donc ou 11 2 23 3 15 doncx oux 1 %1 23
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