Chapitre Exercices lycee A Brizeux PC

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Chapitre 10 Exercices lycee A. Brizeux PC 2011-2012 Series entieres I. Applications directes du cours Exercice 1 Donner le rayon de convergence et la somme des series entieres : a) X n0 4 n z n ; b) X n1 nz n1 ; c) X n0 z n n ; Exercice 2 Donner le rayon de convergence et la somme de la serie entiere X n0 (1) n n! z n ; II. A savoir rediger Exercice 3 Developper en serie entiere sur un voisinage de l'origine ?a; a[, la fonction g : x 7! 1 1 (x + x 2 ) . Exercice 4 A l'aide de la regle de d'Alembert, determiner le rayon de con- vergence de la serie entiere X n1 hn shn x 2n Exercice 5 Soit g : x 7! shx sinx 1. Justifier que la fonction g est DSE sur R, et donner l'ex- pression de son developpement en tout point x. 2. Montrer que x 6= 0 ) g(x) 6= 0. 3. Resoudre sur R l'equation sinx = shx. Exercice 6 Soit x 2? 1; 1[ 1.

  • rayon de convergence de la serie entiere

  • rayon de convergence r00 de la serie entiere

  • serie reelle convergente

  • series entieres

  • somme de la serie entiere

  • rayon de convergence


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Chapitre10 Exercices lyce´e A. Brizeux PC 2011-2012
S´eries enti`eres
I. Applications directes du cours
Exercice 1 Exercice 2
Donnerlerayondeconvergenceetlasommedess´eriesenti`eres: Donner le rayon de convergence et la somme de la s´erie enti`ere
a) ; b) ; c) ; ;
II. A savoir r´ediger
Exercice 3 Exercice 6
D´evelopperen s´erieenti`eresur un voisinagede l’origine , Soit
la fonction .
1. Montrer que , puis calculer
Exercice 4
A l’aide de la r`egle de d’Alembert, d´eterminer le rayon de con-
;
vergence de la s´erie enti`ere
2. Montrer que , puis calculer ;Exercice 5
Soit
1. Justifier que la fonction est DSE sur , et donner l’ex-
3. Montrer que , puis cal-
pression de son d´eveloppement en tout point .
2. Montrer que .
culer ;
3. R´esoudre sur l’´equation .
III. Exercices
Exercice 7 3. End´erivant,justifierque estsolutionsur del’´equation
D´eterminerlerayondeconvergencedelas´erieenti`ere , diff´erentielle :
avec 4. On note les coefficients du DSE de sur .
(a) montrer que :
a) ; b) ; c) ; d) ;
.
i (b) Calculer , , et en d´eduire .
e) ; f) , pour fix´e;
(c) En d´eduire que :
Exercice 8
Montrer que les fonctions et sont d´eveloppables
5. En d´eduire le d´eveloppement en s´erie enti`ere de sur .
en s´erie enti`ere sur , et donner leur expressions somma- V´erifier qu’il est constitu´e de puissances paires.
toires. Exercice 10
On rappelle qu’il s’agit de fonctions d´erivables et que : Montrer que pour tout , .
. Exercice 11
D´eterminer le rayon de convergence et la somme de la s´erie
Exercice 9
.
Soient et .
1. Rappeler le d´eveloppement en s´erie enti`ere de sur Exercice 12
, et justifier que y est d´eveloppable en s´erie enti`ere. Montrer que la fonction est DSE sur un inter-
2. Montrer que : , valle ouvert centr´e en , et donner son rayon de convergence.
S´eries enti`eres
2
a
n
n
8
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n
X
2
n
=1
)
0M. Roger Exercices lyce´e A. Brizeux PC 2011-2012
Exercice 13 Se´rie de Hadamard v´erifie l’in´egalit´e :
Soient et deux s´eries enti`eres de rayons de
convergence respectifs et . 2. A l’aide des s´eries enti`eres et , justifiez
1. Justifierquelerayondeconvergence delas´erieenti`ere que l’in´egalit´e peut ˆetre stricte.
IV. Pour aller plus loin
Exercice 14 1) s’il existe tel que : , alors
.Soient et .On d´efinit deux suites et en
2) a) comparer et lorsque ;posant :
pour tout , et .
b) montrer que a un rayon de convergence tel
D´eterminer les rayons de convergences et sommes des s´eries
que ;et .
c) montrer que le rayon de convergence de est ;
Exercice 15
d) montrer que le rayon de convergence de est ;
Trouver le rayon de convergence de la s´erie enti`ere r´eelle
et sa somme en cherchant une ´equation diff´erentielle
Exercice 19
du 3e ordre qu’elle v´erifie. Soit , et une s´erie enti`ere de rayon de conver-
Exercice 16
gence . On suppose que converge. Montrer queNotons , et pour tout ,
.
est d´efinie et continue sur le disque ferm´e1) Pour entier fix´e, terminer le rayon de convergence
de la s´erie enti`ere , et calculer la somme de cette .
s´erie enti`ere en tout point du disque ouvert de convergence.
Exercice 20 de´nombrement
2) Soit . Justifier (en une ligne) que est Soit un entier naturel fix´e. On souhaited´eterminer le nombre
une base de . de triplets tels que :
3) En d´eduire le rayon de convergence et la somme de la s´erie
.
.
1) D´evelopper en s´erie enti`eres sur les expressions :
, , .
Exercice 17
D´eterminer le rayon de convergence et la somme de la s´erie
2) Justifier que
enti`ere , o`u pour tout on pose
.
3) Exprimer le nombre de fa¸cons d’avoir euros `a l’aide
Exercice 18 de pi`eces de 1 E ou 2 E ou 5 E, `a l’aide des coefficients
Soient et deux s´eries enti`eres de rayons de du DSE
de
convergence respectifs et , justifier que :
S´eries enti`eres
X
R
n
j
t
n
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b;

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R
n
1)
2/3
+Chapitre10 Exercices lyce´e A. Brizeux PC 2011-2012
V. Un probl`eme de concours : PT A 2003, partie II
Soit une s´erie r´eelle convergente. On note sa somme.
1. Montrer qu’alors la s´erie enti`ere de coefficients a un rayon de convergence au moins ´egal `a .
Dans toute la suite de cette partie on pose : .
On se propose d’´etudier la continuit´e de la fonction en .
2. Montrer que si alors est continue en .
3. On se place dans le cas ou` . On note la somme partielle de rang .
(a) Soit et .
i. Montrer que : .
ii. En d´eduire que : .
(b) Montrer alors que le rayon de convergence de la s´erie enti`ere de coefficients est au moins ´egal `a , et que :
.
(c) Nous nous proposons de montrer que : . Soit .
i. V´erifier que, pour tout r´eel , on a :
.
On suppose donc pour la suite que , sans nuire `a la g´en´eralit´e de la m´ethode, quitte `a remplacer
par
ii. Montrer qu’il existe un entier positif tel que : entraˆıne .
iii. En d´eduire que, pour tout .
iv. Montrer enfin qu’il existe tel que : .
Conclure.
(d) En d´eduire que la fonction est continue en .
´4. Etablir la convergence de la s´erie puis d´eterminer sa somme.
S´eries enti`eres
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