Chapitre Lois continues

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Chapitre 5 Lois continues Û ? Ø 1. Rappel Voir page 11 pour les rappels sur les variables à densité. RAPPEL Une variable X est absolument continue s'il existe une fonction f définie sur telle que : ? f est positive sur , ? f est continue sur sauf peut-être en un nombre fini de points où elle admet une limite à droite et une limite à gauche, ? , ( ) d 1f t t +∞ ?∞ =??? ? La fonction de répartition F de X est liée à f par : . ( ) ( ) d x F x f t t ?∞ = ??? On dit que f est une densité de X. Abusivement, f est appelée loi de X. 2P([ ; ] ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d b a a b f t t E X t f t t V X t f t t +∞+∞ ?∞ ?∞ = = µ = = ?µ?? ?? ? ?? ? ? 2. Loi uniforme Une v. a. X suit la loi continue uniforme sur [ a ; b ] (a ≠ b) si, et seulement si, X a pour densité de probabilité la fonction f définie par 1 [ ; ], ( ) [ ; ], ( ) 0 x a b f x b a x a b f x ?? ? =? ???? ? ? =? .

  • lois continues

  • respectifs ?x

  • loi normale

  • axe des abscisses

  • loi uniforme

  • variable aléatoire

  • ?2 ≤


Publié le : lundi 18 juin 2012
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1. Rappel
Chapitre 5 Lois continues
Û×Ø
Voir page 11 pour les rappels sur les variables à densité. RAPPELUne variableXest absolument continue s’il existe une fonctionfdéfinie surtelle que : fest positive sur, fest continue sursauf peutêtre en un nombre fini de points où elle admet une limite à droite et une limite à gauche, +∞ f(t) dt=1, −∞ x fonction de répartition LaFdeXest liée à f par :F(x)=f(t) dt. −∞ On dit que f estunedensitédeX. Abusivement,fest appeléeloi deX.+∞ b+∞ ⌠ ⌠ ⌠2 P([a;b]=f(t) dt E(X)= µ =t f(t) dt V(X)=(t− µ)f(t) dt⎮ ⎮ ⎮ ⌡ ⌡ a−∞ −∞ 2. Loi uniforme
Une v. a. X suit la loi continue uniforme sur [a;b] (ab) si, et seulement si, X a 1 ⎪∀x[a;b],f(x)= pour densité de probabilité la fonctionfdéfinie parba. x[a;b],f(x)=0 Cette loi est notéeU([a;b]. y y 1
1 ba  aOb Densité de probabilité
aOb Fonction de répartition
2 a+b(ba) E(X)=V(X)=2 12 Soit X et Y deux v.a. telles que Y = (ba) X +a X suit la loi uniforme sur [ 0 ; 1 ] si et seulement si Y suit la loi uniforme sur [a;b].
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3. Loi normale ou loi de Laplace-Gauss
3.1. Définition et premières propriétés Soit deux réelsmetσavecσ>0. Une variable aléatoireXsuit une loi normale de paramètresmetσnotéeN(m;σ) si et seulement si X a pour densité la fonctionf définiepar : 2 1xm⎜ ⎟ 1 2⎝ ⎠ σ f(x)=e. On a alors E(X) =met V(X) =σ. σ2π La courbe représentative defest appelée « courbe en cloche ». La figure suivante représentef etsa fonction de répartitionF. La longueur du segment [AB] est égale à l’aire du domaine grisé. F(x) B 0,5
O f(x)
A
Om x 3.2. Loi normale centrée réduite Une variable aléatoireTsuit la loi normale centrée réduite si elle suit la loi normale N(0 ; 1).Sa fonction densité de probabilité,f:, est alors définie par 1 2 t 1 2 f(t)=e. 2π Son espérance mathématique est E(T) = 0et sa variance V(T) = 1. t 1 2 x 1 2 Si on noteΠsa fonction de répartition, on a :Π(t)=P(T<t)=edx2π −∞ Xm Une variable aléatoire X suit la loi normaleN(m;σ) si et seulement siT=suit la loi normaleN(0 ; 1).
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3.3. Les tables de la loi normale centrée réduite Extraits de la table de la fonction intégrale de la loi normale centrée réduiteN(0 , 1).
t Û t P(t)=P(X£t)=f(x) dxÙ ı -• t 0.000.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.00.508 00.512 00.500 00.504 00.523 90.527 90.516 00.519 90.531 90.535 9 0.10.547 80.543 80.555 70.551 70.539 80.575 30.563 60.559 60.571 40.567 5 0.20.587 10.591 00.594 80.598 70.579 30.583 20.602 60.606 40.610 30.614 1 0.30.640 60.636 80.633 10.629 30.625 50.621 70.617 90.651 70.648 00.644 3 0.40.677 20.680 80.670 00.673 60.662 80.666 40.655 40.659 10.684 40.687 9 0.50.722 40.715 70.719 00.708 80.712 30.701 90.705 40.695 00.698 50.691 5 0.60.725 70.729 10.754 90.751 70.748 60.745 40.742 20.738 90.735 70.732 4 0.70.779 40.782 30.785 20.767 30.770 40.773 40.776 40.764 20.761 10.758 0 0.80.788 10.791 00.793 90.796 70.813 30.810 60.802 30.799 50.807 80.805 1 0.90.821 20.818 60.826 40.823 80.815 90.834 00.836 50.828 90.831 50.838 9 1.00.841 30.843 80.850 80.853 10.846 10.848 50.862 10.859 90.857 70.855 4 1.10.879 00.881 00.883 00.868 60.866 50.864 30.877 00.874 90.872 90.870 8 1.20.884 90.886 90.888 80.890 70.892 50.894 40.896 20.898 00.901 50.899 7 1.30.917 70.906 60.904 90.909 90.908 20.913 10.911 50.916 20.914 70.903 2 1.40.920 70.919 20.931 90.930 60.929 20.927 90.926 50.925 10.923 60.922 2 1.50.934 50.935 70.933 20.944 10.941 80.942 90.939 40.940 60.937 00.938 2 1.60.946 30.945 20.948 40.947 40.954 50.953 50.950 50.949 50.952 50.951 5 1.70.956 40.957 30.958 20.959 10.955 40.963 30.959 90.960 80.961 60.962 5 1.80.964 90.964 10.967 80.967 10.966 40.965 60.970 60.969 90.969 30.968 6 1.90.971 90.972 60.971 30.974 40.975 00.973 20.973 80.976 70.975 60.976 1 2.00.977 80.977 20.978 80.978 30.979 80.979 30.980 80.980 30.981 70.981 2 2.10.982 10.982 60.983 00.983 40.983 80.984 20.984 60.985 00.985 40.985 7 2.20.988 10.988 40.988 70.989 00.986 80.987 10.987 50.987 80.986 10.986 4 2.30.991 30.991 10.991 60.990 40.990 10.990 90.990 60.989 30.989 60.989 8 2.40.993 40.993 60.993 10.993 20.992 70.992 90.992 00.991 80.992 50.992 2 2.50.995 20.995 10.994 90.994 80.994 60.994 30.994 50.994 00.994 10.993 8 2.60.996 00.995 90.995 70.995 60.995 50.995 30.996 10.996 20.996 30.996 4 2.70.997 30.997 20.997 40.996 50.996 60.996 70.996 80.996 90.997 00.997 1 2.80.998 00.998 10.997 50.997 40.997 70.997 60.997 80.997 70.997 90.997 9 2.90.998 60.998 30.998 40.998 20.998 20.998 50.998 60.998 40.998 50.998 1 Table pour les grandes valeurs det: t3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.8 4.0 4.5 Π(t)52 0.99966 0.99977 0.999841 0.999 0.99865 0.99903 0.99931 0.999928 0.999968 0.999997
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Ces tables sont construites uniquement pourtmais les deux propriétés positif, graphiques suivantes : ¤ lacourbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ¤ l’airede la surface comprise entre la courbe et l’axe des abscisses est égale à 1 permettent d’effectuer les calculs dans tous les cas. t +∞ Π(t)=P(Xt)=f(x)dx −∞ f(x).dx=1−∞ t
t t Π(t)=P(X>t)=1− Π(t)Quelques résultats importants : t,t, avect<t, P(tTt)= Π(t)− Π(t) 1 21 21 2 21 t, P(T>t)=1− Π(t) t[ 0 ;+ ∞[ P(T≤ −t)=1− Π(t) t[ 0 ;+ ∞] P(tTt)=2Π(t)1 Cette dernière relation est souvent utilisée. Il convient de retenir deux valeurs importantes : P(1,96T1,96)=0,95 P(2,58T2,58)=0,99 Plus généralement on a :
m−σmm3σm2σm+2σm+3σ0,68 0,95 0,997
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3.4. Quelques exercices d’application Exercice 1 Une usine fabrique en grande série un certain type de pièces cylindriques. On appelle X la v.a. qui, à chaque pièce tirée au hasard, associe sa longueur et Y la v.a. qui associe son diamètre. On suppose que X et Y sont indépendantes et suivent des lois normales de − − moyennes respectivesx= 8,55 cmety= 5,20 cmet d’écarts types respectifs σ= 0,05 cm etσ= 0,05 cm. x y 3 1. Déterminer,à 10près les probabilités P(8,45< X < 8,70)et P(5,07 < Y < 5,33. 2. Unepièce est conforme si: 8,45 < X < 8,70 et 5,07 < Y < 5,33.  a.Calculer le pourcentage de pièces non conformes à la sortie de la chaîne.  b.Les machines nécessitentelles un réglage, sachant que le pourcentage de pièces non conformes ne peut dépasser 1 % ? Solution X8,55 X suit la loi normaleNDonc la v.a. T, définie par(8,55 ; 0,05).T=, 0,05 suit la loi normale centrée réduite. 8,458,55 8,708,55 8,45X8,70 équivaut àT, donc à2T3. 0,05 0,05 La probabilité cherchée est doncΠ(3) –Π(2). OrΠ(2) = 1 –Π(2). Donc : P(8,45X8,70) =Π(2) +Π(3) – 1 = 0,976 De même, pour calculer P(5,07Y5,33), on utilise la variable normale centrée Y5,20 réduiteT '=. 0,05 5,075,20 5,335,20 5,07Y5,33 équivaut àT ', donc à2,6T’2,6. 0,05 0,05 P(5,07Y5,33) = 2Π(2,6) – 1 = 0,991 2. a. SoitD l’événement « la pièce n’est pas conforme ». D = (8,45X8,70)et(5,07Y5,33) Or les v.a. X et Y sont indépendantes. Donc P(D) = P(8,45X8,70)×P(5,07Y5,33) = 0,967 Par suite la probabilité qu’une pièce ne soit pas conforme est 10,967 = 0,033 Cette probabilité est supérieure à 1 %. Il faut régler les machines…
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Exercice 2 Une entreprise spécialisée dans la production de matériel optique fabrique des lentilles en grande série. On a mesuré la vergencex, exprimée en dioptries, de 1 000lentilles du même type et on a obtenu la série statistique des mesuresxi suivantes avec les effectifsncorrespondants. i x1,975 1,9801,985 1,990 1,995 2,000 i n176 20067 1188 27 i x2,005 2,010 2,0152,020 2,025 i n180 122 6428 10 i 1. Donnerla moyennexainsi que l’écart typeσde cette série. Représenter cette série à l’aide d’un diagramme en bâtons. 2. Àchaque lentille de la production, on associe sa vergencex, exprimée en dioptries. On définit ainsi une v.a. X. L’allure du diagramme précédent amène à considérer que X suit la loi normaleNUne lentille est déclarée(2 ; 0,01). acceptable lorsque 1,98 <x<2,02. Elle est déclarée défectueuse dans le cas contraire. Calculer la probabilité pour qu’une lentille de la production soit défectueuse. 3. Un réglage de machine permet de modifier l’écart type sans changer la moyenne. Dans cette question X suit donc une loi normale N(2 ;σ’) Déterminerσ’ pour que la probabilité d’obtenir d’obtenir une lentille défectueuse soit inférieure ou égale à 0,01. Solution 1. Lesrésultats arrondis au centième sontx=2,00 etσ= 0,01 2. Onadmet que X suit la loi normale N(2; 0,01).Une lentille est déclarée acceptable si l’événement 1,98X2,02 est réalisé. X2 La v.a. T définie parT=suit la loi normale centrée réduite. 0,01 1,98X2,02 équivaut à2T2. On sait que P(2T2) = 2Π(2) – 1. La table donneΠ(2) = 0,977 2. Donc P(1,98X2,02) = 0,954 4 La probabilité pour qu’une lentille soit défectueuse est 1– 0,954 4soit, au centième le plus proche, 0,05. X 2 3. SiX suit la loi normale N(2 ;σ’) alors la variable T définie parT=suit σ' la loi normale centrée réduite. On veut que la probabilité d’obtenir une lentille défectueuse soit inférieure ou égale à 0,01, donc que la probabilité d’obtenir une lentille acceptable soit strictement supérieure à 0,99 : P(1,98X2,02) > 0,99. Cette inégalité s’écrit : 0,02P(|X2|0,02)>0,99, soitP|T|≤ >0,99 ⎜ ⎟ ⎝ σ'0,02⎞ ⎛0,02On en déduit que 2Π −1>0,99 soitΠ >0,995. ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ σ'⎠ ⎝σ'La table de la loi normale centrée réduite donneΠ(2,575)=0,995. 0,02 Alors=2,575, soitσ'=0,00776.... Au millième le plus proche,σ'=0,008 . σ' d’après BTS Génie Optique
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