COMPTE RENDU D'ACTIVITES

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COMPTE-RENDU D'ACTIVITES 1. Recherche Une large majorite de mes travaux s'articulent autour de la theorie des trajectoires rugueuses (rough paths) initiee par T. Lyons a la fin des annees 90 ([14]). Il s'agit d'une nouvelle approche trajectorielle du calcul stochastique, qui permet une generalisation de la theorie d'Ito a des non-martingales et offre egalement des controles tres fins quant a la regularite des diffusions. La theorie a ete originellement developpee en vue de l'analyse des systemes differentiels stochastiques standards dyt = ?(yt) dxt , y0 = a ? Rm, ou x est un processus stochastique multidimensionnel irregulier en temps (p.s.) et ? un champ de vecteurs plusieurs fois differentiable. Le traitement theorique de cette equation via l'approche rough paths a donne lieu ces dernieres annees a une riche litterature et atteint desormais un niveau de maturite tres eleve, comme l'a recemment rapporte l'ouvrage exhaustif de P. Friz et N. Victoir ([12]). Le nouveau defi de la theorie des trajectoires rugueuses consiste a present a transposer les grands principes de la methode dans des contextes de systemes differentiels moins standards, fini et infini-dimensionnels. C'est dans le cadre de cet objectif tres general que s'inscrivent mes travaux de recherche sur les rough paths. De fac¸on plus precise, j'ai eu l'occasion d'aborder deux grandes classes d'equation: les systemes de Volterra (fini-dimensionnels) et les equations paraboliques.

  • classiques des semigroupes analytiques

  • equations

  • modele des chaos de wiener classiques

  • rough volterra

  • question de la regularite des solutions

  • equation


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 99
Source : iecn.u-nancy.fr
Nombre de pages : 5
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COMPTE-RENDU
´ D’ACTIVITES
1.Recherche Unelargemajorit´edemestravauxsarticulentautourdelath´eoriedestrajectoires rugueuses (rough pathse´pera.Ti)initandesanLyons`al]41[lI.)ee´n(09seunagsdit nouvelleapprochetrajectorielleducalculstochastique,quipermetunege´n´eralisationde lathe´oriedItoˆa`desnon-martingalesetoree´galementdescontrˆolestre`snsquanta` lar´egularit´edesdiusions. Lathe´orieae´te´originellementd´evelopp´eeenvuedelanalysedessyst`emesdie´rentiels stochastiques standards m dyt=σ(yt)dxt, y0=aR, o`uxr´irelnnreieulegp(spmetnte).s.sunupsrsoceesstastitochluituqmesnoiidemσun champdevecteursplusieursfoisdi´erentiable.Letraitementthe´oriquedecette´equation vialapprocheroughpathsadonne´lieucesderni`eresanne´esa`unerichelitt´erature etatteintde´sormaisunniveaudematurit´etr`ese´lev´e,commelare´cemmentrapport´e l’ouvrage exhaustif de P. Friz et N. Victoir ([12]). Lenouveaud´edelath´eoriedestrajectoiresrugueusesconsistea`pre´senta`transposer lesgrandsprincipesdelam´ethodedansdescontextesdesyst`emesdi´erentielsmoins standards,nietinni-dimensionnels.Cestdanslecadredecetobjectiftre`sge´n´eral quesinscriventmestravauxderecherchesurlesroughpaths.Defac¸onpluspr´ecise, jaieuloccasiondaborderdeuxgrandesclassesd´equation:lessyste`mesdeVolterra (ni-dimensionnels)etles´equationsparaboliques. 1.1.etlorarroitaVednLqu´eugueuse.erinaontiacfreltienemid´reudystse`Ilsagit Z t yt=a+σ(t, u, yu)dxu,(1) 0 d o`u,dansnotrecadred´etude,x: [0, T]Rprrese´eeuntronpque)ecsssus(othcsait dont les trajectoires sont p.s.γ´eld¨o-hs,neenrinuecopruntriaγ(0,1). Lorsquex estunmouvementBrownienstandard,ondisposedepuislongtempsdunegammetr`es compl`eteder´esultatsassocie´sa`cette´equation(citonsparexemple[16]).Enrevanche, lextensionnaturelledecemode`le`adesbruitsgaussiensplusg´ene´rauxnavaitjusqualors donne´lieu`aaucune´etudesp´ecique.Laparticularite´decesyst`emer´esidebienentendu danslapre´sencedelavariablecourantetaiesu´egrantndelintσ(t, u, yup,´hnemo)ene` quiinduitunede´pendancedesvariationsdelatrajectoirevis-a`-visdetoutsonpasse´. En effet, sisettsont deux instants de [0, T], Z Z t s ytys=σ(t, u, yu)dxu+ [σ(t, u, yu)σ(s, u, yu)]dxu.(2) s0 Unpremiertravail,quiadonn´elieu`alarticle[10]publie´dansStochastics and Dy-namicsppuyants(1)ensae´utidreistse´a`sdthsanousrpaghsilaedemelrumrofnoca, saversionclassique.Deuxtypesder´esultatssontressortisdecettee´tude: 1
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eir´tugalulosenudelabolg´earelqursloontir´esultatdexistneectednucitie´nUγ eststrictementsupe´rieure`a1/2 (cas Young), ce qui inclut le cas du mouvement Brownien fractionnaire d’indice de HurstH >1/2. Urne´usesruqonlolutinesoedule´tlacoudticinteiseencatltexdγ >1/3 etx R R permetlaconstructionduneinte´graleite´r´eedx dxypoth`esequiengleboh, en particulier le cas du mouvement Brownien fractionnaire d’indiceH >1/3, et partant le cas du mouvement Brownien standard. Cesre´sultatsonte´t´e´etablisensupposantσis-v`as-vire`elibairavsiortsesedles.e`rse´ugrt Danscemeˆmearticle,uneattentionae´galemente´te´port´eeaucassingulierσ(t, u, y) = α (tu)ψ(y), avecα >ute,0tluse´rnisexdattdeencteic´tuinabelgeololutdessions est´etablisouslhypothe`seγα >1/2. Pourobtenirunr´esultatdexistenceglobaledanslecasγ(1/3,1/2], nous avons ensuiteenvisage´lasituationunpeuplusparticuli`ere(diteconvolutionnelle)ou`lechamp de vecteursσlaformees´dcemoopesossuσ(t, u, y) =φ(tu)ψ(y), avecψetφdeux fonctionsre´gulie`res.Ensappuyantsurunerepre´sentationdeFourierdeφ, ieφ(t) = R 2iπξt ˆ dξ eφ(ξit´edeladditiveill,eonxeopentntnaulruste,)ojnepemmossu`sunevraa R r´eduirelad´ependancevis-a`-visdupass´e([0, s])d(snaa`)2denuepe´anndpaceaprrrtpo auseulpre´sent(sosseitulsno).Apartirdececontstau,enrpcoe´udrederecollementd localesapueˆtreenvisag´eepourconduire`alasolutionglobaleespe´re´e.Cettedeuxi`eme approcheafaitlobjetdelarticle[9]`aparaˆıtredansStochastic Processes and Their Applications. 1.2.ruurlehaacelndiouqtaLe´.esueugOn bascule cette fois dans un contexte inni-dimensionnel`atraverslaconsid´erationdele´quation dyt=Aytdt+F(yt)dxt, y0=ψ,(3) ou`Aneunesigrateop´e´deelate´gzre´nueiqseaselurptlixun bruit stochastique fonctionnel dontlestrajectoiressont(p.s.)ho¨lde´riennesentemps.Pouranalysercettee´quation, jemesuisappuy´esurleformalismere´cemmentintroduitparM.GubinellietS.Tindel dans[13],etquiassocieauxprincipesdestrajectoiresrugueusescertainesproprie´te´s classiquesdessemigroupesanalytiques.Ceformalismeavaitde´ja`permis`aM.Gubinelli etS.Tindeldenvisagerle´quation(3)enpr´esenceduneperturbationlin´eaire(F= id) dirige´parunmouvementBrownienfractionnairehomoge`neenespace,dindicedeHurst H1/2. Encollaborationaveccesdeuxauteurs,jaipue´tendrecemod`elea`uneperturbation non-lin´eaire(typiquement,F(ϕ)(ψ)(ξ) =f(ξ, ϕ(ξ))ψ(ξ))idirtmouvemeng´eparun Brownien fractionnaire d’indiceH >1/ua,)shtaphgunee´su´gtelp(32-rodunmentrale prixdeconditionsdergularit´eenespaceunpeuplusrestrictivessurx. Cetravail a donne´naissancea`larticle[4],a`paraıˆtredansProbability Theory and Related Fields. Danslaplupartdecessituations,onsaperc¸oitne´anmoinsquelamiseenœuvredes argumentsdepointxeclassiquesconduita`lobtentiondunesolutionlocaleseulement, de´niesurunpetitintervalledetemps[0, T0],`apudsee´neme`lborpe´eidquonsddend savoirx,Fetψaerc´imeomPjr,u`lrbce`adpeeeoirlyseaanah´e`.hercrapnoitauqe´lr lebiaisdesche´masdiscrets,enminspirantdelastrat´egiede´veloppe´eparA.M.Davie dans[1]pourles´equationsdi´erentiellesstandards.Ilsestave´re´quecetteapproche conduisaiteectivement,souscertainesconditionsdere´gularite´spatiale,`auncontroˆle
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