Concomitants et p uplets de matrices

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Concomitants et p-uplets de matrices 2? 2 D. BOULARAS? Z. BOUZAR† Abstract Utilisant les methodes de la theorie classique des invariants, on construit un systeme de generateurs de l'anneau des concomitants de plusieurs matrices n ? n. Pour n = 2, on obtient un systeme minimal de generateurs. On donne ensuite une classification en classes de similitude des couples et des p-uplets de matrices 2? 2. Concomitants and p-tuples of 2? 2-matrices Abstract - Using the methods of the classical invariant theory, we construct a set of generators for the ring of concomitants of several n?n-matrices. For n = 2, we obtain a minimal system of generators. We also give a complete classifcation of similarity classes for pairs and p-tuples of 2? 2-matrices. 1 Introduction et Motivations On note M(n,K) l'algebre des matrices carrees n ? n a coefficients dans un corps de caracteristique nulle K, Mp(n,K) le produit cartesien M(n,K)? · · ·?M(n,K) (p fois) et par G le groupe GL(n,K) des matrices inversibles de M(n,K). On sait que G agit sur Mp(n,K) selon la representation rationnelle ? : G ? GL(Mp(n,K)) ou ?(g)(A1, .

  • systeme minimal de generateurs

  • algebre des matrices carrees

  • resultats qualitatifs

  • theoreme

  • lecture globale des resultats sur la separation des orbites

  • methodes de la theorie classique des invariants


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Concomitants et p -uplets de matrices 2 ! 2 D. BOULARAS " Z. BOUZAR
Abstract Utilisantlesmethodesdelathe´orieclassiquedesinvariants,onconstruitun systemedeg´en´erateursdelanneaudesconcomitantsdeplusieursmatrices n ! n . ` Pour n =2,onobtientunsyste`meminimaldeg´ene´rateurs.Ondonneensuiteune classification en classes de similitude des couples et des p -uplets de matrices 2 ! 2. Concomitants and p -tuples of 2 ! 2 -matrices Abstract - Using the methods of the classical invariant theo ry, we construct a set of generators for the ring of concomitants of several n ! n -matrices. For n = 2 , we obtain a minimal system of generators. We also give a comp lete classifcation of similarity classes for pairs and p -tuples of 2 ! 2 -matrices.
1 Introduction et Motivations On note M ( n, K )lalge`bredesmatricescarre´es n ! n `acoe ! cients dans un corps de caract´eristiquenulle K , M p ( n, K )leproduitcart´esien M ( n, K ) ! ∙ ∙ ∙ ! M ( n, K ) ( p fois) et par G le groupe GL ( n, K ) des matrices inversibles de M ( n, K ). On sait que G agit sur M p ( n, K )selonlarepr´esentationrationnelle ! : G # GL ( M p ( n, K ))ou` ! ( g )( A 1 , . . . , A p ) = ( gA 1 g ! 1 , . . . , gA p g ! 1 ) Dansdenombreuxdomainesdapplicationscommelathe´orieducontrˆole,onsint´eresse `aladescriptiondes G -orbites de l’ensemble M p ( n, K ).Ceprobl`emeestclassiqueet beaucoupder´esultatsfondamentauxa`caract`erealge´brique,topologiqueoug´eome´trique sont obtenus [ ? , ? , ? ].Malheureusement,danslecasg´en´eral,cesre´sultatsqualitatifs ne permettent pas de classifier les orbites ([ ? , p.196]). Dans [ ? ], les auteurs donnent desconditionsn´ecessairesetsu ! santes pour que deux matr ices soient semblables. Cela re´pond`auntypedeclassication[ ? , p.70] qu’on peut qualifier d’implicite car ne donnant ! DepartementdeMath´ematiques,Facult´edesSciences,Universit´edeLimoges,123,AvenueA. ´ Thomas, 87000, Limoges, France InstitutdeMathe´matiques,Universit´edesSciencesetdelaTechnologieH.Boumedi`ene,16111,El-Alia, Alger, ALGERIE
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pas les formes canoniques. En quoi consiste la di ! culte´decetteclassication?Essentiellementdanslefaitquil existedesorbitesnonferm´eesetque,parcons´equent,lalge`bredesinvariantsnesu ! t paspourlesse´parerdecellesquileurssontadhe´rentes(silegroupeestcompact,ce proble`meneseposepas[ ? ]).Do`ulan´ecessite´de´largirlanotiondinvariant`acellede concomitant,n´ecessite´de´j`amiseenreliefdansle´tudedesformesalg´ebriquesetsyste`mes di " ´erentielspardenombreuxauteurs[ ? ], [ ? ], . . . et qui s’explique par deux faits essentiels. 1. G e´tantungroupealge´briqueagissantmorphiquementsurlespacea ! ne M p ( n, K ), chaque G -orbitedecetespaceestunsous-ensemblelocalementferm´edontladh´e-rence(ausensdelatopologiedeZariski)estcompos´eedorbitesfrm´dedimen-e ees sionstrictementinfe´rieure.Onend´eduitdoncquedeuxorbitessont´egalessiet seulementsileursadhe´rencessonte´gales.Silonde´signepar X et Y lesadh´erences des orbites distinctes de deux p -uplets de matrices n ! n A = ( A i ) et B = ( B i ), on a ou bien A / $ Y , ou bien B / $ X . Supposons que A $ / Y . Il existe alors un polynˆomede´pendantdescoe ! cients du p -uplet de matrices qui s’annule sur Y (sur B en particulier) et non sur A . 2.Dapr`esleth´eor`emedeGram(voirparexemple[ ? , § 8] [ ? , pp.240-241]), toute famille derelationsalge´briques
U i ( A 1 , . . . , A p ) = 0 , (1 % i % r ) (1) quiontunsensinvariantparrapport`a GL ( n, K )este´quivalente`aunefamillede relations Q j ( A 1 , . . . , A p , x 1 , . . . , x n ) = 0 , (1 % j % s ) (2) ou`les Q j sont des concomitants absolus de M p ( n, K ) et x 1 , x 2 , . . . , x n ,des´ele´ments de K n . Lavarie´t´ealge´briquede´nieparlesrelations( ?? )peuts´ecrirealorsdemaniere ` intrinse`que,ind´ependammentdessyste`mesdecoordonn´ees.Deplus,lepassagedes relations ( ?? ) aux relations ( ?? )permet,enge´ne´ral,davoir s % r. Ainsi donc,la question de la classification ou de la descript ion du quotient M p ( n, K ) /G parlesconcomitants(incluantetlesinvariants)estth´eoriquementr´esolue.Cependant, danslapratique,trouverconcre`tementcesinvariantsetconcomitantsetvoircommentils interviennentpouridentierlesorbitessav`ereˆetreunetˆacheasezardue.Elleest,bien sur,unpeumoinsarduesilonsaitd´ecrirelalg`ebredesinvariantsetconcomitants,cest-ˆ a`-dire,construiredessyst`emes(depre´fe´renceminimaux)dege´ne´rateursetdesyzygiesde cettealge`bre. Ce travail comporte trois parties. Danslapremi`ere,onrappellelesre´sultatsessentielssurlesge´ne´rateursdelalg`ebredes invariants de matrices. A ce sujet, il semblerait que la mono graphie [ ? , pp.191-260] soit peuconnue.Danscelivre,lauteuraconstruitdessyst`emesminimauxdeg´en´erateurs polynoˆmiauxdinvariantsorthogonauxunitaireseta ! nes d’une famille quelconque de
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matrices 2 ! 2 et 3 ! 3`acoe ! cientsdansuncorpsdecaracte´ristiquenulle. Dansladeuxie`mepartie,ondonnedeuxr´esultatssurlessyst`emesdegenerateursdes ´ ´ concomitants de M p ( n, K ): le premier limite la longueur des chaˆınes et le second don ne unsyste`meminimaldeg´ene´rateursdeconcomitantsdunefamillequelconquedematrices 2 ! 2. Danslatroisi`emepartie,utilisantdesconcomitantstrouv´esdansladeuxie`me,onpropose une classification d’un couple de matrices 2 ! 2`acoe ! cientsdansuncorpsalg´ebrique-mentclosetdecaracte´ristiquenulle.Lesconcomitantsutilis´esonttousunesignication ge´ome´triqueconcre`te.Lesformescanoniquesobtenuespermettentunelectureglobaledes r´esultatssurlas´eparationdesorbitesobtenusdans[ ? ] ainsi que la classification en classes de similitude de p -uplets de matrices avec p unentiernaturelquelconquesup´erieura`1.
2 Rappels sur les invariants de matrices On note K r (r, entier naturel non nul) l’ensemble des r -uplets X = ( x 1 , . . . , x r )de´le´ments de K n et par gX l´ele´ment( gx 1 , . . . , gx r ) ou g $ G . ` De´nition1 Unefonctionpolynoˆmiale Q : M p ( n, K ) ! K r # K est un concomitant de M p ( n, K ) parrapport`a G sielleve´rielarelation: Q ( ! ( g ) M, gX ) = " ( g ) Q ( M, X ) , & g $ G, & M $ M p ( n, K ) , & X $ K r . Cetted´enitionrestevalablepournimportequelsous-groupe F de G et on parle alors deconcomitantparrapporta` F . Le multiplicateur " estuncaracte`redegroupe.Ilest ´egala`unepuissancedude´terminantdeg: " ( g ) = det ( g ) ! ! ou` # est le poids de Q. Si cettepuissanceeste´galea`ze´ro,leconcomitantestabsolu,sinonilestrelatif.Dapr`es lad´enition,unpolynoˆmede M p ( n, K ) ! K r estunconcomitantparrapporta` G si et seulement si, il l’est par rapport au sous-groupe des matric es n ! n ,ded´eterminant´egal `a1, SL ( n, K ). Ceci permet de dire que l’ensemble de tous les concomitant s (tous absolus parrapport`a SL ( n, K )) de M p ( n, K ),not´e Q ( n, p, r, K ),estunanneauetdapr`esle th´eor`emedeHilbertsurlesbases,ilposs`edeunsyst`emepolynoˆmialnidege´ne´rateurs. Lepremierproble`mequiseposealors`alath´eorieclassiquedesinvariantsestlacons-tructiondecessyste`mes(depr´efe´renceminimaux)dege´ne´rateurstandisquelesecond proble`meconsisteenlade´scriptiondesonid´ealdessyzygies(identit´espolynˆomialesentre les invariants ou concomitants). Concernant les matrices, on peut trouver dans [ ? ] un bel expose´desdi " ´erentsniveauxder´esolutiondecesdeuxprobl`emes. Danscetravail,onsinteresserauniquementaupremierprobl`eme.Leth´`emfondamen-eor e taldelathe´orieclassiquedesinvariants([ ? , § 7], [ ? , pp.187-188], [ ? , p.45]), que nous citons plusbas,yapporteuner´eponse.Pourl´enoncer,ilestcommodedepasseraulangage tensoriel:les´ele´mentsde K n sontdesvecteurscontravariantset,dapr`eslisomorphisme naturel H om ( K n , K n ) ' ( K n ) " ! K n ,lese´l´ementsde M ( n, K ) sont des tenseurs une fois covariants et une fois contravariants.
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