Continuité - Limites Cours 1

De
Travaillez les TP et les cours 2009/2010 pour la classe de terminale ES.
Publié le : jeudi 1 janvier 2009
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T ES2
f I R
f
..................
.............................................................................................
J J
O I O I
............................................. .............................................
............................................. .............................................
x R E(x)
x∈ n;n+1 n∈Z E(x) = n
E(2,1) =······ E(3,9) =······ E(−1,8) =······ E(······) =−5
"sans

traduit
tin

2
on
de
sauts",
Exemple
de
Con
faire
une
"sans
fonction
on",
le
y
en

1
le
Langage
er

lev
un
dire

?
trait
1.2
[,
Un
1

t
tre-exemple
.
:
in
la
tin
fonction
uit?-Limites
partie
la
en
1.1
ti?re
graphique
D?nition
d?nieb
terv

Lorsque

de
partie
trace
en
tin
ti?re
graphique
La
(
fonction
Sur
partie
),
en
que
ti?re
disan
asso
e

Exemple
?
tuitiv
tout
id?e
nom
Con
bre
uit?-Limites
Sur
tin
de
1
le
de
un

nom
uit?
bre
Appro
graphique
he
pr?c?den
Soit
t,
foncion
on
sur
tel
in
que
alle
:
.
si
la
a
e
que
la
[
se
a
d'un
on

t,
u,
pr?c?den
1
que
F
Cours
1.............................................
.......................................
J
O I
f a;b f
f(a) f(b)
k f(a) f(b)
.............................................................................................
f(x) = k ......................................................
,
et
tre
les

ti?re
en
suiv

Th?or?me
bre
partie
nom
de
tout
les
our
in
p
tin
que
La
signie
tes
Cela
en
1
la
Remarque
Dans
.
Nous
et
l'?quation
tre
v
en
sur
il
pas
existe
partie

ue
toute
ti?re
seule
La
une
suiv
et
puis
fois
fonction
une
tation
prend
t
alors
rep

tation
[
admettrons
alle
Ou
terv
que
l'in
term?diaires
de
aleurs
monotome
des
t
1.3

ue
et

ue
n'est
tin
en

fonction
fonction
sur
une
tin
est
est
Si
en
monotone.
fonction
t
:

an

phrases
term?diaire,

in
ti?re,
aleurs
partie
v
la
des
graphique
Th?or?me
repr?sen
1
tracer
Th?or?me
an
ts.
?re
an
le
suiv
graphique
th?or?mes
v
Repr?sen
aleur

2f a;b f
f a;b
2 3 4lim x =··· lim x =··· lim x =···
x→+∞ x→+∞ x→−∞√
2 3 lim x =···lim x =··· lim x =···
x→−∞ x→−∞ x→+∞
1 1 1
lim =··· lim √ =··· lim =···
3+ + +x→0 x x→0 x x→0 x
1 11
lim =··· lim =···lim =··· 3− 2 −x→0 x x→0 xx→0x
a
1 1 1
lim =··· lim =··· lim √ =···
2x→+∞ x→+∞ x→+∞x−a (x−a) x−a
1 1 1
lim =··· lim =··· lim =···
2+ − x→ax−a x−a (x−a)x→a x→a
f
f g f +g f×g
g
′l l a R
+∞ −∞
usuelles
fonctions
de
d'une
term?diaire.
les
Limites
son
2.1
alle
Limites
tin
2
deux
d'?quation
v
terme
les
en
p
terpr?tation
l'in
In
une
graphique
2
terpr?tation
Les
In
un

en
[
"Lorsqu'on
sur
de
de
terv
um
en
maxim
des
le
ue
et
fonction
um
?"
minim
Soien
le
Th?or?me
tre
bres
en


soit
aleur
oin
v
aleurs
toute
in
fois
:
une

moins
limites
r?el.
fonctions
un
et
d?signe
,
au
eut-on
bre
d?duire
nom
limites
Le
fonctions
prend
sur
alors
,


[
et
2.2
est
Op
Limite
?rations
somme
sur
t
les
et
limites
des
Ce
nom
paragraphe
r?els.
p
limites
ermet
ici
de
t
r?p
en
ondre
p
?
t
la
de
question
soit
suiv
.
an
ou
te
Si
Th?or?me
3f l l l +∞ −∞ +∞
′g l +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
(f +g)
2lim x +x+1 =···
x→+∞
′l l a R
+∞ −∞
f l l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 +∞ +∞ −∞ 0
+∞′g l +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
−∞
(f×g)

2lim(x +1) x =···
x→0
′l l a R
+∞ −∞
+∞
f l l +∞ +∞ −∞ −∞
−∞
+∞ +∞′ ′ ′ ′ ′g l = 0 l > 0 l < 0 l > 0 l < 0
−∞ −∞
f
g
−3
lim =···
x→+∞2x+1
l a R +∞
−∞
d?nominateur
a
une
limite
deux
ou
soit
non
our
n
une
ulle
Limite
Soien
ici
t
a
le
t
et
bres
o?
a

ou
deux
Les
nom
soit
bres
un
r?els.
t
Les
pro
limites
o?

Soit
ici

son
oin
t
our
soit
pro
en
t
un
bres
p
ou
oin
t
t
a
le
Exemple
de
our
dans
si
soit
soit
en
Limite
t
d'un
quotien
le
ou
d?nominateur
d'un
n
Limite
un
.
Les
Limite
son
d'un
un
quotien
si
t,
en
d?nominateur
limite
de
d'un
.
duit
non
Soien
n
et
ulle
nom
si
r?els.
d'une
limites
a

p
son
our
alors
limite
en
somme
p
si
limite
a
5
p
limite
our
p
limite
p
si
oin
a
de
p
en
our
.
ou
d'un
limite
Limite
alors
quotien
a
dans
4

si
le
Exemple
a
a
limite
p
ulle
our
duit
limite
nom
limite
r?els.
our
limites6
ici
p
t
a
en
ou
p
p
t
our
de
limite
soit
Exemple
p
3
ou
alors
limite
Limite
4f l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 0
+ − + −g 0 0 0 0 0
f
g
2x−3
√lim =···
x→0 x
+∞ −∞
+∞ −∞
3 2lim 2x +45x =···
x→−∞
6 22x −3x +1
lim =···
3x→−∞ 3x −x+4
g h g h
g◦h(x) =·········
D D g hg h
g(h(x)) x D h(x) Dh g
2u v R u(x) = x v(x) = 2x+5
Exemple
8
limite
our
de
que
limite
p
simplier
a
deux
.
et
alors
ons
a
faut
si
.
limite
limites
our
notan
p
ensem
a
,
si
p
ulle
d'une
n
dans
limite
son
p

our
des
de
p
limite
Th?or?me
Exemple

6
ermet
2.3
de
d?nominateur
et
t,
a
quotien
p
d'un
oir
2.4
rationnelle
Comp
La
osition
2.
de
haut
fonctions
de
et
de
limites
9
D?nition
et
2
d?nies
F
:

en

et
os?e
1.
Soien
En
t
t
F
est
et
p

les
deux
bles
p
d?nition

ou
d?nit
de
la
nous
fonction
v

que
os?e
our
de
ouv
et

et
en
rationnelles
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de
limite
la
il
mani?re
que
suiv
soit
an
degr?.
te
et
:
plus
Le
mon?me
th?or?me
dans
suiv

an
Exemple
t
On
7
est
Exemple
l'?tude
degr?.
fonctions
haut
sur
plus
par
de
ou
mon?mes
?
des

t
fonction
quotien
d'une
du
La
Remarque
3
2
fonctions,
l'innie.
on
Limite
5u◦v(x) =·················· v◦u(x) =··················
a b c +∞ −∞
f g h f = g◦h
lim h(x) = b lim g(T) = c lim g(h(x)) =···
x→a x→aT→b
p
2lim x −x+1 =···
x→+∞
x f(x)≥ g(x)
lim g(x) = +∞
x→+∞
lim f(x) =······
x→+∞
x
u(x)≤f(x)≤ v(x) l∈R
lim u(x) = lim v(x) =l
x→+∞ x→+∞
lim f(x) =······
x→+∞
assez
our
p
Si

alors,
fonctions
Th?or?me
soit
6
a

Soit
t
Th?or?me
des
d?signe
limites.
si
Si
que
p
et
our
des
5
Th?or?me
assez
soit
grand,
un
Th?or?me
,

des
de
alors,
Th?or?mes
.
2.5
telles
grand,
trois
,
,
Exemple
limites
.
osition
:
de
a
4
on
.
alors
,
,
r?el,
,
soit
et
et
et
,
os?e
lettres
fonction
Chacune
Limite
,
que
si
a

v
d'une
ec
:
et
alors
Si
10
On
6f I R C
a b
Δ x a
lim f(x) = +∞
x→a
C
lim f(x) =−∞
x→a
D y b
lim f(x) = b
x→+∞
C
lim f(x) = b
x→−∞
d y ax +
lim f(x)−(ax+b) = 0 b
x→+∞
C
lim f(x)−(ax+b) = 0
x→−∞
y = x+3
2x +5x+7
f f(x) =
x+2
?
tale
horizon
asymptote
oblique
est
alle
est
La
=
e
d'?quation

.
e
la
repr?sen


ou
et
e
sur

est
la
la
?
Exemple

d'?quation
ou

v
?
asymptote
repr?sen
est
la
=
par
d'?quation
in
droite
fonction
La
Asymptotes
ou
asymptote
graphique
?
terpr?tation

In
e
Limite
11
r?els.
droite
bres
tativ
nom
e
des
sa
et
asymptote
plus
la
de
e
t
tativ
La
de
droite
fonction
Soien
d?nie
d'?quation
de
orthonorm?.
terv
=
un
?re
d?nie
e
une
un
On
dans
rep
2.6
La
droite
7

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