Contrôle no 1

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UVSQ L1 Eco — Mathématiques Mathématiques Contrôle no  25 octobre  Durée : 1h30 ◮ L'usage de la calculatrice est autorisé. ◮ Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. ◮ Si le candidat découvre en cours d'épreuve ce qu'il croît être une erreur d'énoncé, il le précisera dans sa copie. ◮ L'épreuve comporte trois exercices dont l'un est en forme de QCM.
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Publié le : lundi 26 mars 2012
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UVSQ
Mathématiques o Contrôle n
25 octobre
L’usage de la calculatrice est autorisé.
Durée : 1h30
L1 Eco
Mathématiques
Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si le candidat découvre en cours d’épreuve ce qu’il croît être une erreur d’énoncé, il le précisera dans sa copie.
L’épreuve comporte trois exercices dont l’un est en forme de QCM. Pour chaque question du QCM exac tement une des trois réponses proposées est juste, vous devez simplement cocher la case correspondante sans justifier.
Barême pour le QCM : 0 point si vous laissez les trois cases vides. 1 point si vous cochez la bonne case. 1/2 point si vous cochez une mauvaise case ou si vous cochez plus d’une case ou si votre choix est illisible.
En cas de rature écrivez votre choix en mots.
Bon succès.
Université de Versailles

o Composition de Mathématiques n 1
ExercicePourcentages
L1 Eco — Mathématiques
prix subit les variations succéssives suivantes :. Un +25 %,+140 %,50 %. Par quelle variation peuton le ramener au prix initial ? . En cinq ans un prix a augmenté de150 %. Quel est le pourcentage de diminution annuel moyen durant ces cinq années ?
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o Composition de Mathématiques n 1
ExerciceQCM
Une fonctionf: [0,7]Rest donnée par sa courbe cidessous.
1
1
Répondre aux questions suivantes sans justifier. Une seule réponse est vraie.
.
.
.
′ ′ f(3)> f(7/2)
′′ f(5)>0
fest convexe sur[1,4]
f(3) = 0
′′ f(5) = 0
L1 Eco — Mathématiques
Cf
Les deux affirmations précédentes sont fausses.
′′ f(5)<0
fest convexe sur[3,7]
Les deux affirmations précédentes sont fausses.
x(x3)(x5) Désormais on suppose que la fonctionfest donnée par l’expressionf(x) =. x+ 5
.
f(0) = 3
f(0) = 3,3
Les deux affirmations précédentes sont fausses.
on pousse la courbe. Si Cftrois unités vers la gauche on obtient la courbeChd’une fonctionh. Alors x(x3)(x5)x(x+ 3)(x2) h(x) =3h(x) =Les deux affirmations précédentes sont fausses. x+ 5x+ 8
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o Composition de Mathématiques n 1
Exercice
Le coût de production d’un produit est donnée par la fonction
3 2 x15x+ 80x+ 20 f(x) =, 10
xdésigne la quantité produite. le coût marginal lorsqu’on produit. Déterminer 10unités. quelle quantité, le coût marginal estil minimal ?. Pour
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o Composition de Mathématiques n 1
Exercice
L1 Eco — Mathématiques
On considère un produit dont le prix unitaire estp(p >0). On noteqla quantité vendue de ce produit pendant un mois et on suppose queq(p) =α+βpαetβsont des réels. . Pouvezvous déjà prédire le signe de la constanteβ? Justifier.
suppose désormais que. On q= 5000sip= 100, et queq= 4000sip= 200. Déterminerαetβ.
. De combien varie la quantité vendue lorsque le prix augmente de1?
est la plus grande valeur de. Quelle ppossible sachant que la quantité vendueqest un nombre positif ?
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o Composition de Mathématiques n 1
. Déterminer en fonction deples recettes mensuellesr(p).
. Quelle est la valeur maximale des recettes ?
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. Le coût unitaire de fabrication du produit est égal à100.Déterminer en fonction deple profitg(p)total réalisé (c’estàdire la différence entre recettes et coût).
. Pour quelle quantité le profit estil maximal ?
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o Composition de Mathématiques n 1
Corrigé de l’exercicePourcentages
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1 2 .1.25×2.4×0.5 = 1.5. Comme=pour ramener le prix au prix initial, il faut le baisser de1/3, c’estàdire de 1.5 3 environ33,33 %. 5 .2.51.2. Donc la variation annuelle moyenne est d’environ20 %.
Corrigé de l’exerciceQCM
′ ′ C. En effet, on a. Réponse f(3)< f(7/2)car enx= 3la courbe descend plus fortement qu’enx= 7/2. . Réponse A car enx= 5la dérivée defest croissante. B. En effet, sur l’intervalle. Réponse [3,7]la dérivée defest croissante. . Réponse A. En effet avec on calcule
3 2 x8x+ 15x f(x) = x+ 5 2 3 2 (3x16x+ 15)(x+ 5)(x8x+ 15x) f(x) = 2 (x+ 5) 15×5 15 f= = (0) = 3 2 5 5 x(x+ 3)(x2) . Réponse B carf(x+ 3) =. x+ 8
. Le coût marginal est donné par
2 3x30x+ 80 f(x) =. 10
Corrigé de l’exercice
On af(10) = 8. . Pour déterminer le minimum defon calcule la déri vée def.
′′6x30 f(x) =. 10
Doncfest décroissante sur[0,5]et croissante sur[5,[. Le coût marginal est minimal pour une production de5 unités.
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f
f
′′ f
5
10
′′ ′ On observe quefest positive sur l’intervalle oùfest croissante et oùfest convexe.
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Corrigé de l’exercice
. La fonctionqest affine. La quantité vendue est forcé ment une fonction décroissante du prix, doncβdoit être négatif.
50004000 taux d’accroissement est. Le β= =10.On 100200 en déduit (par décalage) que q(p) =10(p100) + 5000 = 600010p. Doncα= 6000.
. Commeβ=10, lorsque le prix augmente de1on perd10acheteurs. . On résoud l’inégalité q(p)>0⇐⇒600010p>0⇐⇒p6600. Donc on trouve des acheteurssi et seulement sile prix est inférieur à600. recettes mensuelles sont. Les r(p) =prix unitaire×quantité vendue =p×q(p) =p(600010p) = 10p(600p).
. La dérivée est r(p) = 10(6002p) = 20(300p). Doncrest croissante sur[0,300]et décroissante sur [300,600]. Il y a donc un maximum enp= 300. Les re cettes maximales sont donc
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L1 Eco — Mathématiques
r(300) = 10×300(600000300) = 900 .
Solution alternative: La courbe de la fonctionr(p) = 10p(600p)est une pa rabole concave (ouverte vers le bas), ayant deux intersec tions avec l’axe des abscisses, enp= 0etp= 600. Par symétrie le maximum se trouve au milieu entre ces deux intersections, c’estàdire pour un prix de300. a. On
g(p) =r(p)100q(p) = 10p(600p)100(600010p) = (10p1000)(600p).
un petit calcul on trouve. Après g(p) = 700020p. Doncgest croissante sur[0,350]et décroissante sur [350,600]. Il y a donc un maximum pour le prix350. Cela correspond à une quantité de
q(350) = 600010×350 = 2500.
Solution alternative: La courbe degest une parabole concave (ouverte vers le bas), ayant deux intersections avec l’axe des abscisses, enp= 100etp= 600. Par symétrie le maximum se trouve au milieu entre ces deux intersections, c’estàdire enp= 350.
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