Contrôle no 2

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UVSQ L1 Economie — Mathématiques Mathématiques Contrôle no  29 novembre  Durée : 1h30 ◮ L'usage de la calculatrice est autorisé. ◮ Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. ◮ Si le candidat découvre en cours d'épreuve ce qu'il croît être une erreur d'énoncé, il le précisera dans sa copie. ◮ L'épreuve comporte six exercices dont l'un est en forme de QCM.
  •  corrigé de l'exercice 
  • −12 −12
  • qcm 
  • mathématiques 
  • l1 economie —
  • composition de mathématiques no
  •  exercice
  • points
  • point
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UVSQ L1Economie — Mathématiques
Mathématiques
oContrôlen 
29novembre
Durée:1h30
◮ L’usagedelacalculatriceestautorisé.
◮ Lecandidatattacheralaplusgrandeimportanceàlaclarté,àlaprécisionetàlaconcisiondelarédaction.
◮ Silecandidatdécouvreencours d’épreuvecequ’ilcroîtêtreuneerreurd’énoncé,illepréciseradanssa
copie.
◮ L’épreuvecomporte six exercicesdont l’un est en forme de QCM. Pour chaque question du QCM exac-
tement une des trois réponses proposées est juste, vous devez simplement cocher la case correspondante
sansjustifier.
BarêmepourleQCM:
0pointsivouslaissezlestroiscasesvides.
1pointsivouscochezlabonnecase.
-1/2pointsivouscochezunemauvaisecaseousivouscochezplusd’unecaseousivotrechoixestillisible.
Encasderatureécrivezvotrechoixenmots.
Bonsuccès.
UniversitédeVersailles -b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
oComposition deMathématiquesn 2 L1Economie — Mathématiques -
Exercice — Pourcentages
Unprixsubittroisvariationssuccéssives,lapremièrede−60%,ladeuxièmedet%etlatroisièmede+25%.Déterminert
telqueleprixfinalrestelemêmequeleprixinitial.
Exercice —
Lademande(ouquantité vendue)d’uncertainproduitestreprésentéeci-dessousparunefonctionduprix.
Prixene 1,00 2,00 3,00 4,50 5,00 5,50 7,00 7,50 8,00 9,00
Quantitévendue 8900 8700 8400 7000 6100 5000 2200 1900 1700 1600
1000
0 prixene1
Lorsqueleprixestde7,50e quelleestlaquantité marginale?
Donnerl’équationdelatangenteàlacourbeaupointd’abscisse7,5.
Quellequantité estvenduesileprixestde7,45e?
www.mathoman.com 
quantitévendue(
oComposition deMathématiquesn 2 L1Economie — Mathématiques -
Exercice —
Résoudrelesystème
x − y = 2
2x + 2y− z =−2
−x− y + 2z = 4
www.mathoman.com oComposition deMathématiquesn 2 L1Economie — Mathématiques -
Exercice —
2 2Soitf :R →R,(x,y) →x+y .
. Lafonctionf a-t-elledespointsstationnaires(pointsdegradientnul)?Sioui,lesdéterminer.
. Tracerlescourbesdeniveau0,deniveau−1etdeniveau 1.
www.mathoman.com oComposition deMathématiquesn 2 L1Economie — Mathématiques -
Exercice —
Déterminerlesextremadelafonction
2 2 2 2f : R →R, (x,y) →9x −x y +2y .
www.mathoman.com oComposition deMathématiquesn 2 L1Economie — Mathématiques -
Exercice — QCM
Une seule case est bonne. La cocher sans justifier.
Une fonctionf : [0,7]→Restdonnéeparsacourbeci-dessous.
Cf
1000
0 1
′ ′ ′. f (1) < f (6) f (0) = 0 Lesdeuxaffirmationsprécédentessontfausses.
′ ′ ′. f (1)≈ 1 f (1)≈ 2900 f (1)≈ 1000
′′ ′′ ′′. f (1) > 0 f (1) = 0 f (1) < 0
2Danslasuitedel’exerciceonsupposequef estdonnéeparl’expressionf(x) = 1000ℓn(x +2x+1)+1000.
′ ′. f (0) = 1000 f (0) = 1600 Lesdeuxaffirmationsprécédentessontfausses.
. Onsupposequef décritl’évolutiondurevenudeMrAenfonctiondesesannées passéesdansl’entreprise.Son
collègueMrBestentrédansl’entrepriseaumêmemomentqueMrAetacommencéaveclemêmerevenu,maissa
carrièreévoluedeuxfoispluslentementquecelledeMrA.Alorsl’évolutiondesonrevenuestdonnéparlafonctiong où
2 g(x) = 500ℓn(x +2x+1)+500
2 g(x) = 1000ℓn(2x +4x+2)+1000
Lesdeuxaffirmationsprécédentessontfausses.
www.mathoman.com „

Ž

Ž
(
Ž
oComposition deMathématiquesn 2 L1Economie — Mathématiques -
Corrigédel’exercice — Pourcentages
tSoit x = 1 + le coefficient multiplicateur de la ou encore 0.5x = 1, donc x = 2. On obtient t = 100. La
100
deuxièmevariation.Alors deuxièmevarationestdoncuneaugmentationde100%.
0.4×x×1.25 = 1
Corrigédel’exercice —
Laquantité marginaleestenviron y≈ 1900−500(x−7,5).
1700−2200
Sionremplacex = 7,45ontrouvelaquantité=−500.
8−7
Ainsil’équationdelatangente demandéeest y≈ 1900−500×(−0,05) = 1925.
Corrigédel’exercice —
MéthodedupivotdeGauss: Lesystèmeinitialestdoncéquivalentausystème
−21 −1 0 2 x− y = 2
2 2 −1 −2 ←−+ 4y− z =−6
z = 2+−1 −1 2 4 ←−−−−−
qu’on résoud en remontant. On trouve l’unique solution
(1,−1,2).1 −1 0 2
0 4 −1 −6
+0 −2 2 6 |2←−
1 −1 0 2
0 4 −1 −6
0 0 3 6
Corrigédel’exercice —
Legradient∇f(x,y) = (1,2y)nes’annulejamais,doncf n’apasdepointstationnaire.
2Lacourbedeniveaucal’équationx = c−y .Ils’agitd’uneparabole.
y
x
f =−1
f =0
f =1
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Š





oComposition deMathématiquesn 2 L1Economie — Mathématiques -
Corrigédel’exercice —
◮ Recherchedespointsstationnaires.Legradient Enparticulier
2∇f(x,y) = (18x−2xy,4y−x ) 18 0 0 −12
H (0,0) = , H (6,9) = ,f f0 4 −12 4
s’annulesietseulementsi
0 12
H (−6,9) = .f9x−xy = 0 12 4
24y−x = 0
Ona
y = 9 ou x = 0
⇐⇒ 2
2 ∂ f(0,0) = 18 > 0,xx = 4y
2 2 2
((∂ f)(∂ f)−(∂ ∂ f) )(0,0) = 4×18 > 0.x y x y
Ainsif possèdetroispointsstationnaires,
Donc f estune fonction convexeau voisinagede(0,0) et
(0,0), (6,9), (−6,9).
possèdeunminimumen(0,0).Ona
◮ Lamatricehessienneest 2 2 2 2((∂ f)(∂ f)−(∂ ∂ f) )(±6,9) =−12 < 0.x y x y
18−2y −2x
H (x,y) = .f Doncf adespointsselleen(6,9)et(−6,9).−2x 4
Corrigédel’exercice — QCM
1000(2x+2)′ ′. RéponseC. f (x) = , f (0) = 2000.
2x +2x+1
. RéponseC.
. RéponseCcar
′. RéponseC.Ladérivéef estdécroissante.
2x x. RéponseC.Oncalcule g(x) = f = 1000ℓn +x+1 +1000.
2 4
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