Contrôle no 2

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UVSQ L1 Economie — Mathématiques Mathématiques Contrôle no  29 novembre  Durée : 1h30 ◮ L'usage de la calculatrice est autorisé. ◮ Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. ◮ Si le candidat découvre en cours d'épreuve ce qu'il croît être une erreur d'énoncé, il le précisera dans sa copie. ◮ L'épreuve comporte cinq exercices dont l'un est en forme de QCM.
  •  corrigé de l'exercice 
  • mathématiques 
  • l1 economie —
  • composition de mathématiques no
  •  exercice
  • x2 −
  • point
  • points
Publié le : lundi 26 mars 2012
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UVSQ L1Economie — Mathématiques
Mathématiques
oContrôlen 
29novembre
Durée:1h30
◮ L’usagedelacalculatriceestautorisé.
◮ Lecandidatattacheralaplusgrandeimportanceàlaclarté,àlaprécisionetàlaconcisiondelarédaction.
◮ Silecandidatdécouvreencours d’épreuvecequ’ilcroîtêtreuneerreurd’énoncé,illepréciseradanssa
copie.
◮ L’épreuvecomportecinqexercicesdontl’unestenformedeQCM.PourchaquequestionduQCMexac-
tement une des trois réponses proposées est juste, vous devez simplement cocher la case correspondante
sansjustifier.
BarêmepourleQCM:
0pointsivouslaissezlestroiscasesvides.
1pointsivouscochezlabonnecase.
-1/2pointsivouscochezunemauvaisecaseousivouscochezplusd’unecaseousivotrechoixestillisible.
Encasderatureécrivezvotrechoixenmots.
Bonsuccès.
UniversitédeVersailles -oComposition deMathématiquesn 2 L1Economie — Mathématiques -
Exercice —
Résoudrelesystème
x − y = 2
2x + 2y− z =−2
1−x− y + z = 4
2
www.mathoman.com 
(oComposition deMathématiquesn 2 L1Economie — Mathématiques -
Exercice —
UngroupevenddeuxproduitsAetB,dontonnotexety lesquantitésrespectivesetpetq lesprixdevente(eneuro).On
supposequelesfonctionsdedemandessontdonnéespar
1 1
x = 50− p, y = 1− q,
30 240
etlafonctiondecoût(eneuro)par
3c(x,y) = x −240xy +1500x+240y +3000.
. Combiensontlescoûtsfixes?
3 2 2. Montrerqueleprofitestf(x,y) =−x −30x −240y +240xy−3000.
. Sionnevendrien,àcombiens’élèvelaperte?
. Déterminerlesquantitésxety debiensAetB quimaximisentleprofit.
www.mathoman.com oComposition deMathématiquesn 2 L1Economie — Mathématiques -
Exercice —
2 3Soitf :R →R,(x,y) →y−x .
. Lafonctionf a-t-elledespointsstationnaires(pointsdegradientnul)?Sioui,lesdéterminer.
. Tracerlescourbesdeniveau0,deniveau−1etdeniveau 1.
www.mathoman.com oComposition deMathématiquesn 2 L1Economie — Mathématiques -
Exercice — Pourcentages
2Enl’année 2000 leprixaum desappartements parisiensétaitde 2760e. Dixansplustardilestà7060e. Acombien
s’élèvelepourcentagedelavariationannuelle moyenne?
www.mathoman.com oComposition deMathématiquesn 2 L1Economie — Mathématiques -
Exercice — QCM
Une seulecase est bonne.La cocher sansjustifier.
Une fonctionf : [0,7]→Restdonnéeparsacourbeci-dessous.
Cf
1000
0 1
′ ′ ′. f (3) < f (2) f (3) = 0 Lesdeuxaffirmationsprécédentessontfausses.
′ ′. f (3) > 100 f (3) < 100 Onnepeutpaslirecesinformationssurlegraphique.
′′ ′′ ′′. f (1) > 0 f (1) = 0 f (1) < 0
2Danslasuitedel’exerciceonsupposequef estdonnéeparl’expressionf(x) = 1000ℓn(x +2x+1)+1000.
′ ′. f (1) = 1000 f (1) = 250 Lesdeuxaffirmationsprécédentessontfausses.
. Onsupposequef décritl’évolutiondurevenudeMrAenfonctiondesesannées passéesdansl’entreprise.Son
collègueMrBestentrédansl’entrepriseaumêmemomentqueMrAetacommencéaveclemêmerevenu,maissa
carrièreévoluedeuxfoisplusvitequecelledeMrA.Alorsl’évolutiondesonrevenuestdonnéparlafonctiong où
2 g(x) = 2000ℓn(x +2x+1)+2000
2 g(x) = 1000ℓn(4x +4x+1)+1000
Lesdeuxaffirmationsprécédentessontfausses.
www.mathoman.com oComposition deMathématiquesn 2 L1Economie — Mathématiques -
Corrigédel’exercice —
MéthodedupivotdeGauss: Lesystèmeinitialestdoncéquivalentausystème
1 −1 0 2 −2 x− y = 2
+2 2 −1 −2 ←− 4y− z =−6
1 0 = 6.+−1 −1 4 ←−−−−
2
Puisqu’il n’existe pas de x,y,z tels que 0 = 6, le système
n’apasdesolution.1 −1 0 2
0 4 −1 −6
1
+0 −2 6 |2←−
2
1 −1 0 2
0 4 −1 −6
0 0 0 6
Corrigédel’exercice —
. Lescoûtsfixess’élèventàc(0,0) = 3000e.
. Leprofitestladifférenceentrelesrecettesetlecoût.
f(x,y) = x×p+y×q−c(x,y)
3= x×30(50−x)+y×240(1−y)−(x −240xy +1500x+240y +3000)
3 2 2
=−x −30x −240y +240xy−3000.
. Onaf(0,0) =−3000, doncsionnevendrienlaperteestde3000e.Evidemmentcelacorrespondexactementaux
coûtsfixes...
. Recherche des pointscritiques.Lespointscritiquessontceuxoùlegradients’annule.Oncalculelesdérivéespremières:
2 2∂ f(x,y) =−3x −60x+240y =−3(x +20x−80), ∂ f(x,y) =−480y +240x =−240(2y−x).x y
2Ainsilegradientestnul si et seulement six +20x−80y = 2y−x = 0.Onrésoudcesystème
2 2 xx +20x−80y = 0 x +20x−80× = 0 x(x−20) = 0
2⇐⇒ ⇐⇒
x x2y−x = 0 y = y =
2 2
Lesseulspointscritiquessontdonc(0,0)et(20,10).
Dérivées secondes.Lamatricehessienneest:
−6(x+10) 240 −60 240 −180 240
H (x,y) = , H (0,0) = , H (20,10) = .f f f240 −480 240−480 240 −480
LedéterminantdeH (0,0)étantstrictementnégatif,ilyauncolen(0,0).f
2Puisquedet(H (20,10)) > 0et∂ f(20,10) < 0,lafonctionf estconcave auvoisinagedupoint(20,10) etypossèdeunf x
maximum.
Remarque– On peut montrer qu’ils’agit d’un maximum global surR ×R .+ +
www.mathoman.com 

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?oComposition deMathématiquesn 2 L1Economie — Mathématiques -
Corrigédel’exercice —
2Legradient∇f(x,y) = (−3x ,1)nes’annulejamais,doncf n’apasdepointstationnaire.
3Lacourbedeniveaucal’équationy = x +c.Ils’agitd’unecourbecubique.
y f =1
f =0
f =−1
x
Corrigédel’exercice — Pourcentages
10 7060/2760≈ 1.098, donclavariationannuellemoyenneestd’environ9.8%.
Corrigédel’exercice — QCM
2000(x+1)′ ′. RéponseA. f (x) = , f (1) = 1000.
2x +2x+1
. RéponseA.
. RéponseBcar
′. RéponseC.Ladérivéef estdécroissante.
2g(x) = f(2x) = 1000ℓn((2x) +2x+1)+1000.. RéponseA.Oncalcule
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p

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