Contrôle no 4

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UVSQ Ma-100 — Mathématiques Mathématiques Contrôle no  15 décembre  Durée : 1h30 ◮ L'usage de la calculatrice est autorisé. ◮ Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. ◮ Si le candidat découvre en cours d'épreuve ce qu'il croît être une erreur d'énoncé, il le précisera dans sa copie. ◮ Bon succès. Université de Versailles -
  • corrigé de l'exercice 
  • rang du système
  • dimension de l'espace de solutions
  • exercice  —
  • 
  •  exercice
  • z′ z′
  • systèmes
  • système
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UVSQ Ma-100 — Mathématiques
Mathématiques
oContrôlen 
15décembre
Durée :1h30
◮ L’usagedelacalculatriceestautorisé.
◮ Lecandidatattacheralaplusgrandeimportanceàlaclarté,àlaprécisionetàlaconcisiondelarédaction.
◮ Silecandidatdécouvreencoursd’épreuvecequ’ilcroîtêtreuneerreurd’énoncé,illepréciseradanssa
copie.

Bonsuccès.
UniversitédeVersailles -b
B
B
B
B
B

1
b
B
C
C
C
C
A
6
C
C
0
oComposition deMathématiquesn 4 Ma-100 — Mathématiques -
Exercice —
−1 ′Placerapproximativementlespointsz etz /z dansleplancomplexe.
z
i′z
1
Exercice —
Onréduituncertainsystèmelinéaireréelàninconnuesetméquationsparlaméthodedupivot;lamatriceobtenueestla
suivante :
a ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗1
a ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗2
a ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗3
a ∗ ∗ ∗4
a 05
0 a6
0 0
oùa ,...,a sontdesréelstelsquea ···a = 0.Commed’habitudelesétoilesreprésententdescoefficientsarbitraireset1 6 1 5
lesespacesvidesdescoefficientsnuls.
. Donnerlesvaleursdenetdem.Quelestlerangdusystème?
. Aquelleconditionlesystèmeadmet-ilunesolution?
. Onsupposequelesystèmeadmetunesolution.Commentprocède-t-onpourlerésoudre?Quellessontlesvariables
qu’onisole?Quelleestladimensiondel’espacedessolutions?
www.mathoman.com (
oComposition deMathématiquesn 4 Ma-100 — Mathématiques -
Exercice —
Résoudrelesystème
x − y = 2
2x + 2y− z =−2
−x− y + 2z = 4
www.mathoman.com oComposition deMathématiquesn 4 Ma-100 — Mathématiques -
Exercice —
SoitF = ((−2,−3,3),(1,2,−1),(1,1,−2)).
. Levecteur (1,5,2)est-ilcombinaisonlinéairedelafamilleF ?
3. Soitv = (x,y,z)∈R .Donneruneconditionnécessaireetsuffissantepourquev soitcombinaisonlinéairedeF.
www.mathoman.com X
X
oComposition deMathématiquesn 4 Ma-100 — Mathématiques -
Exercice —
Calculer:
3 5
5(n+2)
A = 2i B = n C =
2(n+2)
i=0 k=1
www.mathoman.com oComposition deMathématiquesn 4 Ma-100 — Mathématiques -
Exercice —
Une matricecarréeréelleestappellémagiquesidanschaque ligneetchaquecolonnelasommedesélémentsdonne
toujourslemêmerésultat.OnnoteC l’espacedecarrésmagiquesdetypen×n.n
4MontrerqueC estunesous-espacevectorieldeR .Quelleestsadimension?2
www.mathoman.com Š
€È
oComposition deMathématiquesn 4 Ma-100 — Mathématiques -
Exercice —
11−xMontrerque∀x∈]−1,1], arctan = arccosx.
1+x 2
www.mathoman.com b

Ž
(

!

!
b
b

!

b
b
b

!
Ž
oComposition deMathématiquesn 4 Ma-100 — Mathématiques -
Corrigédel’exercice —
z
′ iz
′z /z
1
−1z
Corrigédel’exercice —
. n = 9etm = 7.Lerangest5. . On résouten commençant par le bas. Onisole succés-
sivementlesinconnuesx ,x ,x ,x etx .Onlesexprime9 7 4 2 1
. Lesystèmeadmetunesolutionsietseulementsia =6 en fonctions de x ,x ,x et x . La dimension de l’espace3 5 6 8
0.
dessolutionsest 4.
Corrigédel’exercice —
MéthodedupivotdeGauss: Lesystèmeinitialestdoncéquivalentausystème
1 −1 0 2 −2
1 +2 2 −1 −2 ←−2
x− y = 2
+−1 −1 2 4 ←− 4y− z =−6
3z = 3
2
1 −1 0 2
0 4 −1 −6
qu’on résoud en remontant. On trouve l’unique solution
30 0 3
2 (1,−1,2).
Corrigédel’exercice —
Nous traitons d’abord la deuxième question. Le vecteur Gauss... Tout d’abord on ajoute, pour une raison évi-
(x,y,z)estcombinaisonlinéairedelafamilleF sietseule- dente,ladeuxièmeligneàlatroisième.
ment siilexistedesréelsα,β,γ telsque
−2 1 1 x
α −3 +β 2 +γ 1 = y .
3 −1 −2 z
Cela équivaut à dire que le système avec la matrice
suivante admet une solution. Méthode du pivot de
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