CORPS DE FONCTIONS DE VARIÉTÉS HOMOGÈNES ET COHOMOLOGIE GALOISIENNE

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CORPS DE FONCTIONS DE VARIÉTÉS HOMOGÈNES ET COHOMOLOGIE GALOISIENNE? Emmanuel Peyre Résumé. — Soit V une variété de drapeaux généralisée sur un corps k. Il existe alors des extensions finies ki de k pour 1 6 i 6 m, des éléments ?i du groupe de Brauer de ki et une suite exacte naturelle m ? i=1 k?i Nki/k(.??i)?????????? Ker ( H3(k,Q/Z(2))?H3(k(V ),Q/Z(2)) ) ?CH2(V )tors?0. où Hi(k,Q/Z(2)) désigne le groupe de cohomologie galoisienne à valeur dans Q/Z tordu deux fois et CH2(V ) le groupe de Chow des cycles de codimension deux modulo l'équivalence ration- nelle. Abridged English Version – For any field L we denote by Ls a separable closure of L. For any discrete Gal(Ls/L)-module M , Hi(L,M) is the Galois cohomology group of degree i with coefficients in M . If L? is a finite extension of L, we denote by NL?/L the corestriction map from Hi(L?,M) to Hi(L,M). If ai belongs to k? for 1 6 i 6 n then (ai) denote their images in H1(k,Z/2Z) and (a1, .

  • adhérence de l'image dans vj de la double

  • tors ?

  • variété de drapeaux

  • cône

  • groupe algébrique

  • modules de permutation

  • iso- morphismes k2ks ?˜

  • morphisme


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
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CORPS DE FONCTIONS DE VARIÉTÉS HOMOGÈNES ET COHOMOLOGIE GALOISIENNE
Emmanuel Peyre
Résumé. — SoitVune variété de drapeaux généralisée sur un corpsk. Il existe alors des extensions finieskidekpour16i6m, des élémentsαidu groupe de Brauer dekiet une suite exacte naturelle m N( Mk /k.αi)  3 3 2 i k−−−−−−−→KerH(k,Q/Z(2))H(k(V),Q/Z(2))CH (V)tors0. i i=1 i H(k,Q/Z(2))désigne le groupe de cohomologie galoisienne à valeur dansQ/Ztordu deux 2 fois etCH (V)le groupe de Chow des cycles de codimension deux modulo l'équ ivalence ration-nelle.
s Abridged English Version– For any fieldLwe denote byLa separable closure ofL. For s i any discreteGal(L /L)-moduleM,H(L, M)is the Galois cohomology group of degreei with coefficients inM. IfLis a finite extension ofL, we denote byNthe corestriction L /L iimap fromH(L , M)toH(L, M). Ifabelongs tokfor16i6nthen(a)denote i i 1 their images inH(k,Z/2Z)and(a , . . . , a)the cup-product(a)∪ ∙ ∙ ∙ ∪(a). The Galois 1n1n i cohomology groups with coefficients inQ/Ztwisted twice are denoted byH(L,Q/Z(2)) and the Brauer group ofLbyBrL. s LetVbe an integral smooth variety over a fieldL. ThenVdenotes the productV× SpecL s i SpecL. The function field ofVis denoted byL(V). The groupCH (V)is the Chow group of cycles of codimensionimodulo rational equivalence. For anyi>0, the sheafKis the i sheaf for Zariski topology corresponding to the presheaf which maps an open setUtoK(U), i thei-th group of Quillen'sK-theory. A generalized flag variety overLis a projective variety overLwhich is homogeneous under the action of a connected linear algebraic group. Theorem1. —LetVbe a generalized flag variety over a fieldk. LetGbe the Galois group s s ofkoverk. Then the Picard group ofVis a permutation module. Thus it may be written as L n Z[G/H]where the groupsHare open subgroups ofG. Letkbe the corresponding i=1ii i fields. There exist elementsαofBrkand a natural complex i i m M Nk /k(.αi) 3 3 i k−−−−−−→H(k,Q/Z(2))H(k(V),Q/Z(2)) i i=1
C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math.321(1995), 891–896
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2 the homology of which is isomorphic to the torsion subgroup ofCH (V). In particular, this homology is finite.
The proof, which is a generalization of the proof of the main result in [Pe2], is based upon a result of Bruno Kahn [Kah, corollaire 3.2] giving an isomorphism   3 3 1s s KerH(k,Q/Z(2))H(k(V),Q/Z(2))˜H(G, K k(V)/K k), 2 2 proposition 3.6 of [CTR], which yields an exact sequence
1sG1s0s H(V ,K)H(G, K(k(V))/H(V ,K))2 2 2 2 2s1 1s Ker(CH (V)CH (V))H(G, H(V ,K)) 2 and the following proposition : L L j s s Proposition1. —The groupH(V ,K)is a freeK k-module with a i,jNi+j iNi s canonical basis which is invariant under the action ofGal(k /k). In particular ifi>0, 1s i s H(Gal(k /k), H(V ,K)) = 0. i+1 We then apply theorem 1 to get the following proposition :
Proposition2. —Letkbe a field of characteristic different from 2 and containing a fourth root of unity. Letabe elements ofkfor16i66. LetVbe the product of the four i conics corresponding to the symbols(aa , ),(a , a),(a , a)and(a a a , a a a). Then 2 5 4 1 6 3 2 4 6 1 3 5 3 3 (a , a , a) + (aa , a , )H(k,Z/2Z)maps to0inH(k(V),Z/2Z). In general, this 1 2 3 4 5 6 2 defines a nontrivial element inCH (V). tors
1. Notations et énoncé du résultat. s s Pour tout corpsL, on noteLune clôture séparable deL. Pour toutGal(L /L)-module i s discretM, les groupes de cohomologie galoisienneH(Gal(L /L), M)sont désignés par iH(L, M). SiLest une extension finie deL, on noteNl'application de corestriction de L /L ii H(L , M)àH(L, M). Si la caractéristique deLne divise pasnalorsµdésigne le groupe n s des racines n-ièmes de l'unité dansL. SiLest un corps de caractéristique exponentiellep,i un entier positif etjun entier, on pose (cf. [Kah]) iij H(L,(Q/Z) (jlim)) = H(L, µ) n −→ (p,n)=1 et, sij= 0,1ou2, i ij s r H(L,Q/Z(j)) = limH(L, K(L)/p). p p j −→ r Sij= 0,1ou2, on pose alors i ii H(L,Q/Z(j)) =H(L,(Q/Z) (j))H(L,Q/Z(j)). p p ′ ′ SiVest une variété surLetLune extension deL,VdésigneV×SpecLet LSpecL s Vla variétéVs. SiVest intègre,k(V)désigne son corps de fonctions. Le faisceauKest L i le faisceau pour la topologie de Zariski surVassocié au préfaiseauU7→K(U)K(U) i i désigne lei-ème groupe deK-théorie de Quillen. SiGest un groupe algébrique linéaire
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semi-simple, une variété de drapeaux généralisée sousGest une variété projective qui est homogène sousG. Le but de cette Note est de montrer le théorème suivant
Théorème1. —SoitGun groupe algébrique linéaire semi-simple sur un corpskde groupe de Galois absoluG. SoitVune variété de drapeaux généralisée sousG. Alors le groupe de L m s Picard deVest un module de permutation et se met donc sous la formeZ[G/H]i=1i lesHsont des sous-groupes ouverts deG. Soientkles corps correspondants. Il existe des i i classesαdeBrket un complexe naturel i i m MN(.α) k /k i 3 3 i k−−−−−−→H(k,Q/Z(2))H(k(V),Q/Z(2)) i i=1 2 dont l'homologie est canoniquement isomorphe au sous-grou pe de torsion deCH (V). En particulier, cette homologie est finie.
2.K-cohomologie d'une variété de drapeaux généralisée. s s Soientkun corps de clôture séparableketGle groupe de Galois deksurk. SoitG un groupe algébrique linéaire semi-simple surketVune variété de drapeaux généralisée s s s sousG. On fixe un sous-groupe paraboliquePdeGtel queVsoit isomorphe àP\Get un sous-groupe de BorelBdeP. SoitTun tore maximal deB,Φl'ensemble des racines s deTdansGetWle groupe de Weyl correspondant. La lettreΔdésigne la base deΦ correspondant àB. Pour toutJΔ,Pdésigne le sous-groupe parabolique correspondant, J J Wle sous-groupe deWengendré par les symétriesspourαJetWl'ensemble des J α uniques éléments de longueur minimale dans les classesW wlorsquewdécritW. On note J J J s Wle sous-ensemble deWdes éléments de longueurietVla variétéP\G. Pour tout i J J wW,Xdésigne l'adhérence de l'image dansVde la double classeBwB. L'élément w,J J le plus long dansWest notéw. J J L j Proposition1. —Avec les notations qui précèdent, le groupeH(V ,K)est i,jNJ i+j L s unK k-module libre muni d'une base canonique donnée par les class es[X]dans iNi J,w i J H(V ,K)pourwappartenant àW. En outre l'applicationw7→w wwinduit J idimVJi JΔ J J une bijection deWdansWet, en posantw¯ =w ww, on obtient dans l'anneau idimVJi JΔ L i de ChowH(V ,K), la relation iNJ i J J (w, w)W×W ,[X].[X] =δ[X] idimVJwi J,w J,w ¯,w J,e [X]est la classe d'un point. J,e Démonstration. — Soitπ:GVla projection canonique. Par [Bo, theorem 21.29], les J J J sous-variétésπ(BwB)pourwWforment une décomposition cellulaire deVet pour J J J i toutwdeWla dimension deπ(BwB)est égale àl(w). Or les groupesH(V ,K)coïn-J J i i cident avecCH (V). Donc par [Fu, example 1.9.1], les classes[X]pourwappartenant à J J,w J i WengendrentH(V ,K). D'après [Dem, corollaire page 69], il s'agit d'une base dimVJi J i lorsqueJ=.
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J Un calcul élémentaire sur les longueurs montre que, siwW, alorsw wwappartient i JΔ J J àW. On noteπ:VVla projection canonique. Soitwun élément deWet dimVJi,JJ i J wun élément deW. Par [Bo, 21.29],π(π(Bw wB))coïncide avecπ(BwB). dimVJi,JJ J 1 Commel(w w) = dim(V)dim(V) +l(w), on obtient queπ(X) =X. En JJ,J J,w,wJw appliquant [Dem, proposition 3.1] et [Fu, proposition 8.3], on obtient [X].[X] = [X]([X]) =π(π([X]).[X]) J,w J,w J,w,J,w,J,J J,w,w ∗ ∗ =π([X].[X]) =π(δ[X]) ,J,wJw,w,J wJw,w wΔ,e ∗ ∗ =δ[X]. w¯,w J,e Les éléments[X]pourwWforment donc une base de l'anneau de Chow et la formule J,w J d'intersection est démontrée. JChoisissons maintenant une bijection de{1, . . . , N}dansWtelle que, sii6i, alors S l(w)>l(w). Pour touticompris entre0etNon noteOl'ouvertπ(Bw B). Nous i i i j6i J j L s allons démontrer par récurrence surique, pour toutitel que16i6N, leK k-jNj L l moduleH(O ,K)est libre avec une base donnée par les classes j,lNi j+l i dimVJl(wj) π(Bw B)H(V ,K) J j JdimVJl(wj) jdécrit{1, . . . , i}. Pouri= 1on a que l'ouvertOest isomorphe à l'espace affine 1 de dimensiondimVet le résultat est une conséquence du théorème d'homotopie p our la J K-cohomologie (cf. [Sh, theorem 2.4]). Supposons le résultat connu pouri1. AlorsU= i OO=π(Bw B)est isomorphe à l'espace affine de dimensionl(w). Par le théorème i i1J i i p s d'homotopie, on obtient queH(U ,K)est isomorphe àK ksipest nul et est trivial i q q sinon. Or on a des suites exactes longues
pd p ∙ ∙ ∙ H(U ,K)H(O ,K) i qd i q p,q p p+1d i H(O ,K)−→H(U ,K)∙ ∙→ ∙ i1q i qd pd d= dimVl(w). Mais sip > d, alors le groupeH(U ,K)est trivial et J i i pd p1,p = 0. Si, par contre,p=d, alors sachant que i X p J p1,p rk(H(V ,K)) = #W= rk(Coker), J pdimVJp i {i|l(wi)=dimVJp} p,p1 s on obtient que les applicationssont triviales. Mais les morphismessontK k-i iL L p s linéaires et par hypothèse de récurrenceH(O ,K)est unK k-module iNi1p+i iNi p,q libre. Donc toutes les applicationssont nulles. En d'autres termes on a obtenu un dia-i gramme commutatif dont les lignes sont exactes :
ppd p 0−−−→H(KU , )−−−−−→H(O ,K)−−−−−→H(O ,K)−−−→0 x x i qd i q i1q ≀ ↑s pp s d s p 0K kH(U ,K)K kH(O ,K)K kH(O ,K)0. qpp i d qp qp i p i1p Par conséquent la flèche verticale du centre est également un isomorphisme. i s Corollaire1. —LesG-réseauxH(V ,K)sont des modules de permutation. i
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i i s Démonstrationnote. — On Ila partie deΔcorrespondant àP. SoitCH(V ,K)le effi cône des classes de diviseurs effectifs. Alors[X]appartient à ce cône. Réciproquement, I,w P dimVi soitα=Jn[X , w]un élément deC. Alors, d'après [Fu, page 441] pour wIW w eff i I I toutwappartenant àWon a[X]>0. Mais pour tout élémentwW,n= dimVi wi I,w dimVi [X]. Donc on obtient queCest le monoïde engendré par les[X]wdécrit I,w¯effI,w J i s i W. L'action deGsurH(V ,K)laisseCglobalement invariant. Ses faces de dimension i ieff un sont également invariantes et la base définie par[X]est globalement invariante. I,w
1i s Corollaire2. —Pour tout entier positifi, on aH(G, H(V ,K)) = 0. i+1 Démonstration. — Par la proposition 1, on a des isomorphismes i s si s H(V ,K) ˜kH(V ,K). i+1Zi Le corollaire résulte alors du corollaire 1 et du théorème 90 d'Hilbert.
3. Démonstration du théorème 1 Par [CTR, proposition 3.6], on a une suite exacte
1sG1s0s H(V ,K)H(G, K(k(V))/H(V ,K))2 2 2 2 2s1 1s Ker(CH (V)CH (V))H(G, H(V ,K)). 2 1 1s D'après le corollaire 2,H(G, H(V ,K))est trivial et par la proposition 1 on a des iso-2 s0ss s 1s morphismesK k˜H(V ,K)etPicVk˜H(V ,K). Mais d'après [Kah, 2 2 2 corollaire 3.2] qui est un des éléments-clefs de cette démonstration,   1s s3 3 H(G, K(k(V))/K k)˜KerH(k,Q/Z(2))H(k(V),Q/Z(2)). 2 2 2s En outre, commeCH (V)est sans torsion, on a 2 2s2 Ker(CH (V)CH (V()) = CH V) tors ce qui donne la suite exacte   s sG3 3 2 (PicVk)KerH(k,Q/Z(2))H(k(V),Q/Z(2))CH (V)0. tors L m s sG∗ ∗ Comme(PicVk) ˜kil reste à montrer que le morphisme dekdans i=1i i 3 H(k,Q/Z(2))a bien la forme désirée. Mais on vérifie que les morphismes considérés sont compatibles avec la corestriction. Il suffit donc de considérer le cas oùk=k. Soitαl'image i i GsG du générateur naturel deZ[G/H]PicVdansBrkpar l'application composée i sG1ssPicVH(G, k(V)/k)Br(k). On vérifie alors comme dans [Pe2, lemma 4.3] la commutativité du diagramme
3 k−−−−−→H(k,Q/Z(2)) ց ր kαZ.
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