Corrélations spectrales dans les systèmes classiquement chaotiques

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Corrélations spectrales dans les systèmes classiquement chaotiques Dominique Spehner Universitat Duisburg-Essen CPT Luminy, 11 juin 2004 – p. 1

  • universitat duisburg-essen

  • dynamique classique

  • spectre

  • chaos dans les systèmes dynamiques

  • separation exponentielle des trajectoires

  • chaos quantique

  • corrélations entre orbites périodiques

  • corrélations spectrales dans les systèmes


Publié le : mardi 1 juin 2004
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Corrélations spectrales dans les systèmes
classiquement chaotiques
Dominique Spehner
Universita¨tDuisburg-Essen
CPTLuminy,11ujni2004–.p1

Sommaire
Qu'est-ce que le chaos quantique ?
Limite semi-classique
Corrélations entre orbites périodiques et facteur de forme
Corrélations entre éléments de matrice d'une observable
Conclusions - Perspectives
PCTuLimyn,11ujni2004–p.2

Qu'est-ce
que
le
Sommaire
chaos
quantique
?
CPT
Luminy,
11
juin
2004
–
p.
3
=|xp|te)pq(Henemuvmodut.nsco uge´eilimanreuqicol´eitHyrerbpeeslucenoHtq(p=)vementDyst.dumoutie´dociTZl:miiresecto)Erg(>0lleitnenjartsederapa´e:spoexonti
.
Chaos dans les systèmes dynamiques classiques
EX : particule libre dans un domaine compact  R 2 (billiard) )2 p m 2 si q H ( q p =
 H ( q p ) = + si q /
CHAOTIQUE
INTÉGRABLE y
y
1juin2004–p.4
x
x
E=HiTPC.imuL1,yndtT0(qTfptthf)=
CHAOSQUANTI
Chaos dans les systèmes quantiques ?
QUE
= étude des systemesquantiques ayant une dynamique classique chaotique (hyperbolique, ergodique, . . . ) , spectre du Hamiltonien, fonctions propres , . . .
~ APPLICATIONS : physique mésoscopique, atome H en champ B , . . . EX : spectre { E n } du Laplacien H =  ~ 2  sur (spectre discret) INTÉGRABLE CHAOTIQUE y y
x E n = ~ 2 n 2 x + n 2 y n x  n y = 1 2  . . . (non générique)
x
spectreal´eatoire” similaire aux spectres des noyaux complexes
CPTLuminy,11juin0240–p.5
neyoedenrusninurvtelealecspaltrm,4–p.n200
 ( E ) =  I 
I  = [ E    E +  ] contient beaucoup de valeurs propres E n c'est-à-dire : 1 = distance moyenne entre énergies voisines). h  ( E ) i (
Formule de Weyl : pour f degrés de liberté ( f  2 )  ( E ) ~  f .
6
Densit� d'�tats  ( E )
{ E n } = valeurs propres du Hamiltonien H (spectre discret) ( E ) = X  ( E  E n ) . n
uLimCTPj1iuyn1,
Statistique spectrale : espacement entre valeurs propres
Espacement entre énergies voisines : s n = h  ( E ) i ( E n +1  E n )
P ( s ) d s = ] valeurs ] pvraolperuerss E pr n o pr I  es, s E  n s I n  s + d s.
INT�GRABLE (ge´ne´rique) Poisson

CHAOTIQUE syme´ trie par renversement du temps GOE
CPTLuminy,11ujni0240–p.7
Statistique spectrale : corr�lationsentre valeurs propres
Fonctiondecorr´elationa2points pour la densité d'états  :
R (  ) = D  ( E )  ( E +  ) E  D  ( E ) E 2 2 2  1 2 n, X m exp  ( E n 2  2 E ) 2  E n  E m +   D  ( E ) E

D E
E'
moyenne h . i sur beaucoup de valeurs propres E n  E Facteur de forme = transformée de Fourier tronquée”de R (  ) : T' T-T/2 T+ T/2 0 K ( T ) =  ( E )  1 Z TT   + TT/ 2 / 2  d TT Z  d  e  i  T 0 / ~ R (  ) =  ( E )  1 Z  d  sinc   2 ~ T e  i  T / ~ R (  ) avec 0 <  T  ~  ( E ) K ( T ) est auto-moyennant .
CPTuLimyn,11juin2004–p.8
Th�orie des matrices al�atoires (Wigner '58, Dyson)
1. Ensemble GOE : H = matrice aléatoire N  N r´eellesym´etrique ( e´l´ementsde matrice=variablesale´atoiresinde´pendantesgaussiennes ). Pour N → ∞ ,  = T/N h  ( E ) i xé,
K GOE (  ) = 2    log(1 + 2  ) si 0 = 2   2  2 + . . .

1
2. Ensemble GUE : H = matrice aléatoire N  N complexe auto-adjointe ( id. ).
K (  ) =  si 0    1
GUE (  ) =  0    1
3. Spin 21 , autres symétries autres ensembles de matrices ale´atoires
CPTuLimny,11ujni0240–p.9
teré)énsidmecoysttdusnadnepédni(lesreivunsteminyPTLuuin2,11jC
Conjecture de Bohigas, Giannoni & Schmit ('84)
�CHELLES DE TEMPS
–40001.p
Dynamique invariante par ren-versement du temps (RT) : K (  ) = K GOE (  ) = 2   2  2 + . . . NB : ici, systemed´eterministe (pas de désordre).
CONJECTURE : Silesystemeaune dynamique classique chaotique , le facteur de forme K (  ) exprim´eenfonctionde  = T /T H co¨ncideacl´edictiondelath´eoriedesmatricesale´atoires. ve a pr
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4
0.6 0.8 1 ? T T H ~ h 1-f
TEMPS DE HEISENBERG : T H = 2  ~ h  ( E ) i ~ 1  f
UNIVERSALITE K GOE (T) ou K GUE (T) 0 T T ~ ln h erg Ehr
"traceF6.dat" 2*t-t*log(1+2*t)

Sommaire
Qu'est-ce que le chaos
Limite
semi-classique
quantique
?
CPT
Luminy,
11
juin
2004
– p.
11
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