COURBES ET FIBRES VECTORIELS EN THEORIE DE HODGE p ADIQUE

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COURBES ET FIBRES VECTORIELS EN THEORIE DE HODGE p-ADIQUE LAURENT FARGUES ET JEAN-MARC FONTAINE Table des matieres 1. Courbes 1 2. Fibres vectoriels sur les courbes 7 3. Filtrations de Harder-Narasimhan 9 4. Classification de fibres 15 5. Anneaux de Fontaine 28 6. Etude de certains ideaux et valuations des vecteurs de Witt 46 7. Les espaces de Banach (B+E ) ?hE=pi d E 65 8. Espaces vectoriels formels et spectraux 86 9. L'algebre graduee PE,pi 99 10. La courbe 104 11. Deux resultats sur les periodes des groupes p-divisibles 107 12. Fibres vectoriels 110 13. ?-modules et fibres 122 14. Fibres Galois equivariants 131 15. Fibres equivariants de de Rham 139 16. Fibres cristallins et log-cristallins : faiblement admissible implique admissible 146 17. De Rham implique potentiellement log-cristallin 158 18. Simple connexite de la courbe 169 References 170 1. Courbes 1.1. Generalites. Nous adopterons la definition suivante dans ce texte. Definition 1.1. Une courbe est un couple forme de la donnee d'un schema noetherien regulier X connexe de dimension 1 separe sur Spec(Z) et pour tout point ferme x ? X d'un entier deg(x) ≥ 1. Les courbes sont donc les schemas connexes separes sur Spec(Z) obtenus par recollement d'un nombre fini de spectres d'anneaux de Dedekind munis d'une fonction degre sur leurs ideaux maxi- maux.

  • courbe

  • anneau

  • algebre de droite dans l'isomorphisme precedent

  • frac

  • valuation v∞

  • application naturelle

  • clidien verifiant

  • elements irreductibles

  • groupe des diviseurs de cartier

  • algebre graduee


Publié le : mardi 19 juin 2012
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COURBES ET FIBRES VECTORIELS EN THEORIE DE HODGE p-ADIQUE
LAURENT FARGUES ET JEAN-MARC FONTAINE
Table des matieres
1. Courbes 1
2. Fibres vectoriels sur les courbes 7
3. Filtrations de Harder-Narasimhan 9
4. Classi cation de bres 15
5. Anneaux de Fontaine 28
6. Etude de certains ideaux et valuations des vecteurs de Witt 46
h d+ ’ =E E7. Les espaces de Banach (B ) 65E
8. Espaces vectoriels formels et spectraux 86
9. L’algebre graduee P 99E;
10. La courbe 104
11. Deux resultats sur les periodes des groupes p-divisibles 107
12. Fibres vectoriels 110
13. ’-modules et bres 122
14. Fibres Galois equivariants 131
15. Fibres equivariants de de Rham 139
16. Fibres cristallins et log-cristallins : faiblement admissible implique admissible 146
17. De Rham implique potentiellement log-cristallin 158
18. Simple connexite de la courbe 169
References 170
1. Courbes
1.1. Generalites. Nous adopterons la de nition suivante dans ce texte.
De nition 1.1. Une courbe est un couple forme de la donnee d’un schema noetherien regulier X
connexe de dimension 1 separe sur Spec(Z) et pour tout point fermex2X d’un entier deg(x) 1.
Les courbes sont donc les schemas connexes separes sur Spec(Z) obtenus par recollement d’un
nombre ni de spectres d’anneaux de Dedekind munis d’une fonction degre sur leurs ideaux
maximaux. SiX est une courbe nous noteronsjXj l’ensemble de ses points fermes, son point generique
etF (X) =O son corps des fonctions rationnelles . On veri e que si X est une courbe alorsX;
les ouverts non-vides de X sont exactement les complementaires des ensembles nis de points
fermes de X. Tout x2jXj de nit une valuation
v :F (X)! Z[f+1gx
normalisee de telle maniere a ce que la fonction v soit surjective. Si U est un ouvert non vide dex
X,
( U;O ) =ff2F (X)j8x2jUj; v (f) 0g:X x
Date: 19 juillet 2011.
12 LAURENT FARGUES ET JEAN-MARC FONTAINE
De nition 1.2. Si X est une courbe on note Div(X) le groupe abelien libre surjXj. Pour D =
X
m [x]2 Div(X) on notex
x2jXj
X
deg(D) = m deg(x):x
x2jXj
Comme d’habitude, Div(X), le groupe des diviseurs de Weil, s’identi e aux classes
d’isomorphismes de couples (L;s) ouL est un bre en droites sur X ets2L nf0g une section rationnelle
deL generiquement non nulle, le groupe des diviseurs de Cartier. La loi de groupe sur les diviseurs
0 0 0 0de Cartier est donnee par (L;s):(L;s ) = (L
L;s
s ). Le diviseur de Weil associe au coupleP
(L;s) est div(L;s) = m [x] ou m est l’ordre d’annulation ou l’oppose de l’ordre du p^ ole dex xx
la section s en x. Si D2 Div(X) on noteO (D) le bre en droite tel que pour tout ouvert U,X
( U;O (D)) =ff2F (X) j div(f ) +D 0g[f0gX UjU
P P
ou si D = m [x]; D = m [x]2 Div(U). Il est muni de la section rationnelle donneex U xx x2U
par 12 F (X) et denit donc un diviseur de Cartier. L’application D7! (O (D); 1) de nit unX
inverse a l’application (L;s)7! div(L;s).
Si f2F (X) on pose
X
div(f) = div(O :f; 1) = v (f)2 Div(X):X x
x2jXj
Cela de nit un morphisme de groupes
div :F (X) ! Div(X):
On dispose alors de la suite exacte usuelle
div 0! ( X;O ) ! F (X)! Div(X) 7 ! Pic(X)! 0X
D 7 ! [O (D)]:X
De nition 1.3. Une courbe complete est une courbe X telle que
8f2F (X) ; deg(div(f)) = 0:
Exemple 1.4. Si k est un corps et X est une courbe projective lisse sur k au sens usuel, posant
8x2jXj; deg(x) = [k(x) :k], cela de nit une courbe complete au sens precedent.
Si X est une courbe complete la fonction degre d’un diviseur de nit une fonction degre, deg :
Pic(X)!Z. Le lemme qui suit ne pose pas de probleme.
Lemme 1.5. Si X est une courbe complete, ( X;O ) est un sous-corps de F (X).X
De nition 1.6. Si X est une courbe complete on appelle corps de de nition de X le corps
( X;O ).X
Exemple 1.7. Reprenons l’exemple 1.4. Le corps de de nition de X au sens precedent est la
cl^ oture algebrique de k dans k(X).
1.2. Construction de courbes.
1.2.1. Anneaux presque euclidiens. Rappelons qu’un stathme euclidien sur un anneau B est une
fonction deg :B!N[f 1g veri ant :
(1) deg(a) = 1 si et seulement si a = 0,
(2) si a2Bnf0g;b2Bnf0g alors deg(a) deg(ab).
Rappelons egalement qu’un anneau euclidien est un anneau integre B muni d’un stathme
euclidien veri ant : 8x;y2B avec y = 0, il existe a;b2B tels que
x =ay +b et deg(b)<deg(y):
Remarquons que dans un anneau euclidien les elements de degre 0 sont inversibles.
6 COURBES ET FIBRES VECTORIELS EN THEORIE DE HODGE p-ADIQUE 3
De nition 1.8. Un anneau presque euclidien est un anneau integre B muni d’un stathme
euclidien deg veri ant :
(1) tout element de degre 0 dans B est inversible,
(2) 8x;y2B avec deg(y) 1, il existe a;b2B tels que x =ay +b et deg(b) deg(y).
Bien sur,^ tout anneau euclidien est presque euclidien.
Proposition 1.9. Soit (B; deg) un anneau presque euclidien dont le stathme est multiplicatif,
deg(ab) = deg(a) + deg(b). L’anneau B est principal si et seulement si pour tout x;y2Bnf0g de
m^eme degre, il existe a;b2B veri ant
soit 1 = deg(ax +by)< deg(x),
ou bien ax +by = 0 et b2B .
Demonstration. SupposonsB principal. Soientx;y2B non nuls de m^eme degre. Si (x) = (y) il
0 0 0existe b2B tel que x =by est le resultat est clair. Sinon, ecrivons x =x et y =y avec x et
0 0 0y premiers entre eux. Si l’on avait deg() = deg(x), cela impliquerait que deg(x ) =deg(y ) = 0 et
0 0 doncx;y 2B . Cela est impossible puisque l’on suppose (x) = (y). On a donc deg()< deg(x).
0 0Si a;b2B sont tels que ax +by = 1 on obtient alors ax +by =.
Montrons la reciproque. Soit I un ideal non nul de B. Soit x2 I de degre minimal parmi les
elements deInf0g. Montrons queI = (x). Siy2Inf0g, ecrivanty =ax+b avec deg(b) deg(x),
quitte a remplacery parb sib est non nul on est ramene au cas ou deg(y) = deg(x). Par minimalite
de deg(x), il n’existe pas a;b2 B tels que ax +by = 0 et deg(ax +by) < deg(x). Il existe donc
a2B et b2B tels que ax +by = 0 et donc y2 (x).
1.2.2. Construction de courbes a nes. Soit B un anneau integre de corps des fractions K. Le
lemme suivant ne pose aucun probleme.
Lemme 1.10. Les donnees suivantes sont equivalentes :
{ Un sous-anneau de valuation discrete AK tel que A\B soit un corps.
{ Une valuation v : K! Z[f+1g veri ant v (K ) = Z,8b2 Bnf0g; v (b) 0 et1 1 1
v (b) = 0 implique b2B .1
Soit donc une donnee telle que dans le lemme precedent. NotonsF le corpsB\A. Remarquons
que B =F . Posons
deg = v :B! N[f 1g1jB
qui est un stathme euclidien. Notons (Fil B) la ltration croissantei i2Z
Fil B =fb2Bj deg(b)ig:i
Ainsi, Fil B =F et Fil B = 0 lorsquei< 0. Faisons l’hypothese suivante : pouri 1, l’application0 i
i i+1Fil B=Fil B! m =mi i 1 A A
est surjective ou m designe l’ideal maximal de A.A
Proposition 1.11. Sous l’hypotheses precedente (B; deg) est presque euclidien.
Demonstration. Il su t de montrer qu’etant donnes x;y2 B avec deg(x) deg(y) 1, il
existe a;b2 B tels que x = ay +b et deg(b) deg(y). On procede pour cela par recurrence sur
deg(x) deg(y), le cas ou deg(x) = deg(y) etant evident. Soient i = deg(x) etj = deg(y). Notons
j j+1i i+1x2m =m ety2m =m . Puisque (A;m ) est un anneau de valuation discrete, il existeAA A A A
(i j) (i j+1)
c2 m =m tel que x = cy. D’apres l’hypothese faite, il existe 2 Fil B tel quei jA A
a =c. Posons =x y. On a donc deg()< deg(x). Si deg() deg(y) on a termine. Sinon, il
su t d’appliquer l’hypothese de recurrence au couple ( ;y) pour conclure.
Supposons maintenantB principal et notonsX = Spec(B). Posons pourx2X un point ferme,
deg(x) = deg(f) si f2 B est un element irreductible associe a x. On a donc de ni une courbe
que l’on aimerait compacti er en une courbe complete en ajoutant la valuation v et en posant1
deg(1) = 1. Dans la section qui suit on va voir un procede permettant de construire naturellement
une telle compacti cation.
6664 LAURENT FARGUES ET JEAN-MARC FONTAINE
Exemple 1.12. Soit K un corps value complet, de valuation discrete a corps residuel parfait,
b +extension de Q . Soit K une cl^ oture algebrique de K. Notons C = K. Soit B l’anneau dep cris
+ ’=Id1Fontaine des periodes cristallines associe et B = B ([19]). Notons B = B . Con-cris ecris crist
siderons l’anneau de valuation discrete B d’uniformisante t. Le plongement B B BdR e cris dR
compose avec la valuation deB de nit une valuation v surB . La ltration par le degre sur BdR 1 e e
iinduite par v est alors Fil B =B \ Fil B . Il resulte alors de la suite exacte fondamentale1 i e e cris
([19], th. 5.3.7) que Fil B =Q pour tout i 1,0 e p
i + i+1 +
Fil B =Fil B! t B =t B =C( i):i e i 1 e dR dR
La condition (1) precedente est donc veri ee. On verra plus tard qu’en fait un tel anneau est
principal presque euclidien et que de plus ses elements irreductibles sont les elements de degre 1.
1.2.3. Construction de courbes completes. Supposons nous donne un anneau gradue integre
M
P = Pi
i0
tel que P soit un corps que nous noterons egalement F . On suppose que dim P 2. Posons0 F 1
maintenant
X = Proj(P );
un F -schema.
Theoreme 1.13. Faisons les hypotheses suivantes :
(1) Le mono de multiplicatif
[
P nf0g =Fd
d1
est libre sur les elements de P =F .1
(2) Pour tout t2P nf1g, il existe un corps C extension de F tel que1
P=Pt’ff2C[T ]j f(0)2Fg
comme F -algebres graduees.
On a alors les proprietes suivantes :
+
a) Pour tout t2P nf0g, le lieu d’annulation de la section hyperplane t , V (t), est constitue1
d’un seul pointf1g.t
b) SijXj designe les points fermes de X, l’application t7!1 induit une bijectiont
(P nf0g)=F!j Xj1
c) Posons pour tout point ferme x de X, deg(x) = 1. Alors, munie de cette fonction degre, X est
une courbe complete.
d) Pour tout point ferme12 X, Xnf1g est un ouvert a ne Spec (B) avec B principal, i.e.
Pic(Xnf1g) = 0, et l’anneau (B; v ) est presque euclidien.1
Demonstration. Soit t2P nf0g et CjF tel que1
P=Pt’ff2C[T ]j f(0)2Fg:
Notons D l’algebre de droite dans l’isomorphisme precedent. On a alors
+V (t) = Proj(P=Pt)’ Proj(D)
qui d’apres le lemme 1.14 qui suit est reduit a un seul point, l’ideal premier homogene nul de D.
+ 1NotonsV (t) =f1g. Soit maintenantB =P ] ,Xnf1g = Spec(B). On veri e immediatement0t
x
que B est un anneau factoriel d’elements irreductibles les lorsque x parcourt P nF:t. Pour un1
t
tel x il y a une identi cation
x 1B=B: = (P=Px)[ ] 0tt COURBES ET FIBRES VECTORIELS EN THEORIE DE HODGE p-ADIQUE 5
ou t2P=Px designe la reduction de t. Mais si
0P=Px’ff2C [T ]j f(0)2Fg
0ou C est un corps extension deF , on veri e que pour tout element homogene de degre 1 non nul
0 0y dans l’algebre graduee D =ff2C [T ]j f(0)2Fg,
0 1 0D [ ] ’C :0y
x
L’ideal engendre par dans B est donc maximal. L’anneau B est factoriel, les ideaux engendres
t
par les elements irreductibles sont maximaux ; il est donc principal.
Montrons maintenant que l’anneau B satisfait aux hypotheses de la section 1.2.2 et que donc,
d’apres la proposition 1.11, il est presque euclidien. Il est muni de la ltration (Fil B) oui i0
n o
x
Fil B = j x2P :i iit
En particulier, Fil B =F . Soit0
deg :B! N[f 1g
la fonction degre associe a cette ltration. Notons K le corps des fractions de B. A l’element
irreductiblet de l’anneau factorielP est associe une valuationv sur Frac(P ). On veri e facilement1
qu’en restriction a B Frac(B) Frac(P ),
v = deg :B! Z[f+1g:1
Soit S la partie multiplicative de P=tP formee des elements homogenes non-nuls. Pour tout
i i+1 i i+1entier i2Z graduons le P=tP -module t P=t P en posant que t P =t P est de degre i +j.j j 1
i i+1Cela munit t P=t P d’une structure de P=tP -module gradue sur l’anneau gradue P=tP . Il y a
alors un isomorphisme naturel d’anneaux gradues
M M i i+1 1 i i+1m =m ! S (t P=t P ) :K;v1 K;v1 0
i2Z i2Z
iCelui-ci se decrit de la fa con suivante. Un element de m s’ecrit sous la formeK;1
xit
y
avecx;y2P homogenes,x2P ety2P ntP pour un entiera. On associe alors a un tela a+i a+i 1
element
1 1 i i+1iy :t x2S (t P=t P ):
De plus, via cet isomorphisme l’application naturelle
i i+1Fil B! m =mi K;v K;v1 1
est donnee par, si x2P ,i
x i i+1i7 !t x2 [t P=t P ] place en degre i:0it
Pour veri er que la condition de la section 1.2.2 est veri ee il sut donc de veri er que pour i> 0,
l’application naturelle
1P =tP 7 ! [S (P =tP )]i i 1 i i 1 0
est surjective. Par un calcul explicite on veri e que c’est le cas pour l’algebre graduee ff 2
C[T ]j f(0)2Fg.
Lemme 1.14. Soit CjF une extension de corps et D =ff 2 C[T ]j f(0)2 Fg, une F -algebe
graduee. Alors, Proj(D) est reduit a un seul point, l’ideal premier homogene nul.

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