Courbes et fibres vectoriels en theorie de Hodge p adique

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Courbes et fibres vectoriels en theorie de Hodge p-adique Laurent Fargues Travail en commun avec J.M. Fontaine

  • qp ?

  • xn ?

  • algebriquement clos

  • algebre de frechet

  • applications arithmetiques


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Courbes
et
br´es
vectorielsenthe´orie
Travail
en
Laurent commun
Fargues avec J.M.
de Hodge
Fontaine
p-adique
L’anneauB+
L’anneauB
Fsiit´treracadtcequecco´elemppsorluvap,v:FR∪ {+∞}, \ alge´briquementclos`F'k((π))
pour
les
applications
arithme´tiques
´
L’anneauB+
Fcoeu´eristiqdecaractcemolpteprvsla´up,v:FR∪ {+∞}, \ alg´ebriquementclos`F'k((π ´tiques)) pour les applications arith me
W(OF)ˆ1˜ p
˘
P
Pn−∞[xn]pn|xn∈ OF
¯
´
L’anneauB+
Fcsprolempectdluvaco´eert´acarequtiisp,v:FR∪ {+∞}, \ alge´briquementclos`F'k((π)lrsep)uoe´mhuqitseplapaticnsioitar´ W(OF)ˆ1p P˜ ˘n−∞[xn]pn|xn∈ OF¯ _
vr
R∪ {+∞}
pourrR+,vrest une valuation
ninfZ{v(xn) +nr}
L’anneauB+
Fule´spaveldtocpmact´ecartiqueriseorcp,v:FR∪ {+∞}, \ alge´briquementclos`F'k((πoitarasnpasecilp)p)rlouquesithm´eti´ W(OF)ˆ1p˜ ˘ Pn−∞[xn]pn|xn∈ OF¯ _
vr
R∪ {+∞}
ninfZ{v(xn) +nr}
pourrR+,vrest une valuation De´nition On note B+lempcoetl´de´eW(OF)ˆp1˜ort`apraarpp(vr)r>0.
ϕest bijectif
ϕ
""
B+=QptheecFrlaederbe`g
0id1Xd1)7X0x...x´+hϕp=(d
{z P
h,d
`B+´ϕ | {z
=p
Ph
}
=
D´enition h1,
Ph,0ebg`al-re
Alge`bregradu´ee
gr d ´ a uee.
M d0
=
Qph
p˜ihi+dnˆZnnpxFO)(+Bϕ´=hdp1)GrigOF(F)=G(e´dheinlrap-FsepotogiloeBedacanaenorpuBe(d¨odıtsdpoinus-gunsom.1<<0rB(FdBd˚)0ou)p1(0hurFpGrigOF'˚Bd(0coilenedeptndeshfopeelrmdip-isv.1eu,hd=GisuorgeBanacedorsqachL+Bϕ´`e=ps=hdpd
Ph=M`B+´ϕ=p d0|P{z } h,d
˚ 'Bd GOF(01)
Lorsque 1dh, siG= groupe formelp-div. isocline de pentedhsurFp
Qph=Ph,0erbedarg-`glaeeu´. h `B+´ϕ=pd= espace de Banach
Definition ´ h1,
Alg`ebregradue´e
i+˜pndnhiZˆxp1XnidX0)17xdstniop-Fsuosnudn´ehdacesrlpaieopoldpotBenaigde)G(OF´ϕh=(B+´+B(p=hϕ0x(d...r0ou<1<dF.m(d0)˚dB0(1p)-groupeano¨ıdeBgir(F)=igOFGrhd
1XnidpnhZˆx.dx0..0X17)i+dnp˜i
Ph=`|MB+{z´ϕh=pd} d0Ph,d
GrOigF(F) =G(OF)(B+´ϕh=pd topologiedeBanachde´nieparlesF-points d’un sous-groupe affino¨de ı Bd(0 )˚Bd(01) pour 0<  <1.
˚ GrOigF'Bd(01)
Qph=Ph,0gla-rbe`e.raeg´edu `B+´ϕh=pd= espace de Banach Lorsque 1dh, siG= groupe formelp-div. isocline de pentedhsurFp
De´nition h1,
Alge`bregradue´e
FB+(h=´ϕ(xpddm
Al`ebregradu´ee g
De´nition h1,
Ph=`MB+´ϕh=pd d0| {z } Ph,d
uee. Qph=Ph,0-algegra`ebr´d `B+´ϕh=pd= espace de Banach d Lorsque 1dh, siG= groupe formelp-div. isocline de pentehsurFp
GrOigF'˚Bd(01)
GrOigF(F) =G(OF)(B+´ϕh=pd topologiedeBanachd´enieparlesFusdouns-pntoionaedı¨rg-sepuo ˚ Bd(0 )Bd(01) pour 0<  <1. = mdF−→(B+´ϕhpd (x0 . . . xd1)7 ˆX Xxipnh˜pnd+i 0id1nZ
e´amsnhcseut.1hX`eme´eorTh
X1
||)KbatsaGXt|K(l
).
On
De´nition h1, Xh=
Proj(Ph
:=
.
note
X
isil
Courbe
eumincena(RCO))X,ntdeXeoniqueme,B´ecisoϕn1Tn+=oFeduaensaeniatnt3.4emen=B+\OX,ir)sB(c+inuqaconntsap´e=ioerdedeθRd=t,CfinuimroBϕ=Idcris,X\{}=pµsruCO.3S5Bi=eE!lapicnirpuaenntaesBeete)(BecSp(eeBiadtf}N{:Beg=vt,denfaiidiln»neuqsecueeeannpru«eg,dna)uF,F=ar(cQ|,p=CKbien4.SiKoneuclid´hreontee´ugeirndedilierion1mensQX'hX.2(aivhpQpd|=p)ϕB+d,1,}P{z(+Bϕ)=hhp|dz{P}h,hd3.tP1,1\{0}(+V,{=)tu,}uesnoilpdent3.X:=c1Cleniduer´esorpseuemrbqigle´seatomecu´al,vosclnt=)CO(R2.3pQ|telp0|x(n)˘(x(n))n)1p)x=n(CO(,(x+niqonmeue=O)¯anFcθsirnaC.3tnc+B3
u´ec,valclosmentqieue´rbatglnseleueidesr´psor=cC1.3:Xedtnioplue={},uns0},V+(t)t1P1,{\P},hdh.3phh={zd|(d,)ϕB+z{|d,1P}+B(ap=ϕ)c+irnϕB(onin)sacci´eassoTn1,B+=eduaennaeniatnoF3B3.ntmeCsθri+cn(¯)O=cFnanoqieu)OC,(x(n+1))p=x(˘=))n(x0n)n(x|plom|Qet.2p3OCR(X'hX.2ivhpQpQ
1
1.
de
dimension
Xh
re´gulier
sch´ema
noeth´erien
un
est
Th´ore` e me
:=X1.
On note X
D´enition h1, Xh=Proj(Ph).
Courbe
esilibair,s\X{=eϕBI=cde)etBees}=Spec(Bcnirlapinnatpuaeg=de:vnf!Et,ai,X=4.O\ne3tuqmeifort=unθC,B+dRedoire´p=etnasimiB5S3.OCursµpdeiK|Qp,C=bK,F=Fra(c(RCO))X,uminceonanueiqntmedeXteX(laG)K|Kts||{BeNtde(}faigeu)eBd,ae«uannneequesprendiliuclcuenon»S.4neidi
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