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2-cours-espace.doc GEOMETRIE DANS L'ESPACE I) PARALLELISME DANS L'ESPACE 1) Voir en 3D une figure faite en 2D La difficulté principale de ce chapitre est de raisonner dans l'espace à partir de figures dessinées sur une feuille de papier, c'est à dire sur un plan ! Pour nous y aider, 2 règles à suivre : a) Les figures devront être réalisées en perspective cavalière : perspective classique perspective cavalière Conserve le parallélisme ? les distances ? les rapports de distances ? Conserve le parallélisme ? les distances ? les rapports de distances ? b) Les arêtes cachées devront être en pointillés : cf figures de la p171 2) Positions relatives de droites et de plans • Dans l'espace deux droites peuvent être : sécantes, parallèles, confondues ou non-coplanaires. • Deux plans peuvent être : sécants, parallèles, confondus. • Une droite peut être : sécante à un plan, parallèles à ce plan ou comprise dans ce plan. 3)Théorèmes et propriétés du plan Les théorèmes et propriétés vus dans le plan sont parfois faux dans l'espace (ex: 2 droites qui n'ont pas d'intersection ne sont pas forcément parallèles). En revanche, ils sont toujours valables dans un plan de l'espace (ex: dans un plan de l'espace, on peut toujours utiliser Thalès, Pythagore, …).

• positions relatives de droites et de plans


• plan de l'espace


• parallèles ?


• figures dessinées


• méthode propriété

Sujets

• Espace
• Thalès
• exercice
• cours
• exercices

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• Langue: Français

Extrait

2-cours-espace.doc

GEOMETRIE DANS L'ESPACE

I) PARALLELISME DANS L'ESPACE

1) Voir en 3D une figure faite en 2D

La difficulté principale de ce chapitre est de raisonner dans l'espace à partir de figures dessinées sur une feuille

de papier, c'est à dire sur un plan !

Pour nous y aider, 2 règles à suivre :

a) Les figures devront être réalisées en perspective cavalière :

perspective "classique"

perspective cavalière

Conserve le parallélisme ?

les distances ?

les rapports de distances ?

Conserve le parallélisme ?

les distances ?

les rapports de distances ?

b) Les arêtes cachées devront être en pointillés :

cf figures de la p171

2) Positions relatives de droites et de plans

•

Dans l'espace deux droites peuvent être : sécantes, parallèles, confondues ou non-coplanaires.

•

Deux plans peuvent être : sécants, parallèles, confondus.

•

Une droite peut être : sécante à un plan, parallèles à ce plan ou comprise dans ce plan.

3)Théorèmes et propriétés du plan

Les théorèmes et propriétés vus dans le plan sont parfois faux dans l'espace (ex: 2 droites qui n'ont pas

d'intersection ne sont pas forcément parallèles). En revanche, ils sont toujours valables dans un plan de l'espace

(ex: dans un plan de l'espace, on peut toujours utiliser Thalès, Pythagore, …).

p179: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13

2-cours-espace.doc

4) Quelques propriétés dans l'espace

•

Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un

coupe l'autre et les deux droites d'intersections sont

parallèles.

•

Règle du toit : Si deux plans sont sécants et qu'une

droite de l'un est parallèle à l'autre, alors elle est

parallèle à leur droite d'intersection.

•

Si deux droites sécantes d'un plan sont

respectivement parallèles à deux droites sécantes

d'un autre plan alors les deux plans sont parallèles.

5) Utilisation dans les exercices

Point méthode

Propriété

1) Pour trouver l'intersection d'une droite et d'un plan

→

On peut chercher l'intersection de cette droite

avec une droite du plan.

2) Pour trouver l'intersection de deux plans sécants

→

On peut chercher deux points distincts

appartenant à ces deux plans.

→

L'intersection de deux plans sécants est ....

3) Pour montrer que trois points sont alignés

→

On peut montrer qu'ils appartiennent à deux plans

distincts.

→

L'intersection ....

4) Pour montrer que deux droites sont parallèles

→

On peut chercher une troisième droite qui leur

soit parallèle.

→

Si deux droites sont parallèles ....

→

On peut montrer qu'elles sont coplanaires et

situées dans deux plans parallèles distincts.

→

Si deux plans sont parallèles ....

→

On peut utiliser la règle du toit.

→

Si deux plans sont sécants ....

→

On peut utiliser le théorème de Thalès ou le

théorème de la droite des milieux dans un plan de

l'espace.

5) Pour montrer que deux plans sont parallèles

→

On peut chercher deux droites sécantes de l'un qui

sont parallèles à deux droites sécantes de l'autre.

→

On peut chercher un troisième plan qui leur soit

parallèles.

→

Si deux plans sont ....

2-exo-espace.doc

p182: 23, 24, 27, 28, 29

p183: 30, 32, 34, 35

p188: 70 (avec Géospace)

2-cours-espace.doc

II) ORTHOGONALITE DANS L'ESPACE

1) Orthogonalité de deux droites

2 droites sont dites orthogonales lorsque l'une des parallèles à la 1

ère

coupe la 2

nde

perpendiculairement.

Ex: (AE) est orthogonale à (FG), (HF), (EF), …

Remarques :

•

"Perpendiculaire" est un cas particulier "d’orthogonal". (perpendiculaire = orthogonale + coplanaire)

•

2 droites orthogonales à une même 3

ème

ne sont pas nécessairement parallèles ! (même chose avec des droites

perpendiculaires).

Ex: (AE) est orthogonale à (EF) et à (HF) et pourtant (EF) et (HF) ne sont pas parallèles.

2) Orthogonalité d'une droite et d'un plan

Lorsqu'une droite est orthogonale à deux droites sécantes d'un plan, on dit qu'elle est orthogonale à ce plan.

Elle est alors orthogonale à toute droite de ce plan.

Δ

d'

d

3) Utilisation dans les exercices

Point méthode

Propriété

1) Pour montrer que deux droites sont orthogonales

→

On peut montrer que l'une est parallèle à une

droite perpendiculaire à l'autre

→

C'est la définition !

→

On peut montrer que l'une est orthogonale à un

plan contenant l'autre

→

Si une droite est orthogonale à …

2) Pour montrer qu'une droite est orthogonale à un

plan

→

On peut montrer qu'elle est orthogonale à deux

droites sécantes de ce plan.

→

C'est la définition !

A

B

C

D

E

F

G

H

p184: 37, 38, 40, 41

patrons :

p185: 45, 47