COURS : LONGUEURS &

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CHAPITRE 3 COURS : LONGUEURS & PÉRIMÈTRES Extrait du programme de la classe de Sixième : CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES Longueurs, masses, durées – Effectuer, pour les longueurs et les masses, des chan- gements d'unités de mesure. – Comparer des périmètres. – Calculer le périmètre d'un polygone. – Connaître et utiliser la formule donnant la longueur d'un cercle. Médiatrice d'un segment – Connaître et utiliser la définition de lamédiatrice ainsi que la caractérisation de ses points par la propriété d'équidistance.
  • appelé base
  • points par la propriété d'équidistance
  • ligne brisée
  • polygones
  • polygone
  • diagonale sommet
  • segment
  • segments
  • propriété
  • propriétés
  • longueur
  • longueurs
  • cercles
  • cercle
  • sommet
  • sommets
Publié le : mardi 27 mars 2012
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CHAPITRE3
COURS:LONGUEURS& PÉRIMÈTRES
ExtraitduprogrammedelaclassedeSixième:
CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES
Longueurs,masses,durées – Effectuer, pour les longueurs et les masses, des chan-
gementsd’unitésdemesure.
– Comparerdespérimètres.
– Calculerlepérimètred’unpolygone.
– Connaître et utiliser la formule donnant la longueur
d’uncercle.
Médiatriced’unsegment – Connaîtreetutiliserladéfinitiondelamédiatriceainsi
que la caractérisation de ses points par la propriété
d’équidistance.
– Utiliserdifférentesméthodespourtracerlamédiatrice
d’unsegment.
Cercle – Caractériserlespointsducercleparlefaitque:
– tout point qui appartient au cercle est à une même
distanceducentre;
– toutpointsituéàcettedistanceducentreappartient
aucercle.
– Construire, à la règle et au compas, un triangle
connaissantleslongueursdesescôtés.
1 Unitésdemesuredelongueurs
1.1 Autrefois...
Dansl’Antiquité,chaquepeupleavaitsonpropresystèmed’unitésdemesure:coudées,doigts,paumes,
pieds,stadespourlesGrecsoulesEgyptiens,maisaussipas,millespourlesRomains...
AuMoyenAge,lesunitésdemesurecourammentutiliséesenOccidentsontlepiedetlepouce(quivaut
undouzièmedepied).
Sous l’ancien régime, en France : pied-du-roi, lieue, arpent, perche, toise, canne, aune... les unités
utilisées étaient nombreuses, et de plus elles ne mesuraient pas forcément la même longueur selon la
régionoùsel’ontrouvait!
Aussi,àlafinduXVIIIèmesiècle,aprèslaRévolutionFrançaisede1789(etenparticuliersousl’impul-
siondel’Académiedes Sciences),ondécidedecréer uneunitédemesureuniverselle:lemètre,défini
alors comme la dix-millionièmepartie du quart de méridien terrestre. Des savants mettront plusieurs
annéesàmesurerprécisémentcequartdeméridien,etainsidonnernaissanceàcettenouvelleunitéde
mesure des longueurs, aujourd’hui à la base de ce que l’on appelle le systèmemétrique (comportant
desunitésdemasse(gramme),decapacité(litre),etc).
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1.2 Ailleurs...
PrincipalementauRoyaume-Uniet auxEtats-Unis,les unitésdemesuredelongueurusuellesnesont
pascellesdusystèmemétrique:lesanglo-saxonsutilisentlespouces(inchesenanglais;1pouceéqui-
vautà25,4mm),lespieds(feetenanglais;1piedestégalà12pouces,1piedéquivautdoncà30,48cm),
les yards (1 yard est égal à trois pieds, 1 yard équivaut donc à 0,9144 m) et les miles (1 mile est égal à
1609,344m).
Parailleurs,quelquespays conserventlocalementdes unitésqui leursontpropres,maisontpourl’es-
sentieladhéréausystèmemétrique.
1.3 Particularités
Enastronomie: les distances sont tellementgigantesquesqu’il a fallu inventerde nouvelles unitésde
mesure de longueurs.Citons par exemplel’année-lumière : c’est la distance parcouruepar la lumière
dans le vide en une année, soit environ 9461 milliards de kilomètres tout de même... Imaginez que
l’étoile la plus proche de notre Soleil est déjà située à plus de 4 années-lumière! On peut également
citerl’UnitéAstronomique(UA),quiestégaleàladistancemoyenneentrelaterreetleSoleil,soitenvi-
ron149,6millionsdekilomètres.
Enmatièredenavigationonutiliseégalementdes unitésdifférentes;citonsparexemplelemillema-
rin,quivautenviron1852m.
1.4 Lemètre,sesmultiplesetsous-multiples
Multiples Sous-multiples
kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètre
km hm dam m dm cm mm
1km=1000m 1hm=100m 1dam=10m 1dm=0,1m 1cm=0,01m 1mm=0,001m
Unexempledeconversion:124,65m=0,12465km=12465cm
2 Longueurd’unsegment,d’unelignebrisée
Notation :Lalongueurdusegment AB estnotéeAB.
A la règle graduée, on mesure AB ......... centimètres, ou encore
AB ......... pouces.A B
Définition Lemilieud’unsegment AB estlepointdusegment AB situéàégaledistancedesextré-
mités AetB.
J Le point I est sur AB et à égale distance de A et de B :
c’estlemilieude AB .
B Le point J est à égale distance de A et de B, mais il
A I B
n’estpassur AB :cen’estdoncpaslemilieude AB .
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b
Définition Unelignebriséeestunesuccessiondesegmentsconsécutifs,jointsparleursextrémités.
Pour déterminer la longueur d’une ligne brisée, on additionne entre elles les longueurs des segments
quilacomposent.Parexemple:
B
AB ......... cm
BC ......... cm
CD ......... cm
A
Si L désigne la longueur de cette ligne bri-D
sée,
C alorsonaL AB BC CD ......... cm.
3 Périmètred’unpolygone
Définition Unpolygoneestunefigureplanedélimitéeparunelignebriséefermée.Lesextrémitésdes
segments qui composentcette lignebriséesont alors appeléessommets du polygone, et les segments
eux-mêmessontappeléscôtés.
Sijamaisdeuxcôtéssecroisent(endehorsdessommets),onditquec’estunpolygonecroisé.
Unpolygonenoncroisé: Unpolygonecroisé:
C
B
sommet
A A
C
diagonale
DE DB
Définition Dansunpolygone,deuxsommetsquisesuiventsontditsconsécutifs.
Unsegmentquijointdeuxsommetsnonconsécutifsestunediagonaledecepolygone.
Les polygones (poly, plusieurs, et gones, angles en grec) portent des noms différents selon le nombre
deleurscôtés:
troiscôtés triangle quatrecôtés quadrilatère cinqcôtés pentagone
sixcôtés hexagone septcôtés heptagone huitcôtés octogone
neufcôtés enneagone dixcôtés décagone douzecôtés dodécagone
Définition Lepérimètred’unpolygoneestlalongueurdelalignebriséeferméequiledélimite.
B
Par exemple, le périmètre du quadrilatère dessiné ci-
4.8cmcontreestégalà
AP AB BC CD DA
2.7cm
P 4,8 2,7 3,5 1,6
1.6cmP 12,6cm.
3.5cm CD
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Polygonesparticuliers:
Letriangleéquilatéral Letriangleisocèle
A
C
a a
C B
aA B
C’est un triangle qui a deux de ses côtés de
même longueur. Le sommet dont partent lesC’estuntrianglequiasesquatrecôtésdemême
deux côtés de même longueur est appelé som-longueur: AB BC CA a;
met principal, et le côté opposé à ce sommetSonpérimètreP estalorsdonnéparP 3 a
principalestappelébase.
Ici, ABC est un triangle isocèle en A (sous-
entendu:desommetprincipal A),debase BC .
Lerectangle Lelosange
L C BB
a a
l l
A C
A D
L
a a
C’estunquadrilatèrequiaquatreanglesdroits.
Ses diagonales sont de la même longueur, et se D
coupentenleurmilieu.
C’est un quadrilatère qui a ses quatre côtés deSiL désignesalongueur,etl salargeur,
mêmelongueur: AB BC CD DA aalorssonpérimètreP estdonnépar
Ses diagonalesse coupent perpendiculairementP 2 L 2 l 2 L l .
enleurmilieu.
SonpérimètreP estdonnéparP 4 a.
Lecarré
aB C C’est un quadrilatèrequi a quatreangles droitset quatre
côtésdemêmelongueur(c’estdoncàlafoisunrectangle
etunlosange).
Ses diagonales sont de même longueur et se coupent
a a perpendiculairementenleurmilieu.
SonpérimètreP estdonnéparP 4 a.
A D
a
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4 Médiatriced’unsegment
Définition :Lamédiatriced’unsegmentestladroitequiestperpendiculaireàcesegmentetquipasse
parsonmilieu.
Constructiond’unemédiatriceàlarèglegraduéeetàl’équerre:
A A A A
I I I
B B B B
Propriété :SiunpointM estsituésurlamédiatricedusegment AB ,
alorsonestsûrquecepointM estàégaledistancedesextrémités A etB.
Propriété :SiunpointM estsituéàégaledistancedesextrémités A etB,
alorsonestsûrquecepointM estsurlamédiatricedusegment AB .
Constructiond’unemédiatriceàlarèglenongraduéeetaucompas:
Q
Q
A A A A
B B B B
P P
P
5 Lecercle
5.1 Généralités
Définition: Le cercleC de centre O de rayon R est l’ensemble des points situés à une distance du
pointO exactementégaleàR.
SoitC uncercledecentreO etderayonR
Propriété :SionaunpointM telqueladistanceOM soitexactementégaleàR,
alorsonestsûrquelepointM estsurlecercleC.
Propriété :SionaunpointM surlecercleC,
alorsonestsûrqueladistanceOM estexactementégaleàR.
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médiatricede AB
médiatricede ABr







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Œ
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VoicilecercleC decentreO etderayon4cm:c’est l’en- Définitions :
semble des points qui sont situés à exactement 4 cm du Un rayon du cercle est un segment
pointO : qui a pour extrémités le centre et un
point du cercle. Par exemple, OB est
unrayonducercleC
Une corde du cercle est un segment
A
qui a pour extrémités deux points du
cercle. Par exemple, AB est une corde
ducercleC.
Undiamètreducercleestunsegment
qui a pour extrémités deux points du
O cercle, et qui passe par le centre du
cercle.Lecentreducercleestalorslemi-
lieu de ce diamètre. Par exemple, AC
estundiamètreducercleC
UnarcdecercleBC estuneportionde
C cercle comprise entre les deux points B
etC ;B il y a deux arcs de cercle BC !!C
B (un"petit"etun"grand")BC
5.2 Longueurd’uncercle
Propriété : La longueur(oucirconférence) d’uncercle de rayon R est égaleà 2 π R , oùπ est un
nombreunpeu"spécial"(voirci-dessous)dontlavaleurestprochede3,14.
Par exemple, la longueur du cercleC de centre O et de rayon 4 cm représenté ci-dessus est égale à
2 π R 2 π 4 25,1cm
5.3 Lenombreπ
πestlenombrequis’obtientendivisantlalongueurd’uncerclequelconqueparsondiamètre.C’estun
nombreunpeumystérieux,etpourtoutdirefascinant:
25– LesBabyloniensprenaient 3,125commevaleurdeπ.8
256– LesEgyptiensavaientestiméquecenombreétaitégalà ,c’est-à-direenviron3,16.81
223 220– Plustard,Archimède,célèbresavantGrec,estimaqueπétaitcomprisentre 3,141et 3,143.71 70
ème ème– AuXV siècle,lemathématicienArabeAl-Kashicalcula14décimalesdeπ;AuXVII siècle,l’An-
glais John Machin fut le premier à calculer 100 décimales de π. Récemment, le Japonais Kanada a
calculégrâceàunénormeordinateurplusde1200000000000décimalesdeπ!
En fait, un petit poèmepermetde retenir les premières décimales deπ; dans ce poème, lenombrede
lettresdechaquemotdonneladécimalecorrespondante.Voyezplutôt:
Que j’ aime à faire apprendre ce nombre
3 1 4 1 5 9 2 6
utile aux sages. Immortel Archimède, artiste ingénieur ...
5 3 5 8 9 7 9
quinousdonneπ 3,14159265358979.
Enfait,cemystérieuxnombreπ estunnombrequel’on nepeutpas écriresous laformed’unnombre
décimaloud’unefraction:ilyauneinfinitédedécimales,etellesneprésententaucunerégularité;on
ditqueπestunnombreirrationnel.
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