Coursde Micro¶economie I V

Publié par

  • cours - matière potentielle : h
  • cours - matière potentielle : microeconomie iv
Cours de Microeconomie IV: Equilibre general Inspire du cours de H. Polemarchakis Mai 2003 Le theme central de ce cours est l'equilibre general, mais celui-ci va etre envisage en mettant un accent particulier sur l'economie du bien-etre. Table des matieres I Theorie classique de l'equilibre general 3 1 Theoremes fondamentaux 3 1.1 Cadre du modele . . . . . . . . . . . . . . .
  • pareto
  • cout en depensant
  • equilibre de marche
  • existence d'equilibres de marche
  • minimisation des couts
  • solution du programme
  • demonstration
  • theoreme
  • solutions
  • solution
  • prix
Publié le : lundi 26 mars 2012
Lecture(s) : 120
Source : normalesup.org
Nombre de pages : 25
Voir plus Voir moins

¶Cours de Micro¶economie IV: Equilibre g¶en¶eral
Inspir¶e du cours de H. Polemarchakis
Mai 2003
Le thµeme central de ce cours est l’¶equilibre g¶en¶eral, mais celui-ci va ^etre
envisag¶e en mettant un accent particulier sur l’¶economie du bien-^etre.
Table des matiµeres
I Th¶eorie classique de l’¶equilibre g¶en¶eral 3
1 Th¶eorµemes fondamentaux 3
1.1 Cadre du modµele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Pareto-optimalit¶e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 D¶eflnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Les deux th¶eorµemes de l’¶economie du bien-^etre . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Premier th¶eorµeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Second th¶eorµeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Extensions des th¶eorµemes 10
2.1 L’argument d’¶echanges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Le Paradoxe du transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Pr¶esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Formalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Politique ¶economique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Transferts optimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 D¶esagr¶egation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Le problµeme de l’agr¶egation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1 Le Problµeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2 La D¶emonstration de Debreu et ses suites . . . . . . . . . 15
2.4.3 Une D¶emonstration plus intuitive . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.4 G¶en¶eralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Universalit¶e des ¶echanges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
¶II Echecs de march¶e 20
¶3 Economies avec des externalit¶es 20
3.1 Taxe µa la vente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1µTABLE DES MATIERES 2
4 Incertitude et externalit¶es 23
4.1 Cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 March¶es conditionnels et contrats . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Incertitude et actifs flnanciers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4 Pareto-am¶eliorabilit¶e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Premiµere partie
Th¶eorie classique de l’¶equilibre
g¶en¶eral
1 Les deux th¶eorµemes de l’¶economie du bien-
^etre
1.1 Cadre du modµele
Soit une ¶economie compos¶ee de :
{ i2 J1;IK individus;
{ l2 J1;LK biens;
i i i i{ lesindividussontcaract¶eris¶esparleursfonctionsd’utilit¶eu = u (x ;:::;x )1 L
une fonction d’utilit¶e ordinale d¶eflnie sur tous les paniers de biens envisa-
i igeables pour i : x 2 (X );
{ une dotation initiale biens e = (e ;:::;e ).1 L
Cette description de l’¶economie recouvre deux hypothµeses de mod¶elisation :
Hypothµese 1.1. Il y a un nombre flni d’individus.
Hypothµese 1.2. Il y a un nombre flni de biens.
Ces deux hypothµeses sont importantes, car les preuves de plusieurs th¶eo-
rµemes dans ce qui suit tombent quand on considµere un nombre inflni de biens ou
d’individus. Or, l’hypothµese de flnitude des biens est trµes discutable si on consi-
dµeredesbiensdifi¶erenti¶esparleurlocalisationg¶eographiqueouleurdisponibilit¶e
dans le temps. Ces r¶eserves seront examin¶ees en seconde partie.
En revanche, on peut remarquer qu’on n’a fait aucune hypothµese sur la
maniµere dont la dotation initiale en biens est attribu¶ee. En particulier, on n’a
postul¶e aucune structure de propri¶et¶e.
1 I i~D¶eflnition1.1(Allocationr¶ealisable). UneallocationX = (x ;:::;x ),x 2
i(X) est un vecteur de longueur IL.
P iUne allocation est dite r¶ealisable si x = e
i
Remarque. Souvent, cette d¶eflnition est remplac¶ee par la formulation suivante :P
x 6 e. Cette derniµere implique qu’on peut librement et surtout sans cout^ sei
i
d¶ebarasser des biens dont on ne veut pas. Elle fait ¶egalement des hypothµese sur
la forme des fonctions d’utilit¶e.
Hypothµese 1.3. Il exite une allocation r¶ealisable.
Cette hypothµese signifle qu’il existe au moins une allocation telle que tous
les individus disposent du minimum vital. Sans elle, tout ce qui suit n’a pas
grand sens.¶ µ1 THEOREMES FONDAMENTAUX 4
1.2 Pareto-optimalit¶e
1.2.1 D¶eflnitions
~D¶eflnition1.2(Pareto-sup¶eriorit¶e). Uneallocation X estPareto-sup¶erieure
0~(on dit aussi Pareto-domine) une allocation X si :
i i i i08i;u (x ) > u (x )
j j j j09j;u (x ) > u (x )
On dit qu’elle est strictement Pareto-sup¶erieure si :
i i i i08i;u (x ) > u (x )
~D¶eflnition 1.3 (Pareto-optimalit¶e). L’allocation X est dite Pareto optimale
s’il n’existe pas d’allocation r¶ealisable qui lui soit Pareto sup¶erieure.
~L’allocation X est dite faiblement Pareto optimale s’il n’existe pas d’alloca-
tion r¶ealisable qui lui soit strictement Pareto sup¶erieure.
1.2.2 Existence
iTh¶eorµeme 1.1 (Existence d’une allocation Pareto-optimale). Si les u
sont continues sur l’ensemble F des allocations r¶ealisables, et si F est compact,
alors il existe une allocation Pareto-optimale.
La d¶emonstration de cette proposition repose sur le r¶esultat suivant :
Rappel. Si g est une fonction continue sur un compact C, alors elle est born¶ee
et atteint ses bornes sur C. En particulier, elle admet un maximum sur C.
Ainsi, faisons les hypothµeses suivantes :
iHypothµese 1.4. Les u sont continues sur F
iHypothµese 1.5. 8i;X est ferm¶e et born¶e par en bas.
Alors, on a le r¶esultat suivant :
Proposition 1.2. L’ensemble F des allocations r¶ealisables est un compact.
D¶emonstration. L’hypothµese (1.5) permet de dessiner F comme une bo^‡te
d’Edgeworth en dimension 2. En dimension I, la d¶emonstration est la m^eme.
On remarque que cette d¶emonstration tombe si I ou L sont inflnis.
On peut maintenant faire la d¶emonstration de l’existence d’une allocation
Pareto-optimale :
1 1Allocation faiblement Pareto-optimale. Je considµere max fu (xg,X2F
1dont je sais qu’il existe. Notons F ‰ F les solutions de ce problµeme. Comme
1 2 2
1F est aussi un compact, je peux consid¶erer max fu (xg. Par r¶ecurrence,X2F
j’obtiens une allocation faiblement Pareto-optimale.
Allocation strictement P On peut obtenir une alloca-
P
i i itionstrictementpareto-optimaleenr¶ealisantleprogrammesuivant:max f fi u (x )g,X2F i
i i j8i, fi > O. Si8i;fi > 0 et9j;fi > 0, on obtient une allocation faiblement
Pareto-optimale.
¶ µ1 THEOREMES FONDAMENTAUX 5
i ⁄~Th¶eorµeme 1.3. Si8i, u est concave, alors, pour toute allocation X Pareto-
1 I i j ⁄~optimale, il exite fi ;:::;fi ;fi > 0;9j;fi > 0 tels que X est solution de
P
i i imax f fi u (x )g.X2F i
iL’hypothµese de concavit¶e des u pose de nombreux problµemes. En efiet, les
fonctions d’utilit¶e sont cens¶ees n’^etre que des r¶esum¶es pour les fonctions de pr¶e-
f¶erence. Or, supposer la concavit¶e des fonctions d’utilit¶e revient non seulement µa
supposer la convexit¶e des fonctions de pr¶ef¶erence (ce qui est raisonnable), mais
aussi µa faire des hypothµeses trµes forte sur la maniµere dont les fonctions de pr¶ef¶e-
rence croissent (ce qui est non seulement arbitraire, mais aussi contraire µa l’id¶ee
que les fonctions de pr¶ef¶erence ne sont que des fonctions ordinales). Pour plus
de d¶etails, voir le th¶eorµeme de Sonnenschein.
1.3 Les deux th¶eorµemes de l’¶economie du bien-^etre
1.3.1 Premier th¶eorµeme
' “
i iMod¶elisons une ¶economie de march¶e :E = (u ;e );i2 J1;:::;LK .
Soit un vecteur-prix p = (p ;:::;p ). La valeur d’un panier de biens X est1 LP
alors pX = p x .l ll
¶D¶eflnition1.4(Equilibredemarch¶e). Un¶equilibredemarch¶eestuncouple
⁄ ⁄~(p ;X ) tel que :
P P⁄ i i~{ X est r¶ealisable ( x = e );i i
⁄ i ⁄ i{ 8i, i est solution de p x 6 p e .
Onremarquequelessolutionsindividuellesnesontpasn¶ecessairementuniques,
par exemple dans le cas ouµ la plus haute courbe d’utilit¶e est tangente µa la droite
de budget sur tout un segment. Le planiflcateur contral doit donc non seulement
d¶eterminer les prix d’¶equilibre, mais aussi discriminer entre les difi¶erentes solu-
tions pour parvenir µa un ¶equilibre qui puisse ^etre Pareto-optimal. L’¶equilibre de
march¶e n’est donc pas aussi d¶ecentralisable que certains aiment µa le dire.
Th¶eorµeme 1.4 (Premier th¶eorµeme de l’¶economie du bien-^etre). Une
⁄~allocation X r¶esultant d’un ¶equilibre de march¶e est faiblement Pareto-optimale.
0~D¶emonstration.Supposonsparl’absurdequeX estun¶equilibredemarch¶e
tel que :
0~{ X est r¶ealisable;
i i0 i0 i⁄{ 8i;u (x ) > u (x ).
Alors, pour chaque individu i,
i⁄ i i ⁄ i ⁄ i{ x estsolutionduprogrammemax(u (x ))souslacontrainte p x 6 p e ;
i i0 i i⁄{ u (x ) > u (x ).
⁄ i0 ⁄ iDonc p x > p e .
P P
⁄ i0 ⁄ i 0~Alors, p x > p e , ce qui implique que X n’est pas r¶ealisable.i i
Contradiction.
Remarque. Ce th¶eorµeme semble trµes fort, car il ne demande aucune hypothµese
particuliµere. En fait, ce r¶esultat est conditionn¶e par l’existence d’¶equilibres de
march¶e,quiellerequiertdeshypothµesestrµesfortessurlastructuredel’¶economie
consid¶er¶ee.6
6
¶ µ1 THEOREMES FONDAMENTAUX 6
Le th¶eorµeme dit que les allocations de march¶e sont seulement faiblement
Pareto-optimales. En efiet, si un agent a une zone d’indifi¶erence qui recouvre
l’¶equilibre de march¶e, il peut ^etre possible de se d¶eplacer dans cette zone d’in-
difi¶erence pour am¶eliorer la situation d’autres agents sans d¶egrader la sienne, et
donc aboutir µa une allocation Pareto-sup¶erieure µa l’¶equilibre de march¶e.
i iD¶eflnition 1.5 (Non-saturation locale). On dit que u d¶eflnie sur (X )
v¶erifle la non-saturation locale si :
i8x2 (X );8† > 0;
0 i i 0 i 09x 2 (X );u (x ) > u (x) etkx ¡xk < †
Proposition1.5. Sous l’hypothµese de non-saturation locale des fonctions d’uti-
lit¶e, le programme primal du consommateur est ¶equivalent aµ son programme
dual, c’est- a-dire que la maximisation de l’utilit¶e sous contrainte de budget est
¶equivalente aµ la minimisation des d¶epenses sous contrainte d’utilit¶e.
D¶emonstration. Supposons que X soit solution de max(u(X)) sous la
contrainte pX 6 pe.
0 i 0 i 0Supposons :9X ;u (X ) > u (X);pX < pX. La non-saturation locale nous
i i 0 ie e edit quekX¡Xk < †) pX 6 pX. Or, u (X) > u (X ) > u (X). Contradiction.
Th¶eorµeme 1.6. Si chaque individu v¶erifle la non-saturation locale, alors une
allocation r¶esultant d’un ¶equilibre de march¶e est Pareto-optimale.
⁄ ⁄~D¶emonstration. Soit (p ;X ) une allocation de march¶e.
⁄ 0~ ~Supposons que X ne soit pas Pareto-optimale. Alors, il existe X r¶ealisable
telle que :
i i0 i i⁄8i;u (X ) > u (X )
j j0 j j⁄9j;u (X ) > u (X )
i i0 i i⁄Pour simplifler la d¶emonstration, on pose j = 2, et8i = 2, u (X ) = u (X ).
Alors, selon le m^eme argument que dans la d¶emonstration du premier th¶eorµeme,
⁄ 20 ⁄ 2 ⁄ i0 ⁄ ip X > p e (parmaximisationdeu)et8i = 2,p X > p e (parminimisation
P P
⁄ i0 ⁄ idesd¶epensessousl’hypothµesedenon-saturation).Ansi,ona p X > p e
0~et donc X n’est pas r¶ealisable. Contradiction.
1.3.2 Second th¶eorµeme
Th¶eorµeme 1.7 (Second th¶eorµeme de l’¶economie du bien-^etre). Soit une
i i i¶economie :E =fu , i2 J1;IK, (X ) convexe, u quasi-concave, v¶eriflant la non-
⁄~saturation locale, continueg. Soit une allocation X faiblement Pareto-optimale.
⁄ i⁄ ⁄~Alors, il existe un couple (p ;¿ ) tel que X soit solution du programme :
i i⁄maxfu (X)g sous la contrainte pX 6 ¿ .
D¶emonstration. La d¶emonstration de ce th¶eorµeme repose sur la possibilit¶e
de trouver entre deux convexes d’int¶erieur non vide qui ont au plus un point
commun un hyperplan qui les s¶epare. On va d’abord prouver le lemme suivant :
iLemme1. Si8i, u estquasi-concave,non-satur¶eelocalement,continue,alorsil
⁄ ⁄ iexiste p qui soit solution du programme : min(p X) sous la contrainte u (X) >
i i⁄u (X ).6
6
6
¶ µ1 THEOREMES FONDAMENTAUX 7
n oP
i i i i⁄ i~Soit C = f;9X;u (X ) > u (X ); X = fi
P
iRemarque. La dotation globale de la soci¶et¶e e = e n’appartient pas µa C.i
Sinon, X ne serait pas Pareto-optimal.
i iSi8i, u estquasi-concave, C estconvexe.Siles u v¶eriflentla non-saturation
ilocale, C n’est pas vide. Sous les trois conditions sur les U , C est un ouvert
convexe non-vide.
Par ailleurs, la non-saturation locale implique que e est sur la frontiµere de
C.
⁄Le th¶eorµeme de s¶eparation des convexes implique qu’il existe p = 0 tel que
⁄ ⁄8f2 C, p f > p e.
i⁄ ⁄ i⁄ h hSoitdonc¿ = p X .Supposonsqu’ilexisteunindividuhtelqueu (X ) >
h h⁄u (X ). Consid¶erons alors les suites d’allocations telles que
i i i i⁄u (X ) > u (X )n
h h h h h h⁄u (X > u (X ) > u (X )n
P i hSoit f = X +X . D’aprµes ce qui pr¶ecµede, f 2 C. Alors :n ni=h n n
⁄ ⁄ ⁄ ⁄f 2 C) p f > p e) p f > p en n
ouµ f = lim f . On a donc :n!+1 n
X X
⁄ i⁄ ⁄ h ⁄ ⁄ i⁄p X +p X > p e = p X
i=h i
⁄ h ⁄ h⁄ h⁄Finalement : p X > p X > ¿ , ce qui achµeve de d¶emontrer le lemme (1).
Le lemme ¶equivaut µa :
⁄ i i i i⁄ ⁄ i ⁄ i⁄9p ;u (X ) > u (X )) p X > p X
i ⁄ i⁄ i⁄Mais nous voulons maxfu (X)g;pX > p X = ¿ . Nous avons donc besoin
d’une condition telle que la minimisation des d¶epenses sous contrainte d’uti-
lit¶e implique la maximisation de l’utilit¶e. Or, cette implication est trivialement
fausse si le prix d’un bien est 0.
1
U
X*
2
p*
Fig. 1 { Un contre-exemple simple
Exemple (Contre-exemple). Dans la flgure 1, l’agent n’aime que le bien 2
(appellons-le le caviar), mais s’il n’a pas assez de ressources, il doit consommer
⁄du bien 1 (mettons des rutabagas) pour survivre. X est alors solution d’un
programme de minimisation du cout,^ mais pas de maximisation de l’utilit¶e sous
contraintes de ressources.¶ µ1 THEOREMES FONDAMENTAUX 8
Ces deux exemples nous suggµerent le lemme :
⁄ i⁄ ⁄Lemme 2. Si p X > min p x, alors la minimisation du cout^ implique la
ix2X
maximisation de l’utilit¶e.
µA ce point, on peut se demander s’il n’existe pas une preuve plus directe
de ce th¶eorµeme. Il n’en existe pas, et toutes ces conditions sont n¶ecessaires.
Historiquement, Arrow et Debreu avaient s¶epar¶ement entrepris de le d¶emontrer.
Quand ils s’en sont rendus compte, ils ont fusionn¶e leurs deux articles, chacun
corrigeant au passage une erreur commise par l’autre. Voici une illustration de
celle commise par Debreu :
2
X*
A
1
p*
Fig. 2 { L’Erreur de Debreu
Exemple (Contre-exemple). Dans la flgure 2, 1 ne conna^‡t pas la taille de la
bo^‡te d’Edgeworth, puisque ses seules informations sont ses dotations initiales
⁄et le systµeme de prix. Aux pris p , il va donc vouloir se rendre en A, ce qui n’est
pas une allocation r¶ealisable. Les systµeme de prix repr¶esent¶e par toute droite de
pente n¶egative conduit au m^eme r¶esultat : il n’y a pas d’¶equilibre convenable.
Le seul ¶equilibre possible est avec une droite des prix verticale. Mais alors, 2
veut aller µa l’inflni, puisqu’il peut inflniment augmenter son utilit¶e sans cout,^
donc tout point de l’axe est solution de la minimisation des couts.^ L’¶equilibre
⁄X est donc encore un exemple de minimisation de la d¶epense qui n’est pas une
maximisation de l’utilit¶e.
On pourrait penser que ces cas pathologiques n’adviendraient pas si on de-
⁄mandait µa X d’^etre Pareto-optimal au sens fort. C’est malheureusement faux,
comme le montre la flgure 3. Comme la courbe d’iso-utilit¶e de 1 admet une
2
X*
1 p*
Fig. 3 { Encore plus subtil¶ µ1 THEOREMES FONDAMENTAUX 9
⁄tangente inflnie en X , celui-ci est Pareto-optimal au sens fort sans jamais ^etre
r¶esultat de la maximisation de l’utilit¶e de 1, sauf dans le cas ouµ la droite de
budget est verticale. Mais alors, c’est 2 qui va vouloir partir µa l’inflni, comme
dans le cas pr¶ec¶edent.
On ne peut donc pas se d¶ebarasser de la condition du lemme 2. Or, cette
condition est g^enante : elle met en jeu les prix, et le modµele ne nous dit rien
sur le systµeme de prix qui va ¶emerger des interactions de march¶e. On pourrait
essayer alors d’¶eviter tous les problµemes en se cantonnant aux cas ouµ il existe
i⁄ ibien un ¶equilibre int¶erieur, c’est- a-dire X appartient µa l’int¶erieur de X pout
tout i.Maiscettehypothµeseestcompl^etementirrecevable:ilexistebeaucoupde
biens que nous consommons en quantit¶e nulle, et qui ne nous apportent aucune
utilit¶e (exemple : du Viagra pour une femme). C’est d’autant plus vrai si nous
consid¶erons des biens localis¶es dans l’espace et le temps (que nous importe le
prix du canard laqu¶e µa Canton en 2150?).
Ce problµeme du choix de la bonne hypothµese µa faire µa n¶ecessit¶e dix ans de
recherche. Il a flnalement ¶et¶e r¶esolu par la m¶ethode suivante.
¶D¶eflnition 1.6 (Economie de ressources ( Ressource-Related Eco-
nomy)). Une ¶economie de ressources est une ¶economie telle qu’¶etant donn¶ee
⁄~une allocation r¶ealisable X , pour toute partition non trivialefI ;Ig de l’en-1 2
semble I des individus, je peux am¶eliorer strictement la situation des membres
de I en cr¶eant n’importe quelle quantit¶e positive d’un bien que consomme le1
groupe I .2
Proposition 1.8. Dans une ¶economie de ressources, il ne peut pas y avoir
de situation ouµ un agent a aµ la fois des dotations strictement positives et des
d¶epenses nulles.
D¶emonstration.Soitune¶economiederessources,eteunedotationagr¶eg¶ee.
⁄Comme les prix sont positifs, p e > 0. il existe donc un individu, appelons-le 1,
qui a une d¶epense non nulle. Cet individu efiectue donc une maximisation de
son utilit¶e puisqu’il efiectue une minimisation des couts^ en un point int¶erieur.
Supposons maintenant qu’il existe 2 tel que 2 ait une d¶epense nulle pour le
⁄vecteur de prix p et une dotation strictement positive. Alors, 2 consomme d’au
moins un bien. Mais comme sa d¶epense est nulle, ce bien a donc un prix nul.
Commeils’agitd’une¶economiederessources,uneplusgrandeconsommationde
cebienam¶elioreraitl’utilit¶ede1.commeleprixestnul,ilpeutendemanderune
quantit¶einflniepouruncout^ nul,cequimaximisesonutilit¶e.Ilneminimisedonc
pas son cout^ en d¶epensant quoi que ce soit pour d’autres biens. Il ne maximise
donc pas son utilit¶e. Contradiction. Il n’existe donc pas, dans une ¶economie
de ressources, d’agent ayant une d¶epense nulle avec des dotations strictement
positives.
Avec cette hypothµese, la preuve du th¶eorµeme est donc r¶ealisable.
Cette longue d¶emonstration nous montre que le problµeme, laiss¶e pendant,
de l’existence d’¶equilibres de march¶e est complexe. En efiet, les conditions pour de tels ¶ sont peu ou prou les m^emes que celles du second
th¶eorµeme. Le plus souvent, les manuels passent sur ces di–cult¶es en proposant
la d¶emonstration suivante.
Seconde d¶emonstration du th¶eorµeme 1.7.
⁄~Soit X une allocation Pareto-optimale.¶ µ2 EXTENSIONS DES THEOREMES 10
L’id¶ee est qu’il su–t de voir ce qui se passe quand on donne redistribue les
⁄ ⁄~biens de maniµere µa ce que la dotation initiale ~e soit ¶egale µa X . Soit alors p
„les prix d’¶equilibre de march¶e. Supposons que X soit solution du programme
i ⁄ ⁄ imax(u (X))souslacontraintep X 6 p e .Pard¶eflnition,touteslessolutionsde
i i i„ „ceprogrammedonnentlem^emeniveaud’utilit¶e,u (X) > u (e ).Soitdonc(p;X)
i i i i i⁄„un ¶equilibre de march¶e pour la dotation e. Comme u (X) > u (e ) = u (X ),
⁄ i i i i⁄ ⁄„et que X est un optimum de Pareto,8i2 I;u (X ) = u (X ). X , et donc e,
est donc une solution du programme ci-dessus. Ce r¶esultat est parfois qualifl¶e
d’argument des pr¶ef¶erences r¶ev¶el¶ees.
Ouµ est l’astuce? Elle r¶eside dans l’hypothµese d’existence de prix d’¶equilibre
de march¶e. On voit donc bien µa quel point cette condition est proche de celles
d’application du Second th¶eorµeme.
Voici une id¶ee de la d¶emonstration de l’existence de ces prix.
i iD¶emonstration. Soit une ¶economie d¶ecrite par (u ;e ), et le programme
i i i imax(u (X )) sous la contrainte pX 6 pe . La solution de ce est
iune fonction X (p). On laissera d¶elib¶er¶ement de c^ot¶e le problµeme de savoir si
c’est bien une fonction. Il su–t de dire que c’est vrai si la condition d¶eflnit
un ensemble compact, ce qui revient µa supposer que les prix sont strictement
positifs et que les fonctions d’utilit¶e sont strictement quasi-concaves.
i i i aSoitalors Z = X (p)¡e lafonctiondedemandenette,et Z (p)lademande
⁄nette agr¶eg¶ee. Un ¶equilibre de march¶e est alors un vecteur de prix p tel que
a ⁄Z (p ) = 0. Cette relation ne me fournit en fait que L¡1 ¶equations, puisque
aZ (p)doit^etrehomogµenededegr¶eun.MaislaloideWalrasmedonnel’¶equation
amanquante. Je ne suis pas pour autant assur¶e que le systµeme est soluble :Z n’a
aucune raison particuliµere d’^etre lin¶eaire en p.
L¡1Ilfautdoncavoirrecoursauraisonnementsuivant:soitp2 ¢ unvecteur
L¡1de prix, ¢ ¶etant le simplexe de dimension L¡ 1 des vecteurs dont toutes
ales composantes sont positives et de somme ¶egale µa 1, et y une allocation
appartenant µa un compact de dimension L. On construit alors la fonction F :
0 0 0 a(p;y) ! (p ;y ) avec y = Z (p) la demande globale agr¶eg¶ee aux prix p, et
0p = argmax(py). Comme F est une correspondance bien d¶eflnie d’un compact
dans un autre, elle admet un point flxe, et ce point flxe est un ¶equilibre de
march¶e.
⁄ ⁄On remarque qu’au point flxe, y = 0. En efiet, au point flxe, y n’a que des
⁄¶el¶ements nuls ou n¶egatifs. Pour tout les ¶el¶ements strictements n¶egatifs, p = 0.
⁄ ⁄On a alors bien un point tel que p y = 0, ce qui caract¶erise un ¶equilibre de
march¶e.
Implicitement, nous avons ici utilis¶e le th¶eorµeme du point flxe, qui a pour
hypothµese la convexit¶e de la fonction de correspondance F, propri¶et¶e qui revient
µa supposer la convexit¶e des pr¶ef¶erences.
2 Extensions des th¶eorµemes
2.1 L’argument d’¶echanges
On voit souvent les deux th¶eorµemes de l’¶economie du bien-^etre utilis¶es en
commerce international pour soutenir le libre ¶echange.

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.