Definitions et exemples Operations elementaires Rang d'un systeme lineaire Annexe

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Definitions et exemples Operations elementaires Rang d'un systeme lineaire Annexe Systemes lineaires homogenes Juin 2008

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Publié le : dimanche 1 juin 2008
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De nitions et exemples Operations elementaires Rang d’un systeme lineaire Annexe
Systemes lineaires homogenes
Juin 2008De nitions et exemples Operations elementaires Rang d’un systeme lineaire Annexe
Plan du chapitre
1 De nitions et exemples
2 Operations elementaires
3 Rang d’un systeme lineaire
Independance lineaire
Rang
Degres de liberte
4 AnnexeDe nitions et exemples Operations elementaires Rang d’un systeme lineaire Annexe
Plan du chapitre
1 De nitions et exemples
2 Operations elementaires
3 Rang d’un systeme lineaire
Independance lineaire
Rang
Degres de liberte
4 AnnexeDe nitions et exemples Operations elementaires Rang d’un systeme lineaire Annexe
1. De nitions et exemples
Une equation est une \egalite" entre deux quantites qui
comportent des inconnues. Resoudre une equation, c’est trouver les
valeurs qu’on peut donner aux inconnues pour rendre l’\egalite"
vraie.
Exemples :
3x + 5 = 0 d’inconnue le reel x.
2x + x = 1 le reel x.
10x y = 3 d’inconnues les reels x et y.
0 2f + 3f = 0 d’inconnue la fonction f .
~ ~~a^~x = b le vecteur de l’espace~x, et ou~a et b
sont des vecteurs donnes.De m^eme, l’equation 10x y = 3 s’ecrit g(x; y) = 3, ou g est une
fonction de deux variables reelles :
g : (x; y)7! 10x y. Resoudre l’equation, c’est trouver les valeurs
de x et y telles que g(x; y) = 3.
De nitions et exemples Operations elementaires Rang d’un systeme lineaire Annexe
1. De nitions et exemples
2Regardons l’equation x + x = 1. On peut l’ecrire f (x) = 1, ou
2f : x7! x + x. Resoudre l’equation, c’est donc trouver les valeurs
de x telles que f (x) = 1.De nitions et exemples Operations elementaires Rang d’un systeme lineaire Annexe
1. De nitions et exemples
2Regardons l’equation x + x = 1. On peut l’ecrire f (x) = 1, ou
2f : x7! x + x. Resoudre l’equation, c’est donc trouver les valeurs
de x telles que f (x) = 1.
De m^eme, l’equation 10x y = 3 s’ecrit g(x; y) = 3, ou g est une
fonction de deux variables reelles :
g : (x; y)7! 10x y. Resoudre l’equation, c’est trouver les valeurs
de x et y telles que g(x; y) = 3.De nitions et exemples Operations elementaires Rang d’un systeme lineaire Annexe
1. De nitions et exemples
Mais au fait, comment de nir une equation ?
Une equation est la donnee de deux applications f et g ayant
m^eme source et m^eme but B. On ecrit une equation sous la
forme symbolique f = g.
2Par exemple, soit f : x2R7! x 5x et g : x2R7! 3.
L’equation f = g est l’equation qu’on note usuellement
2x 5x = 3.
Une solution est un element s de l’ensemble source telles que
f (s) = g(s). L’ensemble des solutions de l’equation est l’ensemble
fs2 j f (s) = g(s)g. Resoudre l’equation, c’est calculer
l’ensemble des solutions.De nitions et exemples Operations elementaires Rang d’un systeme lineaire Annexe
1. De nitions et exemples
Remarque : Il y a des equations qui admettent un nombre ni de
2solutions qu’on peut calculer une a une (exemple : x x 2 = 0
de 2 et 1).De nitions et exemples Operations elementaires Rang d’un systeme lineaire Annexe
1. De nitions et exemples
Mais il arrive aussi qu’une equation admette une in nite de
solutions, par exemple l’ x + y = 1 qui est une equation
de droite : les solutions sont tous les couples (x; y) qui sont sur
cette droite.
A defaut de pouvoir calculer les solutions une a une, on peut
donner une description complete des couples qui sont solutions : ce
sont les couples (x; y) tels que x + y = 1, donc tels que y = 1 x.
Ainsi, l’ensemble des solutions estf(x; 1 x) j x2Rg.De nitions et exemples Operations elementaires Rang d’un systeme lineaire Annexe
1. De nitions et exemples
Arr^etons-nous un instant sur l’ecriture de l’ensemble des solutions
de cette derniere equation.

2C’est, par de nition, (x; y)2R j x + y = 1 . Mais, en
examinant la condition x + y = 1, nous avons ecrit que c’est
f(x; 1 x) j x2Rg. Cette derniere ecriture est plus explicite que
la premiere, car elle nous donne la forme des solutions : ce sont
tous les couples (x; 1 x), lorsque x parcourtR. En revanche, la
premiere ecriture dit seulement que les solutions sont tous les
couples tels que x + y = 1.
Resoudre l’equation a donc permis d’expliciter l’ensemble des
solutions.
Se reporter a l’annexe pour plus de details sur la description
d’ensembles.

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