Dérivation (obligatoire) Cours 4

De
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Travaillez les devoirs et les activités 2007/2008 pour la classe de première ES.
Publié le : lundi 1 janvier 2007
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1ere ES2
f I x a I
f(x)−f(a) ′f a lim f (a)
x → a x−a
...........................
f(a+h)−f(a)′f a f (a) = lim
h → 0 h
Cf
f
′A(a,f(a)) f (a)
′f (a)
Cf
a
f a Cf
a
...........................
est
1
.
ation
cien
D?riv
.
ation
1
D?riv
deux
4
Soit
Cours
noter
.
en
Exemple
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1
la
La
oin
fonction
de

d?riv
est
tangen
d?riv
t
able
p
en
D?nition
2.
?
2
si
In

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1
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note
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en

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p
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un
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t
On
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p
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oin
p
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t

bres
nom
Propri?t?
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Equation

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?
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D?nition
fonction
Soit
able
une
t
fonction
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1
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le
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:
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on
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Remarque
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Nom
.
d?riv
Consid?rons
La
et
est
repr?sen
d?riv
te
en
le
existe.

.
Sif I
′x I f (x)
′ ′x −→f (x) I f
f I
x −→k
k f f(x) = k R
.....................

:
en
.
.
Nous
fonction
a
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v
sur
ons
d?riv
alors
2
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Soit
la
p
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in

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d?riv
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bre
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nom
te
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un
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un
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sur
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p
.
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On
Soit
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F
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?e

Preuv
Propri?t?
3
D?riv
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e
?
2
asso
fonction
.
bre
eut
F
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bre
de
alors
nom
fonction
sur
d?nie
tout
On
.
de
Exemple
terv
2
est
Calcul
able
de
d'un
la
:
fonction
oin
d?riv
tout
?e
able
de
fonction
la
fonctions
fonction
?e.


3.1
2
D?riv
usuelles
?e
d?riv
?e
Preuv
:
:

lanx −→x
nx −→x
nn f f(x) = x f
R
..............................
1
x −→
nx
1
n f f(x) = f
nx
]−∞;0[ ]0;+∞[
..............................

x −→ x

x −→ x

+ ∗f R f(x) = x f R+
..............................
n
sur
sur
et
?e
sur
able
able
fonction
d?riv
3
est
Alors
et
par
fonction
:
en
tier
par
3
d?nie
Propri?t?
fonction
:
la
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et
est
ul,
Alors
n
:
non
et
naturel
naturel
tier
Soit
en
n
Exemple
?e
4
fonction
3.3
3.2
D?riv
par
?e
Exemple
de
et
un
able
Soit
.
naturel.
est
tier
d?riv
en
sur
Propri?t?
.
5
et
D?riv
d?nie
?e
la
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n
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,
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un
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naturel.
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en
.
,
Soit
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D?riv
D?riv
la
Propri?t?
fonction
d'une
d?nie
D?riv
sur
4
.
3
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I
u+v
u+v I
I
..............................
ku k
k ku I
..............................
u×v
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..............................
et
alors
Dans
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La
fonction
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in
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fonction
est
La
d?riv
able
able
fonctions
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?e
d?riv
de
est
de
:
Propri?t?
fonctions
pro
alle
est
terv
notations
in
t
bre
sur
r?el,
alle
4.1
nom
Propri?t?
un
:
un
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Soit
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7
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Propri?t?

7
8
4
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v
les
a
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,
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Op
et
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d?signen
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deux
?e
d?nies
D?riv
un
4.2
terv
5
.
Exemple
D?riv
sur
de
les
6
fonctions
somme
d?riv
et
Exemple
sur
6
d?riv
4.3
une
D?riv
deux
Exemple
est
4
r?el1
v
v I
1
x I ............... I
v
..............................
u
v
v I
u
x I ............... I
v
..............................
nu
nn u
I
..............................
fonction
.
est
On

a
en
alors
et
que
,
la
11
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n
4.4
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10
n
est
p
D?riv
alors
,
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supp
sur
ose
tout
naturel
et
alors
:
la
our
sur
p
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dire
dire
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tout

On
,
la
?e
:
sur
On
ulle
Propri?t?
n
Soit
non
un
est
tier
de
non
fonction
ul,
la
la
que
que
ose
est
supp
able
On
fonction
10
:
Propri?t?
non
Propri?t?
ulle
9
,
de
?
?e
que
D?riv
our
4.5
dans
8
.
Exemple
a
Exemple
que
9
fonction
4.6
d?riv
D?riv
et
?e
sur
de
d?riv
Exemple
able
5
dansn v
1
I I
nv
..............................

u

u I u I
..............................
naturel
?e
alors
de
plus
able
Soit
:
On
Propri?t?
est
13
d?riv
On
en
supp
n
ose
ose
et
la
D?riv
n
sur
4.7
fonction
Utilisation
12
la
un
d?riv
tier
sur
non
11
ul.
,
supp
alors
de
sur
que
?e
fonction
est
non
d?riv
ulle
able
,
sur
la
Propri?t?
est
et
:
12
Exemple

5
t
de
p
fonction
ositiv
e
6
Exemplef I
′◦ f I ...........................
′◦ f I ...........................
′◦ f I ...........................
′f
..........................................................................................
..........................................................................................
e)
n?gativ
?e
est
e
ulle
13
v
e
t
est

p
Th?or?me
ositiv
sens
e
Soit
sur
t
alors
ectiv
Lorsque
p
une
alors
fonction
est
Lorsque
d?riv
2
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Remarque
de
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ariation.
able
alors
sur
n?gativ
un

in
emen
terv
(resp
alle
ositiv
.
t
Lorsque
est
la
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de
n
Signe
1
alors
Exemple
sur
7
Lorsque′ u vf(x) f (x)
I
′ ′ ′(u+v) = u +vk 0 R
′ ′(ku) = ku kmx+p m R
′ ′ ′(u×v) = u ×v +u×v2x 2x R
2 ′ ′
n ∗ n−1 (u ) = 2uux (n∈N ) nx R
n ′ ′ n−1(u ) = nuu
1 −1 ′−∞,0 0,+∞
2 1 −vx x = v I
2v v
1 −n∗(n∈N ) −∞,0 0,+∞
n n+1 ′ ′′x x u uv−uv
= v I
2v v
√ 1
√x 0,+∞
′2 x √ u
′ √( u) =
2 u

te
sur

s'ann
une
[
est
te)
(
alle
sur
ulaire
8
ou
r?elle)

[
fonctions
(constan
des
pas
t
terv
son

et
F
ables

d?riv
[
fonctions
[
(
ou
les

ne
(
s'ann
ne
ule
ule
pas
sur
sur
)
sur
l'in
)
usuelles
?rations
F
Op
orm
[
6

d?riv
ables

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