DETERMINATION DE LA PARTIE RADIALE R r DE LA FONCTION D'ONDE

De
Publié par

1 CHAPITRE V DETERMINATION DE LA PARTIE RADIALE R(r) DE LA FONCTION D'ONDE Christian Ducauze et Hervé This 1 - L'ELECTRON DANS UN CHAMP A SYMETRIE SPHERIQUE L'énergie potentielle d'un électron dans un champ à symétrie sphérique s'exprime sous la forme : V (x,y,z) = V(r). De ce fait, l'hamiltonien est: 1 2 H V( r )= ? ∆+ , avec un laplacien 2 22 2 1 r r Mr r ∆ = ∂ + ∂ ? . L'équation de Schrödinger d'un tel système s'écrit alors : 1 2 ,m ,m ,m V( r ). E .? ? ?? ∆ + =l l l avec 21m m im,m cosR( r )sin d ( cos ) e ? ?? ? ?+= ?l ll Les fonctions ainsi que rf ( r ) ∂ commutent avec P et les opérateurs de moments cinétiques, en particulier les opérateurs de quantité de mouvement et de spin. Le laplacien∆ commute avec P , avec les opérateurs de moment d'impulsion et de moment de spin, mais pas avec et rf ( r ) ∂ Donc H commute avec les opérateurs de parité, de moment cinétique et de moment de spin. En conséquence, il existe un ensemble de fonctions propres communes à 2 2 etz z H ,P,M ,M ,S S sur lesquelles on peut construire un ensemble orthonormé de vecteurs de base pour l'espace de Hilbert

  • énergie d'interaction spin

  • orbite

  • electron

  • mouvement de l'électron unique de l'atome d'hydrogène

  • opérateurs de moments cinétiques

  • opérateurs de moment d'impulsion et de moment de spin

  • ?? ??


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 160
Tags :
Source : agroparistech.fr
Nombre de pages : 6
Voir plus Voir moins
CHAPITRE V DETERMINATION DE LA PARTIE RADIALER(r)DE LA FONCTION DONDE
Christian Ducauze et Hervé This
1 - LELECTRON DANS UN CHAMP A SYMETRIE SPHERIQUE Lénergie potentielle dun électron dans un champ à symétrie sphérique sexprime sous la
forme :V (x,y,z) = V(r).
De ce fait, lhamiltonien est:
1 H= −2∆ + )V ( r,
avec un laplacien∆ = ∂r2+2r12 r r
2 .
Léquation de Schrödinger dun tel système sécrit alors :12
avecl,m=R( r ) sinmθdclo+smθ(1cos2θ)leim
l,m+ ).V ( rψl,m=E .ψl,m
Les fonctionsf ( r )ainsi quercommutent avecPet les opérateurs de moments cinétiques,
en particulier les opérateurs de quantité de mouvement et de spin. Le laplaciencommute avecP, avec les opérateurs de moment dimpulsion et de moment de spin, mais pas avecf ( r )etr
DoncHcommute avec les opérateurs de parité, de moment cinétique et de moment de spin.
En conséquence, il existe un ensemble de fonctions propres communes       àH ,P,M2,Mz,S2etSzsur lesquelles on peut construire un ensemble orthonormé de vecteurs
de base pour lespace de Hilbert. La base complète est constituée de vecteurs
V=E ,l,m,m,ms étant le nombre quantique de spin, ce qui équivaut, dans la
représentation de Schrödinger, à un ensemble de fonctions de la forme
l,mαetψl,mβ.
1
Remarque : Tout ceci reste vrai tant que lon ne fait pas intervenir lénergie dinteraction spin-
orbite, cest-à-dire siHest bien, comme on la exprimé précédemment :H= −12∆ + )V ( r
Cette
approximation
est
valable
puisque,
pour
la
raie
D
du
sodium
à
=20000cm1,∆ν =17cm1on a,, ce qui veut dire que lénergie dinteraction spin-orbite est
plus de mille (17/20000) fois plus faible que lénergie de transition entre deux orbitales.
Pour déterminer la partie radiale de la fonction donde, on va chercher à résoudre léquation
de Schrödinger, comme dans le tableau XII.
2
-
-
DETERMINATION DE LA PARTIE RADIALE DE
l,m= ) sin( rmθdclo+sθm(1cos2θ)leimDans un champ à symétrie sphérique : x , , zV ( )=V ( r ) =1∆ψ ).V ( rψE .ψ − + =
Et, en unités atomiques :
∆ = ∂2+2∂ −12 avecMr r2
12 r
1
l1∂ + ,mrψl,m
12l(l+1)ψl,m+ )V ( rψl,m=E .ψl,m
1R+l(l+21)R+ ).RV ( r=E .R en multipliant puis,
par(2r2):r2R+2rR[+2Er22r2V ( r )l(l+1)]R=0(1)
solution particulière : sir→ ∞(V ( r )0), (1) devient ainsi : r2R+2E r2R=0R+2E R=0R=C e±r2E et forcément :0. Or sir→ ∞, R0 car0RR r2dr=1.
2 Il sensuit que :R=C erEEn posant .
1 = − 2
( n+), on
r a donc :R=C en danset cest par cette valeur quon remplace
méthode de variation de la constante )C( ret il vient :
′′ ′   r2C2(rn2r )C2r+2r2V ( r )+l(l+1)C=0 (2) n
3
2 - CAS DE LATOME DHYDROGENE
Dans ce cas particulier dune fonction donde mono-électronique, puisquon se propose de
décrire le mouvement de lélectron unique de latome dhydrogène dans un champ de
symétrie sphérique, lénergie potentielle sécrit : )V ( r
lorsce1ao,renlampV (r)par sa r
valeur dans léquation (2) du tableau XII pour obtenir léquation (3)
4
[TABLEAU XIII]
CAS DE LATOME DHYDROGENE : )V ( r
1
r2C2(rn2r ) C2rn2r+l(l+1)C=0 (3) r0C0 si et,est lordre de ce zéro ,C rαL( r )2 L( r )=a0+a1r+a2r+...
Il en résulte :
(+α1)l(l+1)=0
⇒ α=l
C=rlL( r ).
r L+2(l+1L)r+2( nl1) L=0 (4)
Puis ayant remp 4 parL=a rp, il faut que chaque terme lacé dans ( )Lp=0p
2l1 ap+1=np((+p1()pn++2+l+)2)
ap
à partir dun rang( p+1), tous les coefficients de la série
pn+l+1=0
nentier /nl+1et, en définitive :
r =len ( r ) r Ln ,l( r )
5
Comme le montre le tableau XIII, on aboutit à une expression deR(r) qui : est de la forme
rn R( r )=rlLl( r ) e où ,n est un entier/ nl+1 .L( r )=aprpet les équations de n , p=0
récurrenceap+1=f ( ap) permettent de calculer tous les coefficients à une constante
multiplicative près, lorsquenetlsont fixés. On trouve:ap+1=n(2p(p1n()++l2+l1+)2)apet la +p constante multiplicative sera fixée en normalisantR(r), comme vu précédemment, soit :
R R2=4 3r dr
.
En conclusion, la théorie de Schrödinger conduit aux mêmes résultats que ceux trouvés par
Bohr-Sommerfeld : le mouvement de lélectron soumis à un champ de forces centrales peut
r être décrit au moyen dune fonction dondel,m=rlLn ,l( r ) ensinmθfl,m(cosθ) eim ou n ,
n ,l,m ,msn ,l,m.αouψn ,l,m.β la forme de la fonction etn ,l,m dépend de trois nombres
quantiques alors que lénergie ne dépend que den. résultat dû à la forme particulière de Ce
V(r)1  .=r
Même si le sens profond des quantifications nous échappe  les quantifications ne sont
introduites que pour rendre compte des faits expérimentaux, des spectres observés ,
le modèle de la mécanique quantique permet dintroduire ces quantifications en les rattachant
à quelques grands principes de la physique, comme la conservation de lénergie et la
conservation des moments cinétiques (pour un mouvement dans un champ de forces
centrales).
6
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.