DU FINI L'INFINI

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IX – Annexes DU FINI À L'INFINI ------------------------------------------------------------- 2 DE L'INFINI AU FINI------------------------------------------------------------ 5 AUTANT, MOINS OU PLUS ? --------------------------------------------------- 7 DÉNOMBRABLE OU CONTINU ? ----------------------------------------------14 ASPECT HISTORIQUE DE QUELQUES NOTIONS D'ANALYSE----------------19 PETITE BIBLIOGRAPHIE SUR L'HISTOIRE DE L'ANALYSE ---------------- 34

  • ≤? ≠

  • ??? ??

  • hypothèse de récurrence

  • doigt de la main gauche

  • fini

  • raisonnement par l'absurde


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Source : mathematiques.ac-bordeaux.fr
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IX – Annexes 
DU FINI À LINFINI---------------------------------------------------------- --- 2 DE LINFINI AU FINI--------------------------------------------------------- --- 5 AUTANT,MOINS OU PLUS? ------------------------------------------------- -- 7 DÉNOMBRABLE OU CONTINU? --------------------------------------------- - 14 ASPECT HISTORIQUE DE QUELQUES NOTIONS D'ANALYSE---------------- 1 9 PETITE BIBLIOGRAPHIE SUR LHISTOIRE DE L’ANALYSE---------------- 3 4
DU FINI À L INFINI 
Le parti pris pour définir la notion de « fini » est le point de vue naïf de lenfant qui dénombre une collection dobjets. Définitions 1. Deux ensembles sont dits équipotents lorsquil existe au moins une bijection de lun sur lautre. 2. Un ensembleE est lorsquil dit fini est vide ou lorsquil existe un entier natureln que telE soit équipotent à lensemble {1;2; ... ;n}. 3. Un ensemble est dit infini lorsquil nest pas fini. 4. Un ensemble est dit dénombrable lorsquil est équipotent à`. Notation Nous noterons [[1;n]] lensemble {1;2; ... ;n}. Remarques 1. SoitEetFdeux ensembles équipotents etfune bijection deEsurF. Alorsf1est une bijection deFsurE. 2. Le point de vue adopté pour définir un ensemble fini est le point de vue intuitif utilisé pour dénombrer les doigts de la main gauche. 3. Les questions qui se posent à la suite de ces définitions sont les suivantes :  lensembleEétant un ensemble fini et non vide, lentierntel queE 1 ; [[soit équipotent àn]] est-il unique? (ou, en langage naïf, va-t-on obtenir le même résultat en comptant les éléments deEde diverses façons ?).  un ensemble dénombrable est-il infini ?  un ensemble équipotent à un ensemble infini est-il lui même infini ? La réponse intuitive à chacune de ces trois questions est oui. Les propriétés qui suivent, et qui découlent des définitions adoptées, en apportent la preuve mathématique. Propriété 1 Soit deux entiers naturels non nulsnetp. Si [[1;n]] est équipotent à [[1;p]] alorsn=p. Il suffit, en fait, détablir que, si [[1;n]] est équipotent à [[1;p]], alorsnp. (1) En effet si [[1;n]] est équipotent à [[1;p]] alors [[1;p]] est équipotent à [[1;n]]. La proposition (1) permet donc décrire à la foisnpetpn, cest à dire quen=p. Pour démontrer cette proposition (1) nous allons utiliser un raisonnement par récurrence sur lentiern. y La proposition est évidente pourn=1puisquep1. y Supposons cette proposition vraie au rangn et considérons un entier naturel non nulq tel que [[1; (n+1) ]] soit équipotent à [[1;q]]. On considère une bijectionfde [[1; (n+1) ]] sur [[1;q]] et on désigne parmlimage de (n+1) parf. Deux cas sont alors à envisager : 1ercas :m=q. La restrictionf* def à lensemble [[1;n]] est une bijection de [[1;n]] sur [[1; (q1) ]] et, daprès lhypothèse de récurrence,nq1.
IX  Annexes Du fini à linfini
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Par conséquent,n+1q. 2èmecas :mq On désigne parAlneesbmle[[1; (q\{)]]m} (ensemble [[1; (q privé de lentier) ]]m) et on considère lapplicationgdéfinie surApar : Sim1,g((xx))==xxp1toouopturrutoxuttexueuqlqtle1exmmxqSim=1,g(x)=x1pour toutxdeA g est une bijection deA sur [1; (q1) ] et la restrictionf def à lensemble [[1;n]] est une bijection de [[1;n]] surA. Il en résulte quegDfstu*e[[ontiedbneecij1;n]] sur [1; (q1) ] et, daprès lhypothèse de récurrence,nq1.Par conséquent,n+1qcomme dans le premier cas. Nous avons donc établi la proposition (1) au rang (n+1). Celle-ci est donc vraie pour tout entiern. Propriété 2 SoitEun ensemble fini non vide. Il existe un entier naturelnunique tel queEotiptenitsoqué[à[1;n]]. Définition Cet entier naturelnest appelé cardinal de lensembleEet notéCard(E). Par convention le cardinal de lensemble vide est0. LensembleEfini et non vide donc il existe un entier naturelest net une bijectionfdeEsur [[1;n]]. Soit un entier naturelpetgune bijection deEsur [[1;p]]. LapplicationgDfest une bijection de [[1;n]] sur [[1;p]] et, daprès la proposition précédente,n=p. Propriété 3 Les parties finies non vides de`sont les parties majorées de`. SoitEune partie finie et non vide de`. Il existe un entier naturelnet une bijectionfdeEsur [[1;n]]. Nous allons montrer par récurrence sur lentiernqueEest majoré. Sin=1, alorsE={f1(1) } oùf1désigne la bijection réciproque def. Tout entier supérieur àf1(1), par exemplef1(1)+1, est un majorant deE. Supposons la propriété vraie au rangn. SoitEune partie de`de cardinal (n+1). Lensemble {f1(1),f1(2),  ,f1(n) } est une partie de` cardinal den et possède donc, daprès lhypothèse de récurrence, un majorantM. OrE={f1(1),f1(2),  ,f1(n),f1(n+1) }. Ainsi le plus grand des deux nombresΜetf1(n+1) est un majorant deE. La propriété est donc établie au rang (n+1) et nous avons démontré que toute partie finie de`est majorée. Réciproquement, soitEune partie majorée et non vide de`. Daprès les axiomes qui permettent de définir lensemble des nombres entiers naturels,E admet un plus grand élémentp. Nous allons montrer par récurrence sur lentierpqueEest fini. Sip=0,E a pour seul élément0 lapplication qui à et0 associe1 une bijection de estE [ sur1 ; 1] ce qui prouve queEest fini. Supposons la propriété vraie au rangp. SoitEune partie de`dont le plus grand élément est (p+1). On considère lensembleF=E\ {p+1}. Le plus grand élément deFest inférieur ou égal àpet, daprès lhypothèse de récurrence,Fest fini. Donc il existe un entier naturelmet une bijectionfdeFsur [[1;m]].
IX  Annexes
Du fini à linfini
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L'application:E[)1;(msi+1]]appartientFbijection deEsur [[1;m+1]]. 6xp+1f6xm+1xàest une La propriété est donc établie au rang (p+1) et nous avons démontré que toute partie majorée de`est finie. Propriété 4 SoitEun ensemble fini non vide etFune partie deE, distincte deE. AlorsFest un ensemble fini etCard(F)<Card(E). SiFest lensemble vide, alorsCard(F)=0etCard(F)<Card(E). Supposons doncFdifférent de lensemble vide. LensembleEest fini et non vide donc il existe un entier naturelnet une bijectionfdeEsur [[1;n]]. Soitf* la restriction defàFetAlimage deFparf*. LensembleAest une partie de`majorée parndoncAest fini. Par suite il existe un entier naturelpet une bijectiongdeAsur [[1;p]]. Il en résulte queh=gDf* est une bijection deFsur [[1;p]]. DoncFest fini et Card(F)=p. Lensemble (EF) est également une partie deEet daprès le raisonnement qui vient dêtre fait, (EF) est fini. On poseq=Card(EF). Par hypothèse, (EF) est non vide doncqest un entier naturel non nul. On appellekune bijection de (EF) dans [[1;q]]. E[[1;p+q]] Soit:x6h(x)sixappartient àF.ϕ6p+k(x) sixappartient à (EF) ϕest une bijection deEdans [[1;p+q]] carhetksont des bijections. Par conséquent,p+q=n. Doncp<netCard(F)<Card(E). Propriété 5 Tout ensemble équipotent à lune de ses parties strictes est infini. (Fest une partie stricte deElorsqueFest un sous ensemble deE, distinct deE). SoitEun ensemble,Fune de ses parties strictes etfune bijection deEsurF. Nous allons démontrer queEest un ensemble infini à laide dun raisonnement par labsurde. Supposons doncEfini. Daprès la proposition précédenteFest fini etCard(F)<Card(E). Il existe un entier naturelnet une bijectiongdeEsur [[1;n]], un entier naturelpet une bijectionhdeFsur [[1;p]]. LapplicationhDfDg1 est une bijection de [[1;n]] dans [[1;p]], doùn=p etCard(E)=Card(F), doù la contradiction.Propriété 6 Tout ensemble équipotent à un ensemble infini est infini. Cette proposition se démontre aisément à laide dun raisonnement par labsurde.
IX  Annexes
Du fini à linfini
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DE L INFINI AU FINI 
Définitions 1. Deux ensembles équipotents sont des ensembles pour lesquels il existe au moins une bijection de lun sur lautre. 2. Un ensemble infini est un ensemble équipotent à au moins une de ses parties strictes. (On dit quun ensembleAest une partie stricte dun ensembleElorsqueAest inclus dansEet que A est différent deE). Un ensemble fini est un ensemble qui nest pas infini. 3. Un ensemble dénombrable est un ensemble équipotent à`. Propriétés 1.Lensemble vide est fini. En effet, lensemble vide na pas de partie stricte. F 2.Tout ensemble contenant un ensemble infini est infini. SoitFun ensemble contenant un ensemble infiniE.E Par définition il existe une partie stricte deE, notéeE, et une bijectionfdeEsurE.E SoitFlensemble des éléments deFqui nappartiennent pas àE. Montrer queE Fest une partie stricte deF. Soitglapplication deFdansE Fdéfinie par :  sixE,g(x)=f(x)  sixFE,g(x)=x.Montrer quegest une bijection deFsurE F. Conclure. 3.nétant un entier naturel non nul, lensembleIn={1;2;3;  ;n} est fini. On utilise un raisonnement par récurrence. a. Quelles sont les parties strictes deI1? En déduire quil nexiste aucune bijection deI1sur une de ses parties strictes. b. On suppose quil existe une bijection, sur une de ses parties strictes, f, deIn+1A, ne contenant pas n+1; soitr=f(n+1). Montrer que la restriction defàInest une bijection deInsur sa partie stricteA=A{r}. c. On suppose quil existe une bijectionf deIn+1 une de ses parties strictes surB contenantn+1. On posep=f(n+1) etq=f1(n+1). On appelleσléchange depetq.  Montrer quefDσDfest une bijection deIn+1dansBqui laissen+1invariant.  En déduire que la restriction defDσDfàInest une bijection deInsur sa partie stricteB=B{n +1}. d. Mettre la récurrence en forme et conclure. 4. SiInetInsont équipotents, alorsn=n. On supposen< n. Inest alors une partie stricte deIn. Il en résulte queIninfini, ce qui contredit la propriété 3.est Par conséquentnn. On montrerait de même quenn. Par suiten=n.
IX  Annexes De linfini au fini
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5. Un ensemble équipotent à un ensemble infini est infini. SoitEun ensemble infini etFun ensemble équipotent àE. Daprès les définitions précédentes, il existe une bijectionfdeEsurFet une bijectiongdeEsur une partie stricteEdeE. a. Montrer queF=f(E) est une partie stricte deF. b. Montrer quefDf1est une bijection deFsurF. gDc. Conclure. 6. Tout ensemble équipotent àInest fini. On fait un raisonnement par labsurde en utilisant les propriétés 3 et 5. 7. Pour tout ensemble fini non videE, il existe un unique entier naturelntel queEsoit équipotent à lintervalleInde`. Cet entiernsappelle le cardinal deE, notécardE; par conventioncard=0. SoitEun ensemble fini non vide etx1E. SiE={x1}, alors lapplicationf1deI1dansEtelle quef1(1)=x1est une bijection. SiE{x1}, alors il existex2Etel quex2x1. SiE={x1;x2}, alors lapplicationf2deI2dansEtelle que, pour tout élémentide {1;2},f2(i)=xi, est une bijection. SiE{x1;x2}, alors il existex3Etel que  etc. Sil nexiste aucunntel queE={x1;x2 ; ... ;xn}, on construit, à laide du procédé ci-dessus, une bijection de `sur une partieEdeE. Cette partieEest infinie ce qui contredit lhypothèse «Eest un ensemble fini ». Il existe donc une entier natureln que telE soit équipotent àIn daprès la proposition 4, cet entier est et, unique. 8. Toute partie stricteFdun ensemble finiEest finie etcardF<cardE. Daprès la proposition 2,Fne peut pas être infini. On posen=cardF. Montrer que les éléments deFpeuvent être notésx1,x2, ...,xnet en déduire que E={x1;x2; ... ;xn;xn+1; ... ;xn+p} avecp0. Montrer alors quecardF<cardE. 9. Un ensembleE est dénombrable si et seulement si on peut ranger ses éléments en une suite définie sur`. En effet, siEest dénombrable, il existe une bijectionfdeEsur`. La bi1ction de`surE jection réciproque def, notéef les éléments de et, est une bijeEse rangent dans la suite (f1(n)) = (un). Réciproquement, si les éléments deEont pu être rangés en une suite définie sur`, lapplication qui, à tout élément deE, fait correspondre son rang dans la suite (un) est une bijection deE sur`. Par suiteE est dénombrable.
IX  Annexes
De linfini au fini
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AUTANT,MOINS OU PLUS?
Initier les élèves, sur des exemples, au concept d’équipotence entre des ensembles. Démontrer que des ensembles très différents (du point de vue topologique par exemple) peuvent cependant être équipotents. Définition de la bijection. Connaissances sur les fonctions.
Objectif Outils Les mathématiciens introduisent généranlte lme econcept de n«o mbre délémen»ts  d’un ensemble de la façon suivante : deux enseEelbm  etF le même nombres ont d’éléments s’il existe une bijectioEnsduer F. nitioi nteetd fé œuvre cttant enem nEexr sus demples, divers mathématiciens furent surport du fris ftrs lembisdè euq tiaesne sedst être mis en bibmallbsep iussnee tcej noi l’un avec l’autre, et donc avoir le même « nombre d’éléments ». On se propose d’étudier certains de ces exemples. A. ENSEMBLES FINIS « Je sais compter le nombre de doigts de ma main parce que je sais attribuer à chaque doigt un numéro et un seul. Par exemple pouce61, index62, majeur63, annulaire64, auriculaire65. Ce nest pas la seule façon possible (index61, annulaire62, ) mais il ne fait aucun doute (?) que le dernier doigt recevra le numéro5que ma main a cinq doigts. ». Je dis En langage savant on dit que lon a créé une bijection de lensemble des doigts vers lensemble {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} et que cette bijection nest pas unique. Dune manière générale, si on sait construire une bijection dun ensembleE lensemble sur {1 ; 2 ; … ;n}, on dit queEest un ensemble fini denéléments. La bijection nest pas unique, mais on concevra quenest unique.nsappelle le cardinal deE. On dit que deux ensembles de même cardinal ont « autant » déléments. Lensemble vide na pas déléments. On dit quil a zéro élément ou que son cardinal est0. SiEest un ensemble fini et siFest strictement inclus dansE, on dit queFa « moins » déléments que Eou encore queEa « plus » déléments queF. Mais, dès quil sagit densembles infinis (cest-à-dire qui ne sont pas finis) les mots « autant », plus », « moins » deviennent trompeurs «
IX  Annexes
Autant, moins ou plus ?
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B. ENSEMBLES EN BIJECTION AVEC L ENSEMBLE` DES ENTIERS NATURELS Exemple 1 Soit`= {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …} et`* = {1 ; 2 ; 3 ; …}. Il y a manifestement « plus » déléments dans`que dans`*, puisquon passe de`à`* en enlevant zéro. Démontrer cependant quil existe une bijection de`sur`* (préciser la bijection utilisée) et donc que `et`* ont « le même nombre déléments » Il y a « autant » déléments dans`que dans`* Exemple 2 SoitPlensemble des entiers naturels pairs. La réaction naturelle est de dire quil y a deux fois plus déléments dans`que dansP. Démontrer cependant quil existe une bijection de`surP. Conclusion ? De même, soitIl'ensemble des entiers naturels impairs. La réaction naturelle est de dire qu'il y a autant d'entiers pairs que d'entiers impairs et qu'il y a deux fois plus d'éléments dansIque dans`. Démontrer cependant quil existe une bijection de`surI. Conclusion ? Exemple 3 Cet exemple est dû à lillustre physicien et mathématicien Galileo Galilei, et figure dans le « Discours concernant deux sciences nouvelles », paru en 16381. Galilée considère lensemble, que nous noteronsC, des carrés de tous les entiers naturels non nuls, appelés par lui « nombres carrés ».C={n2,n`*}. Cet ensemble donne lieu aux réflexions suivantes de Salviati, lun des personnages du livre de Galilée. «Si je demande combien il y a de nombres carrés, on peut répondre, sans se tromper, quil y en a autant que de racines[carrées]correspondantes, attendu que tout carré a sa racine et toute racine son carré, quun carré  s plus dune racine, et une racine pas plus dun carré.[]; cela étant, il faudra donc dire quil y a n a pa autant de nombres carrés quil y a de nombres, puisquil y a autant de racines, et que les racines représentent lensemble des nombres ; et pourtant[]il y a beaucoup plus de nombres que de carrés, étant donné que la plus grande partie des nombres ne sont pas des carrés. A quoi sajoute le fait que la proportion des carrés diminue toujours davantage quand on passe à des nombres plus élevés[].». 1. Démontrer, en suivant largumentation de Galilée, que`* etC être mis en bijection lun peuvent avec lautre. Il y a donc « autant » déléments dansCque dans`*. 2. Pour tout entier naturel non nulk, on notec(k) le nombre déléments deCinférieurs ou égaux àk, et on notep(k) la proportion des carrés parmi les entiers naturels non nuls inférieurs ou égaux àk, cest-à-dire :p(k)=c(kk). a. Calculerp(99),p(100),p(10 000). b. Majorerc(k). En déduire que limp(k)=0. Autrement dit, la proportion des carrés parmi les entiers naturels inférieurs ou égaux àk vers tend0 quandk vers tend+ ∞. Ceci semble montrer quil y a « beaucoup plus » de nombres naturels que de carrés.
1UP Fno siditÉ  Épitionllec- Cothmé -éera Tctdu noiM edlC .levain - pages 30 et3 .1 
IX  Annexes Autant, moins ou plus ?
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