En cheminant avec Kakeya

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Publié le : lundi 26 mars 2012
Lecture(s) : 43
Source : math.univ-lyon1.fr
Nombre de pages : 131
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Table des mati`eres
1 Une question anodine? 1
La question de Kakeya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
La grande invention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 La d´erivation 11
Qu’est-ce qu’une d´eriv´ee? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
La d´ecouverte de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Avanc´ee sur la question de Kakeya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Le th´eor`eme d’Archim`ede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Le calcul int´egral 31
Le partage d’Archim`ede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Qu’est-ce qu’une int´egrale? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Avanc´ee sur la question de Kakeya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Le paradoxe du peintre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 La formule de Stokes 49
La m´ethode l’arpenteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
La formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Avanc´ee sur la question de Kakeya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Bulles de savon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5 Les ´equations diff´erentielles 65
La delto¨ıde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Enveloppe de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Avanc´ee sur la question de Kakeya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Billards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6 Le th´eor`eme de Besicovitch 83
Le probl`eme de Kakeya pour les aiguilles parall`eles . . . . . . . . . . . . . . 85
La construction de Besicovitch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
L’´enigme des domaines ´etoil´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917 La conjecture de Kakeya 95
Le monde des objets d’aire nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Une nouvelle jeunesse pour la question de Kakeya . . . . . . . . . . . . . . . 101
La conjecture de Kakeya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8 Perspectives 109
De Kakeya aux nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
L’approche de Bourgain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Une question anodine?
Lesmath´ematiquessontunecomposanteactivedelapens´eehumaine,ellesprennentracine
dans la n´ecessit´e ou` nous nous trouvons de connaˆıtre et de comprendre le monde ou` nous
vivons et d’acc´eder aux m´ecanismes secrets qui pr´esident a` sa myst´erieuse harmonie. Elles
permettent, par le seul travail de l’esprit, de repousser toujours plus loin les limites de
l’univers connu et proposent, en demandant de s’abstraire de la r´ealit´e sensible, une voie
pour atteindre `a la raison premi`ere des choses. Elles sont, en outre, d’une extraordinaire
efficacit´e qui n’a cess´e au cours de l’histoire d’´etonner les plus grands esprits. Albert Ein-
≪stein se demandait par quel prodige la math´ematique, qui est un produit de la pens´ee
humaine et qui est ind´ependante de toute exp´erience, s’adapte d’une si admirable mani`ere
≫aux objets de la r´ealit´e . Que les conclusions d’un pur travail de l’esprit humain puissent
prendre vie dans le monde qui nous entoure est `a la fois un des grands myst`eres et une
des justifications de l’activit´e math´ematique.
Lesmath´ematiques sontsouventperc¸uescommeuntravailtr`es rigoureuxquiser´esumees-
sentiellement en uned´esesp´erante manipulation d’´equations. En r´ealit´e il s’agit avant tout
d’untravailintellectuel mˆelantintuitionetraisonnementplutoˆtqued’und´eroulementsans
imagination der`egles alg´ebriques. Commentpercereneffet lepluspetitmyst`ere sansintu-
ition, et comment s’assurer de la v´eracit´e de sa pens´ee sans raisonnement? L’imagination
1et le raisonnement sont donc les deux facettes de l’activit´e math´ematique, et c’est de leur
combinaison que jaillit la r´eponse aux grandes ´enigmes. Le fruit de cette combinaison est
cequelesmath´ematiciens appellentuned´emonstration. C’estuncheminementlogiquequi,
partant de faits consid´er´es comme vrais, se d´eveloppe au moyen d’une suite de d´eductions
pour aboutir `a la conclusion esp´er´ee. Une affirmation ´etay´ee par une d´emonstration in-
terdit d´efinitivement toute contradiction, elle acquiert le statut de fait math´ematique et
pourra `a son tour s’int´egrer dans d’autres d´emonstrations. Au contraire, une affirmation
qui en est exempte n’a pas d’utilit´e effective, c’est pourquoi les math´ematiciens attachent
un int´erˆet primordial `a la recherche de d´emonstrations.
En g´en´eral, une question ´etant pos´ee, il est tr`es difficile de d´ecouvrir ce fameux chemine-
mentquim`ene`alasolution,ceciexpliquepourquoidenombreusesquestionstr`esanciennes
demeurent encore en suspens. Confront´e `a de telles questions, le math´ematicien n’a sou-
vent d’autre choix que de s’int´eresser `a des cas particuliers ou des questions annexes plus
accessibles. Ces questions particuli`eres, qui peuvent paraˆıtre bien anecdotiques, offrent
parfois, l’Histoire l’a montr´e, des lumi`eres d´ecisives sur les questions les plus g´en´erales.
Ce passage du particulier au g´en´eral n’est pas propre aux math´ematiques et se rencontre
dans tous les savoirs. A cet´egard, la l´egende selon laquelle une simple pomme tombant de
son arbre aurait inspir´e `a Isaac Newton les grands principes de la gravitation universelle,
est r´ev´elatrice de la f´econdit´e attribu´ee `a cette d´emarche. De fa¸con plus av´er´ee, c’est bien
l’observation de colonies de pinsons tr`es particuli`eres `a certainesˆıles des Galapagos, qui a
sugg´er´e a` Darwin sa th´eorie g´en´erale de l’´evolution des esp`eces.
Face `a une question, qu’elle soit annexe ou fondamentale, le savant est confront´e a` deux
situations : il peut avoir une conviction intime de la r´eponse, sans ˆetre capable de la
d´emontrer, ou au contraire, n’avoir aucune id´ee de celle-ci. Bien entendu, son travail est
grandement facilit´e s’il se trouve dans le premier cas; autrement dit, lorsqu’il dispose
en ligne de mire d’une id´ee de la r´eponse qui soit suffisamment fond´ee pour servir de
guide `a la d´emonstration. Cette id´ee, ce moyen terme entre la question et la r´eponse
s’appelle une conjecture, c’est une r´eponse plausible, une r´eponse en suspens, en attente
d’une d´emonstration. Cette attente peutˆetre longue – parfois plusieurs si`ecles – et de tr`es
nombreuses conjectures demeurent encore aujourd’hui sans r´eponse, c’est l’une d’entre
elles, la conjecture de Kakeya, qui nous accompagnera tout au long de cet ouvrage.
La question de Kakeya
L’histoiredecette conjectured´ebuteparunequestionsisimpled’apparencequelar´eponse
semble aller de soi. Mais les apparences sont trompeuses. Loin d’ˆetre ´evidente cette ques-
tion s’av`ere en r´ealit´e riche et profonde,et pourpeuqu’on selaisse guider,son exploration
≪ ≫conduit au cœur des math´ematiques les plus modernes. Cette question si simple a
`eme´et´e pos´ee pour la premi`ere fois au d´ebut du XX si`ecle par le math´ematicien japonais
Soˆichi Kakeya :
2Quelle est la plus petite surface `a l’int´erieur de laquelle il est possible de d´eplacer une
aiguille de mani`ere `a la retourner compl`etement?
De fa¸con plus concr`ete, c’est comme si Kakeya, consid´erant une aiguille pos´ee devant
lui sur sa table de travail, se demandait comment dessiner la plus petite zone possible `a
l’int´erieur de laquelle il pourrait faire glisser cette aiguille jusqu’`a ce qu’elle se retrouve
dans sa position initiale, la tˆete prenant la place de la pointe. La premi`ere r´eponse qui
vient `a l’esprit est le disque dont l’aiguille serait le diam`etre et qu’une simple rotation
suffirait alors `a renverser compl`etement.
Aussisurprenantque cela puisseparaˆıtre cette solution´el´egante et simplene r´epond pas `a
la question de Kakeya : il existe d’autres fa¸cons de d´eplacer l’aiguille qui balaient de plus
petites surfaces. Par exemple au lieu de faire tourner l’aiguille autour de son centre, on
lui fait effectuer des rotations successives autour de ses extr´emit´es. Une figure se dessine
alors d’elle-mˆeme : le triangle de Reuleaux.
Un calcul rigoureux de l’aire de cette figure montre qu’elle est plus petite que celle du
disque (ce calcul est propos´e dans l’encart color´e de la page suivante). Ainsi la figure que
l’on pressent naturellement – le disque – n’est pas la solution au probl`eme de Kakeya. Il
se trouve que le Reuleaux ne l’est pas davantage, on peut en effet retourner une aiguille
dans un triangle ´equilat´eral dont l’aire est plus petite que celle du Reuleaux. Les dessins
ci-dessous donnent l’id´ee du mouvement de l’aiguille `a l’int´erieur d’un tel triangle.
Le triangle est-il lui-mˆeme la bonne solution au probl`eme de Kakeya? Difficile d’en ˆetre
suˆr car d`es que l’on d´ecouvre une figure susceptible de r´epondre au probl`eme, il est tou-
3Le triangle de Reuleaux et le triangle ´equilat´eral
Il est facile de montrer au moyen d’un calcul d’aire que le Reuleaux est plus petit que le
disque. Bien suˆr ce calcul n’aura de sens que si l’on fixe la mˆeme longueur pour l’aiguille
dansleReuleauxetdansledisque.Poursimplifierlescalculsond´ecidequecettelongueur
est ´egale `a 1 (on ne consid`ere pas d’unit´e particuli`ere, par exemple ce 1 peut signifier
1 m`etre, 1 pied, 1 pouce, 1 mile, bref ce que l’on veut). Le disque ayant pour diam`etre
1 2l’aiguille a donc un rayon ´egal `a , l’aire de ce disque, qui s’´ecrit πR , vaut donc :
2
21 π
π = = 0.78539...
2 4
Il peut sembler plus d´elicat de d´eterminer l’aire du Reuleaux, toutefois on peut ais´ement
d´ecomposer cette figure en formes ´el´ementaires dont l’aire est bien connue.
2
2
πIci, la d´ecomposition fait apparaˆıtre un demi-disque d’aire et deux triangles
2√
3´equilat´eraux de cˆot´e 1 dont chacun a une aire ´egale `a , l’aire du Reuleaux est donc :
4

π− 3
= 0.70477...
2
Cette aire est effectivement plus petite que celle du disque.
Quant `a l’aire d’un triangle ´equilat´eral, c’est le quotient du carr´e de sa hauteur par le√
nombre 3, elle vaut donc ici :
21
√ = 0.57735...
3
ce qui est bien inf´erieur `a 0.70477.
4jours `a craindre qu’une autre, plus petite, ne fournisse un meilleur candidat. Kakeya
s’est d’ailleurs trouv´e confront´e, en son temps, `a cette difficult´e et ne parvenant pas `a la
d´epasser il d´ecida de proposer cette question `a l’ensemble des math´ematiciens. C’est l`a
une d´emarche naturelle pour les scientifiques que de pr´esenter leurs r´esultats et soumet-
tre les questions non r´esolues au reste de la communaut´e. Cet ´echange entre savants qui
se fait par l’interm´ediaire de revues scientifiques est particuli`erement intense puisque ce
sont, de nos jours, plusieurs centaines de milliers de r´esultats et de questions qui sont
ainsi publi´es chaque ann´ee pour ce qui concerne les seules math´ematiques. Le destin de
toutes ces questions est tr`es in´egal, la plupartd’entre elles sont presque aussi vite oubli´ees
que r´esolues, d’autres, si elles ne sont pas oubli´ees, ne d´epassent cependant pas le cadre
d’unecommunaut´e restreinte desp´ecialistes, enfinuneinfimeminorit´e mobilisel’attention
≪ ≫de nombreux math´ematiciens et atteint le statut de grande question . Certaines de
ces grandes questions sont devenues c´el`ebres, le lecteur aura certainement entendu parler,
par exemple, du probl`eme de la quadrature du cercle. Il se souviendra peut-ˆetre qu’il y
est question, partant d’un cercle, de tracer `a la r`egle et au compas un carr´e qui occupe
la mˆeme surface. Ce probl`eme, dont il est fait mention dans un papyrus datant de 1650
avant J.-C., a suscit´e au cours des ˆages les efforts de tr`es nombreux math´ematiciens. Il ne
`emefut finalement r´esolu qu’`a la fin du XIX si`ecle et la solution est surprenante : un tel
≪ ≫trac´e est impossible. C’est pourquoi l’expression quadrature du cercle a ´et´e adopt´ee
dans le langage courant pour d´esigner quelque chose d’irr´ealisable. L’impossibilit´e de la
quadrature du cercle r´ev`ele que, mˆeme si le cercle et la droite sont `a la source de toute
la g´eom´etrie ´el´ementaire, la construction de certaines figures´echappe a` l’utilisation de ces
deux formes pures, ch`eres `a Platon.
Ces grandesquestions, outreleur int´erˆet propre,agissent comme des points derep`ere pour
l’ensembledelacommunaut´e:ellesannoncentetd´elimitent clairementcequiestconsid´er´e
comme ´etant `a la fois fondamental et difficile. D’ailleurs les math´ematiciens se r´eunissent
p´eriodiquement afin d’en proposer de nouvelles. L’exemple le plus c´el`ebre fut le congr`es
de Paris en 1900 ou` David Hilbert – qui ´etait sans doute, avec Henri Poincar´e, le plus
≪grand math´ematicien de son temps – proposa une liste de vingt-trois grandes ques-
`eme
≫tions qui eurent une profonde influence sur toutes les math´ematiques du XX si`ecle.
Sur ces vingt-trois probl`emes, cinq restent encore en suspens et font toujours l’objet de
`eme `recherches en ce d´ebut de XXI si`ecle. A l’occasion du passage au troisi`eme mill´enaire,
un congr`es exceptionnel s’est tenu lieu `a Paris, ou` de nouveau une liste de probl`emes a´et´e
propos´ee. Mais, autres temps autres mœurs, chacun de ces probl`emes a ´et´e assorti d’un
prix d’un million de dollars offert par la fondation Clay a` qui les r´esoudra.
On l’aura compris, les difficult´es que rec`elent ces grandes questions sont consid´erables, la
premi`ere d’entre elles, et non la moindre, ´etant qu’en g´en´eral il n’y a pas de fil directeur
quipuisseguider le math´ematicien dans sa recherche de solution. Toute proportion gard´ee
c’est le mˆeme type de difficult´e que l’on rencontre avec le probl`eme de Kakeya : le champ
des figures possibles semble infini et rien n’est l`a qui nous indique le chemin `a suivre.
Dans ces conditions le math´ematicien va tout d’abord explorer un grand nombre de fig-
5ures afin de se donner un premier panorama du vaste territoire des solutions possibles et
acqu´erir une exp´erience des formes les plus concluantes. Dans ces choix le math´ematicien
privil´egierasouventcellesayantlesplusbellespropri´et´es,ilserasensibleauxfigureslesplus
sym´etriques et `a celles dont la construction semble le plus en harmonie avec le probl`eme
pos´e. Mais toute autre raison indirecte donnant `a penser qu’une figure est la bonne peut
aussientrerenconsid´eration. Unefoistrouv´eeunetellefigure,ilenfaitsoncandidatfavori
et cherche ensuite `a d´emontrer que celui-ci est effectivement la solution du probl`eme. Il se
trouve que Kakeya avait un tel candidat en tˆete : il s’agissait d’une courbe classique des
math´ematiques qui a la forme d’un triangle courb´e et qui est appel´ee delto¨ıde en raison
de sa ressemblance avec la lettre Δ (delta) de l’alphabet grec.
Contrairement au triangle de Reuleaux les cˆot´es de cette delto¨ıde ne sont pas des arcs
de cercles mais des courbes plus complexes obtenues `a partir de cercles en mouvement.
Pr´ecis´ement, elles apparaissent lorsque l’on suit le trajet d’un point sur un cercle roulant
`a l’int´erieur d’un autre cercle une fois et demi plus grand. Le rapport de trois pour deux
entre les diam`etres des cercles force la figure obtenue `a pr´esenter trois pointes.
Les courbes complexes qui d´elimitent la delto¨ıde font surgir une difficult´e : outre qu’elles
ne sont pas aussi famili`eres que la droite ou le cercle, elles ne r´epondent pas aux formules
´el´ementaires decalcul d’airetelles qu’onles connaˆıtpourledisqueoule triangleparexem-
ple. Et si l’on ne connaˆıt pas l’aire de la delto¨ıde il devient difficile de la comparer `a celle
d’autres figures et donc, in fine, d’ ˆetre capable de montrer qu’il s’agit bien de la solution
au probl`eme de Kakeya. Bien entendu ce probl`eme ne s’arrˆete pas `a la delto¨ıde : toute
autre figure permettant la rotation de l’aiguille n’a aucune raison de poss´eder des cˆot´es
droits ou circulaires et par cons´equent la d´etermination de son aire sera probl´ematique.
Plus g´en´eralement c’est `a la question de la compr´ehension des courbes que l’on se trouve
confront´e ici : puisqu’unefigurese r´esume aux courbes qui la d´elimitent, une connaissance
approfondiede ces courbes doit suffirepourr´epondre non seulement `a la question de l’aire
mais aussi a` toute autre question g´eom´etrique. Jusqu’`a une ´epoque relativement r´ecente,
`emecette connaissance approfondie des courbes n’´etait pas accessible. Au d´ebut du XVII
si`ecle d’immenses math´ematiciens comme Ren´e Descartes, Pierre de Fermat ou encore
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