ENS CACHAN UPMC - Paris 6 Janvier 2009 - Mathieu Bauchy

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  • cours - matière potentielle : du processus étudié
ENS CACHAN 4ème année MATHIEU BAUCHY UPMC - Paris 6 Janvier 2009 PROJET NUMÉRIQUE DE M2 Percolation d'un liquide dans un fluide Tuteur : Pascal Viot
  • n' atomes identiques aux atomes de néon liquide
  • première approche du phénomène
  • phénomène de percola- tion par l'intermédiaire de la dynamique moléculaire
  • potentiel d'interaction entre paires d'atomes
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  • approche
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MATHIEU
BAUCHY
UPMC-Paris6ENS CACHAN
Janvier20094èmeannée
PROJET NUMÉRIQUE DE M2
Percolation d’un liquide dans un fluide
Tuteur : Pascal ViotRésumé
La percolation est un phénomène que l’on retrouve dans des domaines
aussi variés que la physique, la biologie ou l’économie. Il s’agit d’un processus
qui a été très étudié, notament par les mathématiciens. En effet, bien que basé
sur des hypothèses simples, les modèles de percolation donnent des résultats
extrêmements riches.
Dans ce projet nous étudions numériquement ce phénomène de percola-
tion par l’intermédiaire de la dynamique moléculaire. Nous simulons la per-
colation d’un liquide régi par des interactions de type Lennard-Jones au sein
d’un solide poreux. Nous étudions des caractèristiques statiques, le seuil de
percolation, mais aussi des propriétés dynamiques, le temps de percolation.
Nous montrons, sur un modèle test, le réseau cubique simple, que cette
approche donne des résultats similaires aux travaux classiques effectués sur le
sujet. Nous développons ensuite les résultats de la dynamique du processus
de percolation que peut fournir cette approche. Nous finissons en montrant
que cette méthode est très générale et permet d’étudier la percolation à travers
un milieu à répartition quelconque.Table des matières
1 Généralités 1
1.1 Processus de percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Caractèristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Modélisation et méthodes utilisées 3
2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Modélisation du liquide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.2 du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.3 Forces appliquées aux atomes . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.4 Modélisation du milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Méthode de résolution : Dynamique moléculaire . . . . . . . . . 6
2.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 Equations du mouvement des particules . . . . . . . . . 7
2.2.3 Algorithme Leap Frog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.4 Phase d’équilibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.5 Vitesses initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Algorithme de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1 Liste des sous-programmes . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Programme principal de base . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Simulations 11
3.1 Seuil de percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.2 Mise en oeuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.3 Validation de la procédure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.4 Résultats obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.5 Discussion du résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.6 Comparaison avec un algorithme de clusters . . . . . . . 14
3.2 Temps de percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.2 Mise en oeuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.4 Discussion des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Percolation dans un réseau quelconque . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.2 Mise en oeuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Mathieu Bauchy - UPMC - Paris 6 - 15 Janvier 2009TABLE DES MATIÈRES
3.3.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Mathieu Bauchy - UPMC - Paris 6 - 15 Janvier 2009 iChapitre 1
Généralités
1.1 Processus de percolation
La percolation un phénomène de seuil lié à la transmission d’une « infor-
mation » par le biais d’un réseau de sites et de liens qui peuvent, selon leur état,
transmettre ou non l’information aux sites voisins. Le concept de percolation
a été proposé en 1956 par le mathématicien J.M. Hammersley. [5] Ce dernier
cherchait à étudier le passage du gaz à travers les masque à gaz des soldats.
Le mot percolation fait évidemment penser au percolateur d’une machine
à café qui est également un filtre au sein duquel doit se transmettre le précieux
liquide. On parle plus généralement de percolation lors de la traversée d’un
solide poreux par un fluide. La percolation revêt par ailleurs une importante
toute particulière dans l’industrie pétrolière.
Développée par les physiciens, le champ d’application de la percolation
dépasse largement le seul domaine de la physique. Ce modèle mathématique
décrit aussi de nombreux phénomènes biologiques, sociologiques et écono-
miques.
1.2 Caractèristiques
Sur un réseau, la théorie de la percolation étudie à l’échelon macroscopique
les effets d’actions microscopiques. La percolation est un processus physique
critique qui décrit, pour un système, une transition d’un état vers un autre. Le
seuil de percolation correspond à l’apparition au sein du système d’un cluster
de taille infinie. Cette apparition est décrite mathématiquement comme étant
une transition de phase du second ordre.
Ce fameux seuil de percolation est sans doute le point qui a mobilisé le plus
de recherche dans le domaine de la percolation. La valeur de ce seuil peut-être
calculée de façon analytique pour des réseaux simples, mais elle est souvent
mesurée à l’aide d’expériences ou de simulations.
Mathieu Bauchy - UPMC - Paris 6 - 15 Janvier 2009 1Généralités
1.3 Objectif
Notre étude a pour objectif d’étudier le processus de percolation d’un li-
quide à travers un solide poreux. Afin de fixer les idées, nous considérons dans
la suite de ce dossier du Néon liquide. [voir 2.1.3]
Mathieu Bauchy - UPMC - Paris 6 - 15 Janvier 2009 2Chapitre 2
Modélisation et méthodes utilisées
2.1
2.1.1 Modélisation du liquide
Le liquide de Néon est représenté par N atomes dont les grandeurs carac-
tèristiques sont regroupées dans le tableau de la partie 2.1.3.
2.1.2 Modélisation du solide
Afin d’obtenir une première approche du phénomène sans adopter une
modélisation trop complexe, le solide est également représenté par N’ atomes
identiques aux atomes de Néon liquide. On néglige toute vibration du réseau
due à l’agitation thermique : les atomes du solide sont donc fixes au cours du
processus étudié.
2.1.3 Forces appliquées aux atomes
Hamiltonien
Nous supposons que le Hamiltonien du système est de la forme :
N NX X1 2H = mv + V (r ) (2.1)iji2
i=1 i;j=1
somme de l’énergie cinétique des atomes (de massem) et de l’énergie po-
tentielle d’interaction entre atomes. V (r ) est le potentiel d’interaction entreij
paires d’atomes.
Interactions entre atomes
Nous supposons que les seuls interactions de paires entre atomes sont de
type Lennard-Jones :
! 12 6
ij ij
V (r ) = 4" (2.2)ij ij
r rij ij
Mathieu Bauchy - UPMC - Paris 6 - 15 Janvier 2009 3Modélisation et méthodes utilisées
où ( ," ) est le couple qui caractèrise entièrement les interfactions entreij ij
1les atomes i et j. La partie en correspond aux interfactions de courte portée12r
1(répulsion), et la partie en aux interactions à longue potée (dispersion). Ce6r
potentiel a la forme suivante :
FIG. 2.1 – Potentiel de Lennard-Jones
Pour un système composé d’un seul type d’atomes (comme ce sera la cas
dans notre étude), on a" =" et = soit :ij ij
! 12 6

V (r ) = 4" (2.3)ij
r rij ij
Unités réduites
Les unités du sysème international n’étant pas adpatées à l’échelle ato-
mique, nous avons choisi de travailler en unités réduites. On définit les gran-
deurs adimensionnées suivantes [3] :
r
r^ = (2.4)

V^V = (2.5)
"
Dés lors, toute autre grandeur s’exprime en unité réduite. On utilisera par
exemple :
3^ = (2.6)
kT^T = (2.7)
"
E^E = (2.8)
"
3P^P = (2.9)
"
Mathieu Bauchy - UPMC - Paris 6 - 15 Janvier 2009 4Modélisation et méthodes utilisées
On peut alors exprimer le potentiel de Lennard-Jones sous la forme sui-
vante :
! 12 6
1 1^V (r^) = 4 (2.10)
r^ r^
L’utilisation des unités réduites permet de s’affranchir de la connaissance
explicite des valeurs (",) des interactions.
Valeurs numériques
Voici les valeurs numériques que nous avons adoptées. [4] Il est important
de s’assurer que les conditions de la simulation sont bien compatibles avec
l’état liquide du Néon.
Grandeur Valeur numérique
T (K) 35,05
^T 0,9517
3(g=cm ) 1,116
^ 0,7528
(A) 2,789
"=k 36,83b
m(uma) 20,183
FIG. 2.2 – Valeurs numériques utilisées pour simuler Ne(l).
Force extérieure
Nous appliquons également (de façon optionnelle) une gravité vers le so-
lide. Le liquide est donc comprimé sur le solide. Nous jugerons de l’intérêt et
de l’impact de cette gravité ultérieurement [voir 3.1.5].
2.1.4 Modélisation du milieu
Configuration initiale
Nous considérons une boîte cubique. Cette boîte est remplie pour moitié
des atomes de liquide (moitié supérieure) et pour moitié des atomes de solide
(moitié inférieure). Afin de s’assurer que le liquide sera en contact avec le so-
lide via une surface uniforme, les atomes de solide sont initialement répartis
sur les noeuds d’un réseau cubique simple. Afin d’appliquer la méthode de si-
mulation choisie, nous plaçons initialement les atomes de liquide de la même
façon, sur les noeuds d’un réseau cubique simple.
Nous avons choisi d’inclure dans la simulation 256 atomes de solide, soit
un réseau cubique simple de longueur 8x8x4.
Mathieu Bauchy - UPMC - Paris 6 - 15 Janvier 2009 5

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