Enseigner les mathématique

De
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  • exposé


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  • approche du modèle

  • dire au stade du traitement des situations particulières

  • développement des capacités d'argumentation, d'organisation et de communication

  • parcours d'apprentissage des élèves

  • particulier de l'apprentissage de la distinction entre les indices de contexte

  • exposé du savoir

  • pratique pédagogique


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Source : ac-nice.fr
Nombre de pages : 64
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Chapitre 1. INTRODUCTION
Tout enseignant et plus généralement tout formateur conçoit son enseignement en référence consciente ou subconsciente à un modèle pédagogique (et même inconsciente si lon en croit lapproche freudienne des phénomènes éducatifs), nous entendons ici le mot « modèle » comme synonyme du mot cadre. Ce cadre oriente les choix qui concernent, dune part, lorganisation des contenus et les approches didactiques et, dautre part, les activités qui supporteront les parcours dapprentissage des élèves. Au travers de ce guide pédagogique nous voulons indiquer aux professeurs de lycées professionnels les modèles et les pratiques pédagogiques qui paraissent aujourdhui les plus adéquats aux apprentissages des élèves. Les éléments qui sont ultérieurement exposés empruntent aux recherches contemporaines dans les domaines de la pédagogie et de la didactique des mathématiques. Le cadre pédagogique que pour notre part nous adoptons est cohérent avec celui avancé dans les commentaires pédagogiques qui accompagnent les programmes de formation. Nous faisons nôtres les objectifs, méthodes et contenus développés dans ces documents. Nous y relevons dailleurs des propos qui nous paraissent particulièrement importants : «Lenseignement des mathématiques, en contribuant au développement des capacités dargumentation, dorganisation et de communication met en pratique unedémarche mathématique: -mathématisation dun problème simple ; -travail dexpérimentation et de recherche ; -mise en uvre doutils et de raisonnements pour résoudre ce problème; -contrôle des résultats obtenus ; -analyse de la portée des résultats. La démarche consiste donc à bâtir des mathématiques le plus souvent possible à partir de problèmes apportés par les disciplines scientifiques et technologiques.»
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De façon synthétique et peut-être réductrice, nous pensons que les recommandations pédagogiques tendent à favoriser la mise en place dune pédagogie inductive centrée sur lélève. Cela veut dire que lélève se construit ses propres savoirs au travers de ses propres activités et des activités de structuration conduites par le professeur ; nous adhérons totalement à ce projet. Pourtant, nous avons pu remarquer de larges décalages entre ce projet et la pratique de lenseignement des mathématiques, notamment dans les classes préparant un Brevet dEtudes Professionnelles. En effet, les pratiques « expositives » restent encore largement dominantes dans les établissements et leur régression est très lente. Remarquons tout dabord que la principale faiblesse de la méthode expositive est quelle mobilise avant tout la parole du professeur (essayer un jour de chronométrer le temps de parole dun enseignant qui pratique cette méthode et le temps de parole des élèves, vous verrez cest édifiant et ça doit nous interpeller sur nos propos concernant les faiblesses des lycéens professionnels à loral). Or les distances linguistique et cognitive entre le professeur et les élèves sont telles que la communication est rendue difficile si elle sétablit à partir des propos de lenseignant, la communication sétablit plus aisément quand elle part des propos des élèves. Le professeur, qui peut alors sappuyer sur les représentations mentales évoquées par les élèves, guide le débat qui permet de rectifier, de reformuler, de verbaliser et de symboliser des savoirs structurés. Nous y reviendrons plus largement ultérieurement. Remarquons encore que lapproche inductive souvent adoptée dans lexposé du savoir est en général privée de sens car cet exposé juxtapose une procédure élaborée à partir dune situation problème particulière et la procédure générale adaptée à la famille de situations problèmes à laquelle appartient la situation particulière. Cette juxtaposition abusive et privée de rigueur scientifique élude lapprentissage de la reconnaissance des indices de compréhension dune situation et en particulier de lapprentissage de la distinction entre les indices de contexte et les indices de structure. Par là, elle ne permet pas aux élèves de faire accéder leurs apprentissages au stade de la pensée formelle, ceux-ci en restent au stade de la pensée concrète cest-à-dire au stade du traitement des situations particulières. Chacun peut sen rendre compte en observant les comportements dune majorité de jeunes devant des situations qui mettent en jeu des lettres(situations algébrisées). Les élèves ne conçoivent pas la lettre comme un symbole représentant lune quelconque
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des valeurs que peut prendre la lettre mais comme une valeur particulière, totalement abstraite. En somme, la lettre masque une valeur particulière quil est interdit de dévoiler tout au long du problème, sauf peut être à la fin. Voilà pourquoi certains veulent la remplacer par une valeur numérique explicite. Et pourquoi ne le pourraient-ils pas puisque le professeur paraît bien le pratiquer pendant le cours dans la mesure où il travaille ou fait travailler avec une (ou plusieurs) valeur(s) numérique(s) explicite(s) puis modélise avec une (ou plusieurs) lettre(s) ? Le professeur « masque » et lélève « démasque ». Nous avons employé ici un ton humoristique pour décrire et interpréter des comportements que la plupart des enseignants connaissent et/ou ont rencontré. .
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Chapitre 2. APPROCHE DU MODÈLE
Les premiers traits grossiers du contour du cadre pédagogique dans lequel sexerce larticulation entre lenseignement du professeur et lapprentissage de lélève résultent du choix par le maître : -de son interprétation épistémologique dominante ; de la théorie du développement quil adopte ; --la nature de la relation au savoir de lélève.de sa conception de 2.1. LES DIVERSES INTERPRETATIONS EPISTEMOLOGIQUES Il faut distinguer deux grands courants de pensée fondés sur : -lhypothèse considérant queles connaissances cherchent à atteindre des vérités permanentes, indépendantes de toute construction. Ce courant se scinde en fonction de la prise en considération de la relation objet/sujet : laccent peut être mis sur lobjet que le sujet saisit comme de lextérieur, sans activité propre de sa part. Les idées existent en elles-mêmes, sous forme duniversaux subsistant : οde façon immanente aux choses (intérieur aux choses ou noumène), cest leréalisme aristotélicien οde façon transcendante aux choses (extérieur aux choses), cest le rationalisme platonicien laccent peut être mis sur le sujet qui projette a priori ses cadres sur la réalité qui ne serait jamais totalement extérieure à lactivité du sujet. Ce sont les diverses formes didéalismeElles correspondent à des conceptions philosophiques qui ramènent lêtre à la pensée (BERGSON) ou qui font de la pensée le point de départ de toute connaissance de lêtre ou réalité (DESCARTES, MALEBRANCHE, LEIBNITZ) ou, au contraire, son point daboutissement (HEGEL).
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-lhypothèse considérant que laconnaissance se construit. Ce courant lui aussi se scinde selon les caractéristiques de la relation objet/sujet. lorsque laccent est mis sur lobjet il simprime sur un sujet passif. Cestlempirismequi considère que la connaissance humaine dérive toute entière, directement ou indirectement de lexpérience sensible (LOCKE, HUME, MILL); lorsque laccent est mis sur le sujet alors celui-ci modèle le réel en fonction de son activité. Cestle pragmatisme qui privilégie la pratique à la théorie, la conséquence aux principes et qui cherche le critère de vérité dans laction (PIERCE, JAMES, DEWEY); enfin lorsque la relation entre objet et sujet est indissociable cest le relativisme qui, partant du monde sensible et sans se couper de lui, construit une «image du monde réel» présentant un maximum de cohérence et de logique interne. 2.2. LES THÉORIES DU DÉVELOPPEMENT AU XXèmeSIECLE Sur les interprétations épistémologiques précédentes se sont développées des théories du développement. Nous appelonsdéveloppement transformation continue de lêtre toute humain au cours de sa vie, tant physique que psychique, qui passe par des stades à peu près semblables qui servent de point de repère pour apprécier la maturité affective, la maîtrise de soi, la conception dun idéal moral et social. Cette transformation continue inclutles processus dapprentissage Doù lintérêt du pédagogue pour les théories de lapprentissage dans la mesure où sa mission est de guider et daccompagner le développement dun sujet en puissance donc de favoriser les apprentissages qui feront du «petit dhomme» un être social-historique ou encore un nouvel habitant de lhumanité. La problématique fondamentale de lapprentissage repose sur la relation entre le sujet apprenant et lobjet de lapprentissage, le pédagogue structurant le lien. Les deux courants de pensée évoqués dans le paragraphe sur les interprétations épistémologiques ont engendré deux courants pédagogiques fondamentaux. Ce qui les distingue cest le paradigme qui les fonde. Ainsi deux paradigmes sont repérables :la découverte(qui saccommode de la permanence des
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choses dans le monde ou encore de noumènes) etla construction(qui considère que toute connaissance est un construit social-historique). Le paradigme de la découverte se sépare en deux selon que le processus de découverte du savoir - terme à prendre au sens de ôter ce qui couvre - est conduit par ladulte ou par lenfant. Dans le premier cas cela a donné naissance au courant dit classique la pédagogie illustré par la philosophie platonicienne ou néo de platonicienne (le philosophe ALA1N du début du XXème). Dans le second cela a donné naissance aucourantditnovateurillustré par J.J. ROUSSEAU. Le paradigme de la construction du savoir est contemporain. Deux scientifiques francophones ont joué un rôle essentiel dans son élaboration : dune part, J. PIAGET au travers de ses travaux pour constituer une épistémologie génétique et, dautre part, H. WALLON au travers de ses travaux sur la psychologie. Pour ces deux scientifiques le savoir (à enseigner) ne peut se réduire à un donné constitué, voire achevé que lenfant doit sapproprier en létat dans un processus personnel ; cest lenfant quise construit son propre savoir au travers de activités (activités qui sinsèrent dans un projet pédagogique), ce savoir possède un certain degré defficacité et donc des limites. 2.3. LA RELATION AU SAVOIR Les didacticiens ont coutume de schématiser cette approche par le triangle didactique suivant :
Les types de relations, univoques ou biunivoques, que choisit lenseignant entre les trois composants, constituent des indicateurs essentiels du modèle pédagogique adopté par ce dernier. Très schématiquement, lorsque lélève est le principal sujet de la relation pédagogique, le modèle pédagogique activé est celui de lauto-structuration1 ou 1Expression employée par :NOT L.-Les pédagogies de la connaissance. Toulouse, Privat, 1979
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encore pédagogie du « je ». Lélève apprend par réflexion/structuration sur ses propres activités mentales et physiques. Cela nécessite donc de la part de lélève la capacité à mettre à distance ses propres actions afin de les mettre en position dobjets susceptibles danalyse critique. Lorsque cest le maître qui est le principal sujet de la relation pédagogique, le modèle pédagogique activé est celui de lhétéro-structuration ou encore pédagogie du « il ». Lélève apprend en sappropriant les savoirs structurés présentés, montrés, dévoilés par le maître. Le processus dappropriation nest pas différent dans ces deux premiers cas. Le cur de la problématique porte alors que le désir dapprendre; dans le cas de lauto-structuration2désir est présent puisque cest lapprenant qui a choisi lobjetle «à apprendre» alors que dans le cas de lhétéro-structuration3 cest le maître qui a choisi lobjet « à faire apprendre ». Nous revenons ultérieurement sur cette problématique. Enfin, lorsque la position de sujet dans la relation éducative alterne entre lélève ou les élèves et le maître, le modèle activé est celui de linter-structuration ou encore pédagogie du « tu » Lélève apprend au travers du jeu dinteractions qui . sinstalle entre les réflexions sur ses propres activités et les questionnements structurants du maître. Cest ce dernier modèle qui nous paraît le mieux adapté à lenseignement des mathématiques en lycée professionnel. En effet, lorsquil sagit dun groupe, le modèle de lhétéro-structuration, pourtant toujours dominant, nécessite un certain nombre de conditions pour être efficace. Tous les élèves doivent, entre autres : - posséder à peu près les mêmes connaissances et compétences disciplinaires et en particulier les prérequis à lappropriation dun nouveau savoir ; posséder les mêmes registres lexicaux et sémantiques que par ailleurs le -maître doit connaître pour les adopter lors de son exposé; -désirer sapproprier au même moment les savoirs exposés; -disposer de processus dappropriation ou encore processus cognitifs quasi identiques.
2Autre expression employée parLouis NOT 3Autre expression employée parLouis NOT
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Nous proposons une autre schématisation de la relation pédagogique correspondant à notre propre approche du triangle élève-maître-savoir. Elève Maître Savoir La relation biunivoque entre le maître et lélève est médiée par le savoir. Cela signifie que cest le maître qui établit le cadre didactique au sein duquel seffectuera lapprentissage, cest lui qui choisit les situations-problèmes4 qui serviront de support aux apprentissages. Il met les élèves en situation dactivité en leur proposant des tâches. Lélève devient sujet lorsque, face à une tâche, il mobilise ses connaissances et ses compétences dans le but de la réaliser. Nous optons donc pour une relation pédagogique interactive. Ce choix déplace, nous semble-t-il, la fonction de lenseignement vers lapprentissage de lélève. Dun enseignement plutôt centré sur les savoirs à transmettre où la qualité de lexposé est essentielle, nous passons à un enseignement plutôt centré sur lélève, où la qualité des activités qui lui sont proposées est essentielle. Il reste cependant deux problèmes majeurs en suspend auxquels se heurte lenseignant et que nous abordons un peu plus loin: - comment stimuler lenviele problème de la « motivation » : dapprendre, car la relation pédagogique ne peut sinstaller que si les protagonistes ont lintention, désirent communiquer ? -le problème de la mémorisation comment favoriser la mémorisation : des savoirs étudiés, car ces savoirs devront pouvoir être mobilisés, réinvestis ultérieurement ? Au total, nous passons dun point de vue éducatif centré sur la distribution de savoirs à un point de vue éducatif centré sur lapprentissage de connaissances et de compétences. Il nous faut alors nous interroger : quest-ce quapprendre ? quelles sont les activités mentales (ou encore processus) que lélève met en oeuvre lorsquil apprend ? quels peuvent être les freins, voire les obstacles, à lapprentissage ? quels sont les 4Nous entendons par situation-problème, une situation de vie quotidienne ou de vie professionnelle ou même de la discipline qui supporte un problème qui a du sens. Nous y revenons ultérieurement.
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facteurs qui favorisent lapprentissage ? quelle est la place du maître dans le déroulement de lapprentissage ? comment peut-on vérifier quil y a bien eu apprentissage ? Il ne sagit là bien entendu que dune esquisse de problématique, mais les éléments de réponses que nous proposons constituent des points de repère suffisants pour que le lecteur se fasse une représentation judicieuse du cadre pédagogique dans lequel sexerce laction de lenseignant.
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Chapitre 3. LES CHOIX PÉDAGOGIOUES
La communauté des chercheurs en pédagogie et en didactique admet aujourdhui que le sujet construit son propre savoir au travers de ses propres activités, quelles soient observables ou mentales. La notion de construction du savoir est donc une notion dynamique, le savoir passe dun état initial à un état final par lintermédiaire dactions menées par le sujet. Disons tout de suite que cette construction ne se réduit pas à un processus rationnel et donc programmable, bien des facteurs non rationnels interviennent dont notamment limagination dans sa dimension création dêtres nouveaux. Ces créations, émergences au sein dune activité intentionnelle du sujet font lobjet de recherches actuellement. En première approximation, certains chercheurs considèrent que le savoir, dans sa dimension cognitive, est un réseau de notions et de procédures qui dotent le sujet de moyens daction sur le monde. Apprendre, ou encore sapproprier un savoir nouveau, consiste en un déséquilibre du réseau initial par lapport de notions et de procédures nouvelles, suivi dune réorganisation vers un nouvel état déquilibre du réseau final ; cette réorganisation est appelée structuration du savoir. Bien sûr, le mécanisme réel dapprentissage est beaucoup plus complexe que cette description sommaire et laisse de côté des questions importantes telles que : comment ces savoirs nouveaux peuvent-ils émerger au sein du réseau ? quest-ce qui est susceptible de déséquilibrer ce réseau ? Ce qui accentue la complexité des processus dapprentissage cest quils font appel à des capacités mentales, certains parlent même dinstruments mentaux et même de « gestes mentaux », qui sont difficiles daccès et qui ont une « géographie» différant dun individu à lautre. Nous sommes ici confrontés à laspect individuel de lapprentissage. En effet, les enseignants sont parfaitement conscients de lhétérogénéité des classes, hétérogénéité non seulement au niveau des acquis scolaires mais aussi au niveau des capacités daccès au savoir de la part des élèves. Ce phénomène nest pas nouveau, contrairement à ce que lon croit trop souvent, y compris dans le monde enseignant,
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