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Geometrie differentielle appliquee a la physique Cours M2 - Lyon 1 - automne 2010 Alessandra Frabetti Institut Camille Jordan, CNRS UMR 5028, Universite Lyon 1, 21 avenue Claude Bernard, 69622 Villeurbanne, France. 17 decembre 2010 Version provisoire, car erreurs eparpilles, preuves incompletes et texte superficiel surout a la fin. Merci de me signaler erreurs et commentaires en ecrivant a frabetti@math.
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Publié le : lundi 26 mars 2012
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Geometrie di erentielle appliquee a la physique
Cours M2 - Lyon 1 - automne 2010
Alessandra Frabetti
Institut Camille Jordan, CNRS UMR 5028, Universite Lyon 1,
21 avenue Claude Bernard, 69622 Villeurbanne, France.
frabetti@math.univ-lyon1.fr
17 decembre 2010
Version provisoire, car erreurs eparpilles, preuves incompletes et texte super ciel
surout a la n.
Merci de me signaler erreurs et commentaires en ecrivant a
frabetti@math.univ-lyon1.fr
1M2 Lyon { Cours de Geometrie 2010 9 Groupes et algebres de Lie 48
9.1 Groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
9.2 Champs de vecteurs invariants et algebre de Lie . . . . . 48
9.3 Application exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Table des matieres
9.4 Actions adjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
9.5 Metrique invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 Action et equations d’Euler-Lagrange 3
1.1 Espace des con gurations, espace des vitesses et espace
10 Action d’un groupe de Lie sur une variete 51des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
10.1 Action d’un groupe de Lie sur une ve . . . . . . . . 511.2 Principe de moindre action et equation du mouvement . 3
10.2 Espace des orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.3 Lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
10.3 Applications G-equivariantes . . . . . . . . . . . . . . . 521.4 Equation d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 4
10.4 Champ fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.5 (*) Equations d’Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Exemples d’equations d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . 5
11 Fibres principaux et bres associes 53
11.1 Fibre principal de groupe G . . . . . . . . . . . . . . . . 532 Varietes di erentiables 7
11.2 Groupe structural d’un bre principal . . . . . . . . . . 542.1 (*) Rappels de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
11.3e de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2 Varietes di erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
11.4 Fibre associe a un bre principal . . . . . . . . . . . . . 552.3 Exemples et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
11.5 Reduction du groupe structural . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4 Applications di erentiables et di eomorphismes . . . . . 9
2.5 Fonctions reelles sur une variete . . . . . . . . . . . . . . 9
12 Connexions principales et courbure 58
2.6 Courbes parametrees sur une variete . . . . . . . . . . . 10
12.1 sur un bre principal . . . . . . . . . . . . . 58
2.7 Espace tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
12.2 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.8 Vecteurs tangents et derivations . . . . . . . . . . . . . . 11
12.3 Connexion induite sur les bres associes . . . . . . . . . 59
2.9 Di erentielle d’une application . . . . . . . . . . . . . . 12
2.10 Immersions, plongements et sous-varietes . . . . . . . . 13 References 60
2.11 Submersions et bres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Fibres vectoriels et espaces de sections 14
3.1 Fibres v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Morphismes entre bres sur la m^eme variete . . . . . . . 16
3.4 Fonctions de transition et groupe structural . . . . . . . 17
3.5 (*) Tenseurs de type (p;q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.6 Algebre lineaire avec les bres vectoriels . . . . . . . . . 18
4 Champs de vecteurs 20
4.1 Fibre tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Transport d’un champ par un di eomorphisme . . . . . 21
4.4 Courbes integrales et ots . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.5 (*) Derivee de Lie des champs de vecteurs . . . . . . . . 22
5 Formes di erentielles 23
5.1 Fibre cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2 Formes di erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3 Transport d’une forme par une application . . . . . . . . 24
5.4 (*) Contraction de formes par un champ de vecteur . . . 24
5.5 (*) Derivee de Lie des formes di erentielles . . . . . . . 25
5.6 Di erentielle exterieure ou de de Rham . . . . . . . . . . 25
5.7 Cohomologie de de Rham, Lemme de Poincare . . . . . 26
5.8 Formes di erentielles a valeur dans un bre . . . . . . . 26
6 Connexions sur bres vectoriels 27
6.1 Relevement horizontal sur un bre . . . . . . . . . . . . 27
6.2 Connexion sur un bre vectoriel . . . . . . . . . . . . . . 30
6.3 Transport parallele et holonomie . . . . . . . . . . . . . 32
6.4 Derivee et di erentielle covariante . . . . . . . . . . . . 32
6.5 Courbure d’une connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.6 Identite de Bianchi en version covariante . . . . . . . . . 34
7 Varietes orientables et integration 36
7.1 Partition de l’unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.2 Varietes orientables et forme volume . . . . . . . . . . . 37
7.3 Integration des formes di erentielles . . . . . . . . . . . 38
7.4 Varietes a bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.5 Theoreme de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8 Varietes (pseudo-) riemanniennes et connexion de Levi-
Civita 40
8.1 Champs de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.2 (*) Espace vectoriel metrique . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.3 Varietes avec metrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.4 Isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.5 Longueur des courbes, volume des domaines . . . . . . . 41
8.6 Operateur de Hodge et co-di erentielle . . . . . . . . . . 42
8.7 Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.8 Geodesiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.9 Courbure riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.10 de Ricci et courbure scalaire . . . . . . . . . . 463
1 Action et equations d’Euler-Lagrange
1.1 Espace des con gurations, espace des vitesses et espace des phases
Un systeme mecanique (classique) est donne en chaque instant par ce que l’on appelle une con guration q.
Appellons C l’espace des con gurations.
1 m{ Si le systeme decrit des particules macroscopiques, une con guration est un vecteur ( q ;:::;q ) qui reunie leurs infor-
i mmations reellesq , etC est en general une variete localement di eomorphe a R , c’est a dire une variete di erentiable.
3 3 6Par exemple, pour deux points materiels dans l’espace on a C =R R =R et q = (x ;y ;z ;x ;y ;z ), pour1 1 1 2 2 2
2 1 2un point contraint sur une sphere on a C =S et localement q = (x ;x ).
{ Si le systeme decrit des ondes, ou des particules microscopiques qui sont assimiles a des ondes, une con guration
1 mest un ensemble de champs ( ;:::; ), c’est- a-dire un ensemble de fonctions ou de sections d’un bre sur une
3variete di erentiable M (typiquement l’espace EuclidienR ou l’espace de MinkowskiM). Dans ce cas, l’ensemble
des con gurations C est en general localement di eomorphe a un espace vectoriel (et parfois globalement) mais de
dimension in nie. Par exemple, on peut avoir q =X, un champ de vecteurs sur M, et C = X(M), ou bien q =A,
1une 1-forme sur M a valeurs dans une algebre de Lie g, et C =
(M;g).
Admettons que, au del a des problemes qui peuvent surgir en cas de dimension in nie, ces deux types de systemes puissent
^etre decrit de fa con analogue.
Le systeme est dynamique lorsque les con gurations bougent dans le temps, sous l’e et de forces, et decrivent des
courbes orientees dans C. Le systeme dynamique est alors connu si pour toute con guration de depart q on connait son0
evolution dans le temps . Nous allons illustrer dans cette introduction que se trouve comme solution d’une equation
di erentielle du deuxieme ordre, et qu’elle depend donc non seulement de la con guration q mais aussi d’une autre0
quantite de depart (la vitesse ou l’impulsion).
La vitesse d’une con guration q en mouvement le long d’une courbe est un vecteurv tangent a enq. L’ensemble
des vitesses est donc le bre tangent TC (ou son analogue si C est de dimension in nie). L’ impulsion est une forme
lineaire p sur l’ensemble des vitesses, i.e. un co-vecteur. L’ensemble des impulsions est donc le bre cotangent T C et
s’appelle espace des phases.
1.2 Principe de moindre action et equation du mouvement
Le principe de action a rme que :
Pour tout systeme mecanique il existe une fonctionelle S[] des courbes sur C, appellee action, qui a un
minimum dans les trajectoires des con gurations.
Autrement dit :
Un systeme evolue de la con guration q a la con guration q le long d’une courbe qui joigne q a q si et1 2 1 2
seulement si minimise l’action S[].
En particulier, une telle courbe est un extremum de l’action [N.B. cette condition n’est pas su sante pour assurer
que soit un minimum de S[]], c’est- a-dire qu’elle annulle la derivee fonctionelle de S,
?S[] d ?
:= S[ +" ] = 0; (1)?
d" "=0
ou varie parmi les courbes avec extr^emes xesq etq . Cette equation s’appelle equation du mouvement du systeme.1 2
1.3 Lagrangien
L’actionS[] est une integrale curviligne le long de la courbe d’extremesq etq . L’integrand est une fonction reelle1 2
qui depend du tempst2R, des con gurations q2C le long de, et de leurs vitessesv2T C. Si on parametrise la courbeq
par le tempst, on appelleq(t) les le long de ett ,t les deux temps tels queq(t ) =q etq(t ) =q , alors1 2 1 1 2 2
la vitesse de deplacement des con gurations est donnee par les vecteurs v(t) = q_(t) tangent a , et l’integrale d’action
peut ^etre ecrit comme une integrale sur t.
Un Lagrangien sur C est une fonction L :RTC! R, de domaine eventuellement restreint a un sous-ensemble
deRTC, telle que
Z t2
S[] = L(t;q(t);v(t)) dt: (2)
t1
Dans un systeme mecanique, le Lagrangien est lie a l’energie du systeme, et typiquement on a L = T V , ou T est
l’energie cynetique et V est l’energie potentielle du systeme. A noter que L n’est pas l’energie totale du systeme, qui est
H =T +V .
Un Lagrangien s’appelle autonome s’il ne depend pas explicitement du temps t2R. Dans ce cas L est une fonction
L : TC! R de la forme L(q(t);v(t)) qui depend implicitement de t. A partir de maintenant, on ne considere que des
Lagrangiens autonomes.6
4
1.4 Equation d’Euler-Lagrange
En termes du Lagrangien, l’equation du mouvement (1) s’appelle equation d’Euler-Lagrange et devient le systeme
d’equations
d @L @L
(q(t);v(t)) (q(t);v(t)) = 0; i = 1;:::;m (3)
i idt@v @q
1 mou l’indeterminee est la courbe parametree localement parq(t) = (q (t);:::;q (t)), avec extremesq(t ) =q etq(t ) =q1 1 2 2
1 m xes, et vitesse v(t) =q_(t) = (v (t);:::;v (t)).
R
t 02Preuve. Soit S[] = L(t;q(t);v(t))dt avec (t) =q(t) et (t) =v(t) telle que (t ) et (t ) xes. Considerons des1 2
t1
variations in nitesimales de la courbe qui xent les extremes, i.e. telles que (t ) =(t ) = 0. Alors on a1 2
" #Z? t ? ? ?2 X Xd @L dt @L d @L d i? ? ? ?i i i _S[ +" ] := + (t) +" (t) + _ (t) +" (t) dt? ? ? ?
i id" @t d" @q d" @v d""=0 "=0 "=0 "=0t1 i i
Z Zt 2 t 2 2X X@ L @L i @L d @Li i_= (t) + (t) dt = (t) dt; (4)
i i i i@q @ @v @q dt@vt t1 1i i
parce que
Z Z Zt t t t2 2 2 2@L i @L d @L d @Li i i_ (t) dt = (t) (t) dt = (t) dt:
i i i i@v @v dt@v dt@vt t t1 t 1 11
XS[] @L d @L
On a alors que = 0 pour toute variation in nitesimale si et seulement si = 0. Ceci se
i i @q dt@v
i
@L d @L @L d @Lveri e si et seulement si on a = 0 pour tout i. En eet, si (t) = est une composantei i i@q dt @vi i@q dt@v
inon nulle en un t2]t ;t [ quelconque, alors une variation avec i-eme composante (t) = f(t) n’annulle pas1 2 i
l’integrale (4) si f 0 et f(t ) =f(t ) = 0. 1 2
Chaque equation (3) est une equation di erentielle du deuxieme ordre en q(t) :

2 2X @ L @ L @Lj jq (t) + q_ (t) = 0; i = 1;:::;m;
i j i j i@v @v @v @q @q
j
ou toutes les derivees de L sont calculees en (q(t);q_(t)). Si le Lagrangien est regulier, c’est- a-dire que localement on a
2@ L
det = 0, cette equation devient
i j@v @v
i iq (t) =F (q(t);q_(t)); i = 1;:::;m;
1 mou F = (F ;:::;F ) est un vecteur de ni sur ( q;v) par l’identite matricielle
12 2@ L @ L
F = gradL v :
i j i j@v @v @v @q
31.1 Exercice. Trouver l’equation d’Euler-Lagrange d’une particule deR de masse m dans un champ de force conser-
~vative F = grad U : l’action est
Z t2 1 2S[q] = mjjv(t)jj U(q(t)) dt:
2t1
Reponse. FINIR
1.5 (*) Equations d’Hamilton-Jacobi
En n, si pour toute con guration q ayant vitesse v on appelle
@L(q;v){ impulsion : le vecteur p2T C de coordonnees p (q;v) = , i = 1;:::;miq i@v
@L(q;v)
{ force : le vecteur f de composantes f (q;v) = , i = 1;:::;mi i@qP
i{ Hamiltonien : la fonction reelle H(q;p) = p v (q;p) L(q;v(q;p)), ouv =v(q;p) est obtenue en inversantii
la fonction p =p(q;v),5
alors l’equation d’Euler-Lagrange devient le couple suivant d’equations di erentielles du premier ordre en ( q(t);p(t)) :
8
@Hi>< q_ (t) = (q(t);p(t));
i@p i = 1;:::;m; (5)
@H>: p_ (t) = (q(t);p(t));i
@qi
qui s’appellent equations d’Hamilton-Jacobi.
L’HamiltonienH est egal a l’energie totale du systeme,T +V . L’interet de la formulation Hamiltonienne de l’equation
du mouvement est qu’elle manifeste la structure symplectique de l’espace des phases T C, auquel appartient le couple
(q(t);p(t)). Cet aspect des systemes dynamiques n’est pas traite dans ce cour, voir le cours de V. Ovsienko sur les systemes
integrables.
1.6 Exemples d’equations d’Euler-Lagrange
1) Geodesiques { lagrangien d’energie
P1 1 i jLagrangien d’energie : L(X) = g(X;X) = g (X ;X )iji;j2 2
M = variete (pseudo-) riemannienne orientable de dimension m avec metrique g
X2X(M) = champ de vecteurs sur M = section du bre tangent TM (i.e. X 2T M pour tout x2M)x x
r = connexion de Levi-Civita sur TM (fonction de g)
r
= transport parallele induit parr,
dt Pr_(t) i i j kEquation des geodesiques : = 0, i.e. x (t) + ((t)) x_ (t) x_ (t) = 0dt j;k kj
=) geodesique = trajectore d’un mouvement inertiel
Espace des con gurations : C =M variete (pseudo-) riemannienne orientable de dimension n
2) Geodesiques { lagrangien de longueur
q
1Lagrangien de longueur : L(X) = g(X;X).2
Idem, mais ce Lagrangien est invariant par reparametrisation des courbes. Ceci laisse un degre de liberte : il y a
m 1 equations d’Euler-Lagrange linearement independentes qui ne permettent pas de trouver une solution unique.
Si on ajoute la condition que la vitesse ait module constant (g(_ (t);_ (t)) = c) on obtient comme solution les
geodesiques. [Postnikov, p.143-144]
3) Champs de jauge { Yang-Mills (relativite restreinte)
Z
1
Action de Yang-Mills dans le vide : S [A] = tr (F^?F )YM
2 M
3
M =RR espace-temps = variete de Minkowski avec metrique = diag( 1; 1; 1; 1)
P =P (M;G) = bre principal sur M de groupe G et algebre de Lie g
q q+1
d :
(M)!
(M) = di erentielle de de Rham
q 4 q
? :
(M)!
(M) = operateur de Hodge
q q 1 =? d? :
(M)!
(M) = application de bord d’homologie
4 4 tr :
(M;g)!
(M) = trace
r =r +A = connexion principale sur P , avecr plate0 0
1 A2
(M;g) = potentiel vecteur
1 F = dA +A^A2
(M;g
g ) = courbure der
G 1Groupe de jauge : Aut (P ) C (P;G)=M
Identite de Bianchi : dF = 0
Equation de Yang-Mills dans le vide : F = 0 i.e. d(?F ) = 0
1~ ~ J =dt J dr2
(M) champ source exterieure (densite de charge et densite de courant J)
Equation de Yang-Mills : F =J
@2 ~ de continuite : 0 = F =J = +rJ@t
Espace des con gurations : C =f connexions principales sur un bre principal g
4) Champ electromagnetique { Maxwell
Z
1
Action de l’eletisme = Yang-Mills avec G =U(1) : S [A] = F^?FMaxwell
2 M
1
u(1) =R, donc A2
(M) et A^A = 0
2
u(1)
u(1) =R, donc F = dA2
(M)6
Equations de Maxwell I : dF = 0
Equation deell II : F =J (dans le vide : d?F = 0)
5) Metrique { Hilbert-Einstein (relativite generale)
Z Z
p
m
Action de Hilbert-Einstein dans le vide : S [g] = R vol = R j detgjd xHE
M M
M = variete de dimension m orientable

g2 ( M;T M_T M) = metrique pseudo-Riemanienne
m vol2
(M) = forme volume
r = connexion de Levi-Civita sur TM
D = derivee exterieure covariante determinee parrr
R =R = tenseur de courbure de Riemann

R =R = tenseur de de Ricci

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