Equations de Schrodinger stochastiques

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Equations de Schrodinger stochastiques Clement Pellegrini Universite Claude Bernard Lyon1 Institut Camille Jordan 1

  • phenomene de reduction du paquet d'onde

  • longements des operateurs pi

  • trajectoires quantiques sur la chaıne infinie

  • trace partielle sur h0

  • trajectoires quantiques

  • chaıne

  • h0 ?h


Publié le : mardi 19 juin 2012
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EquationsdeSchro¨dingerstochastiques
Cl´ementPellegrini
Universit´eClaudeBernardLyon1
Institut Camille Jordan
pelleg@math.univ-lyon1.fr
1
1) Trajectoires quantiques discretes `
Interaction simple
Onconsid`erenuptetiystsme`eH'
0 C N ´equipe ´ dun´etat ρ en contact avec une copie de la chaˆıne H munitdele´tat β
Lesyste`mecoupl´e:( H 0 ⊗ H , ρ β )
Linteractionestd´ecriteparununitaire
U = exp( ihH tot ) Nouvele´tatapr`esinteraction: U ( ρ β ) U ?
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Mesure indirecte sur H
Soit A = P ip =0 λ i P i une observable de H et I A son prolongement sur H 0 ⊗ H .
n o serve e O b λ i avec probabilit´ P [observer λ i ] = T r [ U ( ρ β ) U ? I P i ]
Phe´nome`nedere´ductiondupaquetdonde, apre`sobservationde λ i ,lenouvel´etatsur H 0 H est
ρ ˜ 1 I P i U ( ρ β ) U ? I P i i = T r [ U ( ρ β ) U ? I P i ]
Nouvele´tatsur H 0 : ρ i 1 = E 0 h ρ i i , ˜ 1 o`u E 0 de´signelatracepartiellesur H 0 par rap-porta` H
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Trajectoiresquantiquessurlachaˆıneinnie
Commelachaıˆneestsuppos´eeinnie,lespace d´etatestde´critpar Γ = H 0 O H k , H k ' H k =1 munitdele´tat µ = ρ O β k , β k ' β k =1 Linteractionnum´ero k estd´ecriteparununi-taire U k qui agit sur H 0 tenseur H k comme lop´erateur U etlidentit´eailleurs.
Lesinteractionsre´p´ete´essontdoncde´crites par
V k +1 = U k +1 V k ( V 0 = I Le´tat µ apr`es k interactions est donc µ k = V k µV ? k
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(1)
Mesure au site k
Soit A = P ip =0 λ i P i une observable de H k et k 1 A ( k ) = I O I A O I, i =1 j k +1 son prolongement sur Γ , on note P i ( k ) les pro-longementsdesop´erateurs P i .
Si α estune´tatsur Γ alors P [observer λ i ] = T r α P i ( k )
Mesuresr´epe´t´ees
Lespacedeprobabilit´ede´crivantlasuitede mesures est donc Σ N ? avec Σ = { 0 , . . . , p } , les indices des valeurs propres de A .
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On munit Σ N ? de la tribu cylindrique C en-gendr´eeparlescylindres Λ i 1 ,...,i k = { ω Σ N ? 1 = i 1 , . . . ω k = i k }
Onde´nitalorslop´erateur
µ ˜ k ( i 1 , . . . , i k ) = I P i 1 . . . P i k . . . µ k I P i 1 . . . P i k . . . = P i ( k k ) . . . P i ( 1 1) µ k P i ( 1 1) . . . P i ( k k ) . (2) Cestle´tatnon-normalise´obtenusionavait observe´lesvaleurspropres λ i 1 , . . . , λ i k . On pose alors P i 1 ,...,i k ] = P h observer λ i 1 , . . . , λ i k i = T r h µ ˜ k ( i 1 , . . . , i k ) i . Graˆceauthe´ore`medeconsistencedeKolmo-gorovcelad´enituneuniquemesuredepro-babilite´surΣ N ? munit de la tribu C .
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Onde´nitalorslatrajectoirequantiquediscr`ete ˜ ρ k sur Γ .
ρ k : Σ N ? B ( Γ ) ˜ ˜ k ( ω 1 ,...,ω k ) ω 7Tµ [ µ ˜ k ( ω 1 ,...,ω k )] r
Trajectoires quantiques sur H 0
On pose pour tout ω Σ N ? et pour tout k N ?
e´dsign
ρ k ( ω ) = E 0 [ ρ ˜ k ( ω )] .
eal
Ici E 0 toutelachaˆıne.
traecaptreillepraarppo
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tra`
Proposition 1 Latrajectoirequantiquediscre`te ( ρ k ) estunechaıˆnedeMarkovsur N ? , C , P ) a`valeurdansles´etatsde H 0 . Demanie`repluspr´ecisesi ρ k = θ k ou` θ k estune´tatsur H 0 ,alorsl´etatale´atoire ρ k +1 prend l’une des valeurs suivantes T r L [ i L ( i θ ( k θ ) k )] , i = 0 , . . . , p (3) avec L i ( θ k ) = E 0 [ I P i U ( θ k β ) U ? I P i ] . Chaquepossibilit´epour ρ k +1 apparaıˆtavec probabilit´e p i ( θ k ) = T r U ( θ k β ) U ? I P i .
On a alors ρ k +1 = p X L i L ( i ρ ( k ρ ) k )] 1 ik +1 , i =0 T r [ ou 1 ik +1 ( ω ) = 1 i ( ω k +1 ) pour tout ω Σ N ? . `
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tAmoe`adeuxinveauxcasH
0
=H=
C 2
La trajectoire ( ρ k ) satisfait L 0 ( ρ k ) k + = ρ k +1 p 0 ( ρ k ) 1 01 + L p 11 (( ρρ kk )) 1 k 1+1 1 k 1+1 p 1 ( ρ k ) On pose alors X k +1 = p ( ρ k ) p 1 ( ρ k ) . 0
X)ofrmeuneb.o.nde
La famille ( 1 , k +1 L 2 ( { 0 , 1 } , p 0 ( ρ k ) δ 0 + p 1 ( ρ k ) δ 1 ) . Dans cette base la trajectoire quantique ( ρ k ) satisfait
ρ k +1 = L 0 ( ρ k ) + L 1 ( ρ k ) + v u t pp 01 (( ρρ kk )) L 0 ( ρ k ) + u tv pp 01 (( ρρ kk )) L 1 ( ρ k ) X k +1 Introduisons maintenant le temps d’interaction
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Comportement asymptotique
Introduisons h = 1 /n le temps entre deux in-teractions successives. On rappelle que L i ( ρ k ) = E 0 [ I P i ( U ( n )( ρ β ) U ? ( n )) I P i ] , ou` U ( n ) = exp( i n 1 H tot ).
pour etudier le comportement asymptotique de ´ la trajectoire ( ρ k )a`partirducomportement asymptotique de U ( n ), il faut expliciter L i ( ρ k ) entermesdope´rateurssur H 0 . Pour cela on fixe une base { Ω 0 , Ω 1 } de H 0 = H = C 2 .
On choisit la base B = { Ω 0 Ω 0 , Ω 1 Ω 0 , Ω 0 Ω 1 , Ω 1 Ω 1 } pour le produit tensoriel H 0 ⊗ H .
Onchoisitl´etatdere´fe´rencedusyst`emeca-ract´eristiquedelachaıˆnedansle´tatvide:
β = | Ω 0 ih Ω 0 | .
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Dans la base B ,lop´erateurunitaire U ( n )se´crit U ( n ) =  UU 1000 (( nn )) UU 1011 (( nn )) ! (4) s oper ou`les U ij ( n ) sont de ´ ateurs sur H 0 .
Ste´phaneAttaletYanPautratontmontre´alors que les coefficients U ij ( n ) devaient satisfaire desasymptotiquespre´cisespourquelope´rateur
V [ nt ] = U [ nt ] U [ nt ] 1 . . . U 1 convergeversunop´erateur V ˜ t . La famille ( V ˜ t ) satisfait une e´quationdeLangevinquantique de´crivantunmod`elecontinudinteractionentre H 0 et un espace de Fock. Ici on pose donc U 00 ( n ) = I + n 1 iH 0 21 CC ? + n 1 U 10 ( n ) = 1 C + 1 n n
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