Equations differentielles et calcul variationnelle

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Chapitre 4 Equations differentielles et calcul variationnelle Introduction Les equations differentielles, au sens litteral les equations qui font intervenir une fonction (scalaire, ou vectorielle) et ses derivees jusqu'a un ordre n donne, soit (E) F (t, y, y?, · · · , y(n)) = 0 forment l'expression la plus courante des lois d'evolution de sytemes physiques. Ces sytemes sont materialises par la fonction t 7? y(t) ? Rm, le systeme depend de m parametres, et un parametre d'evolution, appele le temps. L'equation la plus simple est y?(t) = f(t) ou f(t) est supposee definie continue sur un intervalle I. Si t0 ? I, on sait que la seule solution qui prend la valeur C en t0 est yC(t) = C + ∫ t t0 f(u) du Cette equation est donc ”en theorie” completement resolue par une seule qua- drature (integrale). Caracteristique des des solutions : dans le plan (t, y) les graphes des courbes yC , si C varie, sont translates dans la direction de Oy de l'un d'eux, donc disjoints deux a deux. Plus generalement, soit un systeme a deux ”parametres” R(t) = (x(t), y(t)), les vecteurs R?(t) et R??(t) representent toujours la vitesse et l'acceleration du mouvement.

  • condition initiale

  • equations differentielles

  • courbe integrale du champ

  • bornes de l'intervalle de definition

  • equation

  • graphes des courbes yc


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
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Chapitre 4
Equationsdie´rentielleset calcul variationnelle
Introduction Les´equationsdie´rentielles,ausenslitte´rallese´quationsquifontintervenir unefonction(scalaire,ouvectorielle)etsesde´riv´eesjusqua`unordren´e,donn soit (E)F(t, y, y0,∙ ∙ ∙, y(n)) = 0 formentlexpressionlapluscourantedesloisde´volutiondesyt`emesphysiques. Cessyt`emessontmat´erialise´sparlafonctiont7→y(t)Rm`tmesesyepdndee´,l demtr`e´ednptuamarrte`e,sepmara.L´equaeletemps,npaep´lvelotuoialnoit plus simple est y0(t) =f(t) ` ouf(tinnuteesuornutnilneiecrdv´ael´seepuopsest)I. Sit0I, on sait que la seule solution qui prend la valeurCent0est yC(t) =C+Zt0tf(u)du Cettee´quationestdoncenth´eoriecomple`tementre´solueparuneseulequa-drature(inte´grale).Caract´eristiquedesdessolutions:dansleplan(t, y) les graphes des courbesyC, siCveiearidalsnaddnoitcerratton,sest´lansOyde lundeux,doncdisjointsdeux`adeux.Plusg´ene´ralement,soitunsyst`eme`a deux ”p `t es”R(t) = (x(t), y(t)), les vecteursR0(t) etR00(tttnnee´eserrp) arame r toujourslavitesseetlacce´le´rationdumouvement.SiRpositionseneetalrpe´r d’une particule en mouvement, de massemceor`aseefuns,uoimF(x, y) = (X(x, y), Y(x, yebrc´elnala)),otwnoedeNleio ` mR00(t) =F⇐⇒(ymmx0000((tt)==)YX((xx((tt))y,y,((tt))))
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´ CHAPITRE 4. EQUATIONS DIFFERENTIELLES
Fig.4.1 – Graphes des solutions dey0= cost.
Danscetexemplel´equationestdordredeux.Lobjectifestdetrouverde manie`reaussiexplicitequepossiblelaformedeR, la solution, ayantF.l´qeauitno TrouverR, ouy(titau.not´egouin´eqrerle´rgiinrd,eseuoniioatqu,sleiant)e´lsnad Enge´ne´ralcelaneserapaspossible.Onrecherchera`ad´efautdesinformations qualitatives,et(ounum´eriques)surlasolutionesp´ere´e.Pourcelaunebatterie deme´thodesestconnue,recherchedinte´gralespremi`eres,ouloisdeconserva-tion.Classiquementl´energietotaleE=Ep+Ec)estiquen´ete+cieillettn(op une telle quantit´ e. On notera qu’une solutiontR(td´)ineenutruocapebram´etr´ee,dite courbeinte´grale. Leprincipedebasedelathe´oriedes´equationsdi´erentielles,principe de Cauchyse,uqtndioE)e(esunutolmenedte´setttolaeunefoistermin´eanouq xe´certainesconditionsinitiales(lavaleurdey(k)(t0),0knen un temps initialt0ellerutalemmoc,squesade`snontiesleoa)C.optrvuerintervallede tempsmaximaldede´nitiondecettesolution,etsoncomportementpourdes tempstr`esgrands,silintervalleestR, ou lorsque le temps s’approche des bornes delintervalledede´nition.Danslasuiteonselimitera`alordreauplusdeux. 4.1 Equations du premier ordre D´enitions Onxelesd´enitionspourlese´quations(E)dupremierordre.Bienque nayantenvuequedese´quationsdansR, ou bienR2, donc scalaire, ou dans leplan(syste`me),lade´nitiong´en´erale,i.edansRnnpesoobl`eme.epasdepr Soit d’abord le casscalaireC.nois´dncfoontionernesuf(t, y, ze´dsein)urun domaineDR3. D´enition4.1.1.´lednoitulosraprendrempcoitdoOntielleqeauitnoid´rene (t, y(t), y0(t)) = 0
4.1. EQUATIONS DU PREMIER ORDRE85 ladonne´edunefonctiony(t)de´nieetde´rivablesurunintervalleIR, telle que pourtI, le point (t, y(t), y0(t)) soit dansD, et pour touttI, on a f(t, y(t), y0(titausenot=0.Onditquel´eq))ee´rulossi elle est de la forme y0(t) =f(t, y(t)). Dans ce cas de figure la fonctionfeslbseraaiuevxdtdersu´e,dienDR2. On parlera deDedesphaselespace`em.seudystsmmoc Demanie`replusge´n´erale,unee´quation(re´solue)a`ncomposantes (on parle aussidesyste`medordrenneiapurdnmoiaended´enitiones)´etdDRn+1 (l’espace des phases) , une fonctionf:DRn, de composantesf1,∙ ∙ ∙, fn. Une solutiont7→y(t) = (y1(t),∙ ∙ ∙, yn(tenutse)noitcnofesnied´urIR, telle quetI,(t, y(t))D, et y0(t) =f(t, y(t). Onpeutmettreene´videncelescomposantes,soitlaformee´quivalente(syste`me ancomposantes) ` y10(t) =f1(t, y1(t)∙ ∙ ∙, y(t)) ,n ∙ ∙ ∙=∙ ∙ ∙ y0n(t) =fn(t, y1(t),∙ ∙ ∙, yn(t)) Unee´quationestditeautonomesi le second membre, la fonctionfnednd´epe pas du tempst, mais que dexeedalofmreestdoncnautonomuqe´oitaenU. x0(t) =f(y(t)). The´ore`medeCauchy(casscalaire) Dor´enavantonneconside`reraquedes´equationsscalaires du premier ordre re´solues y0=f(t, y). On parlera dey(t)ocmmdeunesolutiond´eseinnuruetnilavrleI=]a, b[,−∞ ≤ a < b≤ ∞, et deIedescommed´dlaeletvrnoni.ontinieD´enition4.1.2.Soitt0Isuppos´eunpointevtnxe´s(uot0= 0). Soit y(t0) =y0, de sorte que (t0, y0)D. On appellera le couple (t0, y0) la condition initiale ent0. Interpr´etationge´ome´trique:Onutpeteinr´rpterealofcnitnof(t, y) commed´enissantdanslespacedesphasesunchamp de vecteursF(t, y), de composantes (1, f(t, y)). Imaginer au point (t, ytta)ecteur(1ach´elev, f(t, y)). Siy(tehposemargntuoidnel)etsnuseloon,onfor´equatit7→(t, y(t)), qu’on regardecommeunecourbeparam´etr´ee.Levecteur tangenta cette courbe au ` pointdeparam`etretest exactement (1, f(t, y(t)). On dit que la courbe est une courbeintale´egrdu champ. Si on a affiare a une equation autonome, donc ` ´ y(t) =f(y(t)), la fonctionf:DRnrsdevecteuuscnahpmadsnecac´editn surD, et une solutiony(tnc:.poDhcmaeludgeart´inbeurconetues)
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