ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINEAIRES

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Algebre 2 ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINEAIRES 1. Definition et exemples d'espaces vectoriels 1.1. La structure d'espace vectoriel Definition. Soit K = R ou C. Un espace vectoriel sur K est un ensemble E muni de deux operation : l'addition et la multiplication scalaire E ? E ? E (~x, ~y) 7? ~x+ ~y K ? E ? E (?, ~x) 7? ?~x verifiant les proprietes suivantes : a) (E,+) est un groupe abelien i) ~y + ~x = ~x+ ~y (commutativite) ii) ~x+ (~y + ~z) = (~x+ ~y) + ~z (associativite) iii) ~x+~0 = ~0 + ~x = ~x (existence d'un element nul ~0) iv) ~x+ (?~x) = ~0 (existence d'un oppose ?~x) b) K opere dans E en respectant l'addition v) ?(~x+ ~y) = ?~x+ ?~y vi) (?+ µ)~x = ?~x+ µ~x vii) (?µ)~x = ?(µ~x) viii) ?~x = ~0 ? ? = 0 ou ~x = ~0 Les elements d'un espace vectoriel sont appeles des vecteurs.

  • droite du plan r2

  • decomposition en somme directe

  • plan de l'espace r3 contenant l'origine


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Alg`ebre2 ´ ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINEAIRES
1.De´nitionetexemplesdespacesvectoriels 1.1. La structure d’espace vectoriel De´nition.SoitK=RouC. Un espace vectoriel surKest un ensembleE munidedeuxop´eration:ladditionetlamultiplicationscalaire E×EE K×EE (y,~~x)7→~x+~y(λx,~)7→xλ~ ve´riantlespropri´et´essuivantes: a)(E,+)seutgnb´eaupronieel i)y~+x~=x~+y~ummoc(vit´tatie) ii)~x+ (~y+z~) = (~x+y~) +z~itai´tiva(e)coss ~ ~~ iii)~x+ 0 = 0 +~x=x~entnulun´el´emtsneecde(ix0) ~ iv)x~+ (x~) = 0ppnouedncteisex(soe´~x) b)K`preosedanEen respectant l’addition v)λ(x~+y~) =λx~+y~λ vi)(λ+µ)~x=~xλ+~xµ vii)(λµ)x~=λ(x~µ) ~ ~ viii)λ~x= 0λ= 0oux~= 0 Lese´l´ementsdunespacevectorielsontappele´sdesvecteurs. Exemples d’espaces vectoriels n I K,K={(xi)iI, xiK}, (I) K={(xi)iI, xiK, xi= 0 sauf pour un nombre fini dei} K[X] ={meˆoacs`pynolntiecoesansdK} Kn[X] ={PK[X] :deg(P)n} C(I,R) ={f:IRcontinue} Lensembledessolutionsdelarelationder´ecurrencelin´eaire un+2=un+1+ 2un Lensembledessolutionsdusyste`medie´rentiellin´eaire 0 x= 2xy 0 y=xy
1.2.Combinaisonsline´aires De´nition.Soit(x~i)iIune famille de vecteurs de l’espace vectorielE. Une combinaisonlin´eairedesvecteursdecettefamilleestunvecteurdelaforme P ~x=λix~i`uoλiKetλi= 0sauf pour un nombre fini dei(siIest finie, I cette condition est superflue!). P ~ Unee´quationλix~i= 0 s’appelle uneeairetionlin´eral. On dit que la relation I lin´eaireesttrivialesiλi= 0 pour toutiI. 1.3. Sous-espaces vectoriels De´nition.SoitEun espace vectoriel surK. On dit queFEest un sous-espace vectoriel deEsiFest non vide et (i)Fest stable par l’addition :~x,~yF~x+y~F; (ii)Fest stable par la multiplication scalaire :λK~,xF~λxF.
Exemples 2 Une droite du planRpassant par l’origine. 3 Un plan de l’espaceRcontenant l’origine. Kn[X] est un sous-espace vectoriel deK[X]. Proposition.SoitAune partie d’un espace vectorielE. (i) Ilexiste un plus petit sous-espace vectoriel qui contientA; (ii)cesous-espacevectorielestlensembledescombinaisonsline´airesde´l´ements deA.
D´enition.ielctorsesues-dl´peapst-suoseleevecapseritocielacspecevoseLe-su engendr´eparA. On le notevect(A).
2.Applicationsline´aires 2.1.D´enitionsetexemples D´enition.SoientE, Fdes espaces vectoriels surK. On dit qu’une application u:EFiseersniltiae´ (i),~~xyE u(x~+~y) =u(x~) +u(y~); (ii)λK,~xE u(λ~x) =λu(~x). R b ExemplelaeLitne´rgf7→f(x)dxaceespedel´nilriaeacilnoitunstppeae a vectorielEdes fonctions admettant une primitive sur [a, baav`e]lrudsnasF=R. D´enition.SoientE, Fdes espaces vectoriels surK. (i)Unendomorphismeestuneapplicationline´aireu:EE; (ii)Uneformeline´aireestuneapplicationline´aireu:EK; (iii)Unisomorphismeestuneapplicationlin´eairebijectiveu:EF; siF=E, on dit queuest un automorphisme.
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Notation L(E, F) ={u:EFelin´eair} L(E) =L(E, E) E=L(E, Kle dual de) s’appelleE Proposition.SoientE, F, Gdes espaces vectoriels surK. (i)u, vL(E, F), λKu+v, λuL(E, F); (ii)uL(E, F), vL(F, G)vuL(E, G); 1 (iii)uL(E, F)bijectiveeeu´icropiqroncitapalpuL(F, E). 2.2. Noyau et image De´nition.Soitu:EFdne´ntiinl.Oreai´e ~ 1 (i) lenoyau deu= Keru=u(0) ={~xE:u(x~) = 0}; (ii) l’imagedeu= Imu=u(E) ={y~F:~xE:y~=u(x~)}. Proposition.Soitu:EF.eriae´nil (i) LenoyauKerudeuest un sous-espace vectoriel deE; (ii) L’imageImudeuest une sous-espace vectoriel deF. Proposition.Soitu:EF´eailinre. ~ (i)uest injective si et seulement siKeru={0}; (ii)uest surjective si et seulement siImu=F. 3. Familles de vecteurs SoitEun espace vectoriel surKnadt.tEemnsebln´onneeuI, une famille de vecteursindex´eeparIest une application deIdansEuqaissocie`aiIun vecteurx~iE. On note cette familleF= (x~i)iI. Proposition.SoitF= (~xi)iIune famille de vecteurs deE. Alors l’application (I) ϕF:KE X (λi)iI7→λix~i iI estuneapplicationline´aire.OndiraqueϕFn´eedirrpaietlaesacitppil´naenoil la familleF. (I) De´nition.SoientF= (x~i)iIune famille de vecteurs deEetϕF:KE lapplicationline´aireassocie´e.OnditquelafamilleF= (~xi)iIest (i)ge´n´eratricesiϕF;est surjective (ii) libresiϕFest injective; (iii) unebase siϕFest bijective. (x~i)iIne´gecirtare´tout~xEsinoibanaeriidles´entcomesxi; (x~i)iIlibresederiae´nilnolatiteretouxi;est triviale P (x~i)iIbasetout~xEeuereuqintdemani`s´ecrix~=λi~xi. iI
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Proposition.Soient(x~i)iIune famille de vecteurs deEetu:EFeriale´ni (i) si(~xi)iIsteeng´eetrtcie´aruest surjective, alors(u(x~i))iI;ceriatern´e´gtse (ii) si(~xi)iIest libre etuest injective, alors(u(x~i))iI;est libre (iii) si(~xi)iIest une base etuest bijective, alors(u(x~i))iIest une base. SoitJI. On dit que (~xi)iJest une sous-famille de (~xi)iI. Proposition. (i) unesous-famille d’une famille libre est libre; (ii)unefamillequicontientunesous-famillege´n´eratriceestg´en´eratrice.
Th´eor`eme(delabaseincomple`te).Toute famille libre est une sous-famille d’une base.
4. Sommes directes et projections D´enition.On dit qu’un espace vectorielEest somme directe de deux sous-espaces vectorielsFetGsi ~ (i)FG={0}; (ii)F+G(={~y+~z:~y,Fz~G}) =E. On´ecritalorsE=FG.
Proposition.On aE=FGsi et seulement tout~xEs´ceirdtneunimare`e et une seule sous la formx~=y~+z~avecy~Fet~zG.
2 D´enition.On dit quePL(E)est une projection siP(=PP) =P.
Th´eor`eme.SoitEun espace vectorielE. (i) SoitE=FGosmpco´ensneioiteridemmo´dnO.etcteniunedP:EE parP(~x) =y~ou`x~=y~+z~tles´eadmpcoitosdnoiex~avec~yFet~zG. Alors Pest une projection telle queImP=FetKerP=G. (ii)R´eciproquement,soitPL(E)une projection. On poseF= ImPet G= KerP. AlorsE=FG.
De´nition.On dit qu’un sous-espace vectorielGest un sous-espace vectoriel suppl´ementairedunespacevectorielFsiE=FG.
The´ore`me.Tout sous-espace vectorielFd’un espace vectorielEadmet au moins unsous-espacevectorielsuppl´ementaire.
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