Exercice 1 — QCM 1. L'équation 2cos(4x) = 5sin(4 possède une ...

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Composition de Mathématiques no Examen de Mathématiques L1 Cumulatif 2011 Exercice 1 — QCM 1. L'équation 2cos(4x) = p 5sin(4x)−3 avec x ∈R possède une infinité de solutions ne possède pas de solutions possède une unique solution. 2. La fonction arctan est une bijection de R sur l'intervalle ouvert ]−1,1[ de R sur l'intervalle fermé [−pi/2,pi/2] Les deux affirmations précédentes sont fausses.
  • −1 z′
  • −→ cos
  • l3 ←
  • r3 →r3
  • x′
  • méthode du pivot de gauss
  • composition de mathématiques no
  • solution réelle
  • solutions
  • solution
Publié le : mercredi 28 mars 2012
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o Composition de Mathématiques n
Exercice1QCM
p 1. L’équation2 cos(4x)=5 sin(4x)3avecxR possède une infinité de solutionsne possède pas de solutions
2. Lafonctionarctanest une bijection
deRsur l’intervalle ouvert]1, 1[
deRsur l’intervalle fermé[π/2,π/2]
Les deux affirmations précédentes sont fausses.
3. iπ(t+4) tR:¯5e¯> |4i|. 2 zC:zÊ0. Les deux affirmations précédentes sont fausses.
Examen de Mathématiques L1 Cumulatif2011
possède une unique solution.
4. Onconsidère la fonctionf: {a,b,c,d}{,,,ä} ,a7→ ∗,b7→ ◦,c7→ △,d7→ ∗. fn’est ni injective ni surjective.fest injective et nonsurjective.fest surjective et noninjective.
5la courbe d’une fonction. Cidessousf.
′′ f(5)<0
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µ ¶ 5 ′′ f<0 2
1
Les deux affirmations précédentes sont fausses.
2
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Exercice2
Trouver les solutions réelles des équations suivantes. (3)(E ):y3y+2y=0 , 1 ′′ ′ (E ):y3y+2y=cost. 2
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3
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Exercice3Un exemple d’isomorphisme
3 31 Soitf:RR, (x,y,z)7→(2xy,yx,xz).Prouver que la fonctionfest bijective et calculer sa réciproquef.
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4
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Exercice4
Déterminer le développement limité à l’ordre3en0de la fonction définie par, x e f(x)=. 1+x
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5
Corrigé de l’exercice1QCM
1 01 0 11 0 01
1 3 ainsifest un isomorphisme etfest défini surRpar
z ′ ′ y+z ′ ′ ′ x+yz
Corrigé de l’exercice3Un exemple d’isomorphisme
d’où ,
6
(x,y,z)7→(x+y,x+2y,x+yz).
3 1. Lepolynôme caractéristique estP=X3X+2=(X2 1) (X+2). Les solutions sont donc les fonctions t t2t R−→R,t7Ae+B t e+C e,A,B,CR. 2 2. Lepolynôme caractéristique estP=X3X+2=(Xt 1)(X2). Un système fondamental est donc donné pare 2t ete. On passe à l’équation complexe ′′ ′i t y3y+2y=e. Le coefficient exponentielin’est pas racine du polynôme caractéristique. Il existe donc une solution de la forme i t c e. On remplace dans l’équation,
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Corrigé de l’exercice2
i ti ti ti t c e3i c e+2c e=e.
puisLL+L 3 32
3 3 ÏL’applicationfest clairement linéaire deRdansR. ′ ′ ′′ ′ ′ ÏPour tousx,y,z,x,y,zR,f(x,y,z))=(x,y,z)si et seulement si 2xy=x x+y=y xz=z Appliquons la méthode du pivot de Gauss sous sa forme matricielle   1 01z   01 1y 21 0x LL+L LL2L par les opérations2 21et3 31   1 01z ′ ′   0 11y+z ′ ′ 01 2x2z
′ ′ x=x+y ′ ′ y=x+2y ′ ′ ′ z=x+yz
p iπ(t+4) 3.¯5e¯=5>17= |4i|.
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cost3 sint t2t R−→R,t+7Ae+B e,A,BR. 10
Donc 1 1+3i c= =. 13i10 Ainsi µ ¶ 1+3icost3 sint i t Ree= 10 10 est une solution réelle. Les solutions sont les fonctions
1.a – 2.c – 3.a – 4.a – 5.a p 1. Enfait, d’après le coursf(x)=2 cos(4x)5 sin(4x)est une fonction sinusoïdale d’amplitude3. Doncf(x)= −3 possède une infinité de solutions. 2.arctan :R]π/2,π/2[est bijective.
4. L’élémentpossède deux antécédents etän’en pos sède aucun. 5. Onvoit quefest décroissante au voisinage de5, donc ′′ f(5)est négatif.
o Composition de Mathématiques n
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Corrigé de l’exercice4
D’après les développements limités usuels, on a au voisi nage de0, 2 3 x x x3 e=1x+ − +o (x) 02 6 et
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Examen de Mathématiques L1 Cumulatif2011
1 13 5 2 33 p =1x+xx+o (x). 02 816 1+x Après multiplication des parties principales puis tronca ture à l’ordre trois, on aboutit à 3 1153 2 33 f(x)=1x+xx+o (x). 0482 8
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