Exercices sur le chapitre SUITES ET SERIES DE FONCTIONS

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Exercices sur le chapitre 5: SUITES ET SERIES DE FONCTIONS 74. Determiner si les proprietes suivantes sont vraies ou fausses. On donnera une demonstration complete dans le premier cas et un contre-exemple dans le deuxieme cas. Les fonctions fn (non necessairement continues) sont definies sur un intervalle I. a) Si fn ? f uniformement sur I et si f est bornee sur I, alors chaque fn est bornee sur I. (On rappelle que f est bornee sur I si et seulement si il existe B > 0 tel que, pour tout x de I on ait |f(x)| ≤B). b) Si fn ? f , et gn ? g uniformement sur I, alors fn + gn ? f + g uniformement sur I. c) Si fn ? f , et gn ? g uniformement sur I, alors fn gn ? f g uniformement sur I. d) Si (fn) converge uniformement sur [ a, b [ et si la suite numerique (fn(b)) est convergente, alors la suite de fonctions (fn) converge uniformement sur [ a, b ] . e) Si fn ? f simplement sur I, avec fn et f continues, alors la convergence est uniforme sur I. f) Si fn et gn sont continues sur I = [ a, b ] , et si (fn) et (gn) convergent uniformement sur I, alors (fn gn) converge uniformement sur I.

  • limites respec

  • exercices sur le chapitre

  • hypotheses supplementaires

  • uni- formement convergentes

  • convergence normale

  • convergence

  • formement

  • serie ∑


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Exercices sur le chapitre 5: SUITES ET SERIES DE FONCTIONS
74.sprosileet´epri´avtnssiutnrvseosouesaie´Dmretreni compl`etedanslepremiercasetuncontre-exempledans n´ecessairementcontinues)sontd´eniessurunintervalle
fausses.Ondonneraunede´monstration ledeuxi`emecas.Lesfonctionsfn(non I.
a) Sifnfnurofime´mentsurIet sifro´neeusrestbI, alors chaquefnruseen´ortbesI. (On rappelle quefesusrn´eetborIsi et seulement si il existeB >0 tel que, pour toutxdeIon ait|f(x)| ≤B).
b) Sifnf, etgngrustnemue´mrofinI, alorsfn+gnf+guusremtnmre´inofI.
c) Sifnf, etgngorm´uniftsuremenI, alorsfngnf gemm´orifurtsennuI.
d) Si (fnuniform´ementsur)[egrevnoca, bm´nuiqer(uee[stlisaiuetfn(b)) est convergente, alors la suite de fonctions (fntneme´mrofinuegronve)cr[sua, b] .
e) Sifnfsimplement surI, avecfnetfcontinues, alors la convergence est uniforme surI.
f) Sifnetgnsont continues surI= [a, b] , et si (fn) et (gnc)noneutevgrfoni´ermntmersuI, alors (fngnstru)vnocergeuniform´emenI.
75.Montrer que sifn: [a, b]7→Rest continue pour toutn, et si (fn) converge uni-form´ementsur[a, b[ , alors (fnrgvenieuon)ctnus[rofmre´ema, beatnidornelad´]e.m[oRnesptrr duth´eor`emesurleslimitesuniformesdefonctionscontinues].
n X (1) 76.r[erqMontei´sreeualgeernvcorustneme´mrofinu1,1 ] . [Faire apparaˆıtre la n n+x n=2 P n s´erie(1)/n].  ! n n+1 X x x 77.noMertrelqu´easeriustneme´[rvergconformeuni1,[On pourra1 ] . n n+ 1 n=1 utiliserlefaitquelase´rieestte´lescopique].
Montrer qu’il y a convergence normale sur [ 0,mais pas sur [1 ] 1,0 ] .
78.SoitI= ] 1,+[ . PourxI, on pose X 1 f(x) =. n 1 +x n=0 a)Ve´rierquefinserusteed´I b) Montrer quefest continue surI 1 c) Montrer quefsurest de classe C I d) Expliquer succintement pourquoifest C surI e) montrer que limf(x) = +alr`renoMi.[eire´senudediarique].g´eom´et + x1 X 1 79.Montrer que la fonctionfn´epaierdf(x] 0est continue sur ) = , π[ . n n!(sinx) n=0
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Corrige´:
74.
a) Soitε= 1. Il existeNtel que, quels que soientnNetxI
|fn(x)f(x)|<1,
Alors |fn(x)| ≤ |fn(x)f(x)|+|f(x)| ≤B+ 1. Donc, sinN, la fonctionfntcoifsnoe`ererimlespntrearcoee.Pbtse´nro.erteˆlaseptnenuvpens
Posons, pour toutx´ree,lf0(x) =x, puis sin1,fn(x) = 1/n, alors la suitefnconverge uniform´ementsurRvers la fonction nulle, maisf0een´orsb.aptsen
b) Soitε >0. Il existeN1tel quenN1etxIimpliquent ε |fn(x)f(x)|< . 2 Il existeN2tel quenN2etxIimpliquent ε |gn(x)g(x)|< . 2 Alors sinM ax(N1,N2), et sixI, ε ε |(fn+gn)(x)(f+g)(x)| ≤ |fn(x)f(x)|+|gn(x)g(x)| ≤+ =ε . 2 2 La suite (fn+gnssruevnoc)fonieurgntme´ermIversf+g.
c) Sin1, prenonsfnuturtoe,pdo´enixrp,rae´lefn(x) =x+ 1/n, etfpaien´edrf(x) =x. La suite (fnevsrmre´emtnrgeunifo)convefsurR. Si l’on prendgn=fnetf=gute´lnsoiad, die´rencefngnf g. On a   2 1 2x1 2 fn(x)gn(x)f(x)g(x) =x+x= +. 2 n n n Cette fonction tend vers l’infini en +.Deecponrtoutouncnotsebsap´nrodε >0, il existex tel que fn(x)gn(x)f(x)g(x)ε . Ilenr´esultequefngncenonifunm´orrgveasepsnemerevtf gsurReler´esuParcontr.tltaesar vraiavecdeshypothe`sessupple´mentaires(voirf).
d) Notonsfla limite uniforme de la suite (fn) sur [a, b[ et`la limite de la suite (fn(b)).
Soitε >0. Il existeN1tel quenN1, etx[a, b[ impliquent
Il existeN2tel quenN2implique
|fn(x)f(x)|< ε .
|fn(b)`|< ε .
Alors sinmax(N1,N2), et si l’on pose ( f(x) e f(x) = `
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six[a, b[ six=b ,
on a, quel que soitx[a, b] , e |fn(x)f(x)|< ε , e et la suite (fn´mmefiroresnevt)cogeunnverfsur [a, b] .
e) Soit la fonctionfn], nulle sur −∞, n1 ][n+ 1,+[ , qui vaut 1 ennireteuqeitsil´nae affine sur chacun des intervalles [n1, n] et [n, neue`qs+.D1]nx+ 1, on afn(x) = 0 et la suite (fn(x)) tend vers 0. La suite de fonctions converge simplement vers la fonctionfnulle. Par contre la convergence n’est pas uniforme. En effet, la suite (unarepnied´)
un= sup|fn(x)f(x)| xR
est constante, puisque, pour toutn,un= 1. La convergence n’est pas uniforme, alors que toutes les fonctionsfnetfsont continues.
1
❅  ❅ n1n n+ 1
f) Les fonctionsfnetgnsont continues sur un segment [a, bodcnobnr]srtemilies.Les´e-cepse tivesfetginuecontlorsontaeessrruo´[nnobcesdtsa, bSoit] . A >0 etBtels que, pour tout xde [a, b] , on ait |f(x)| ≤Aet|g(x)| ≤B . Alors,dapre`sa, il existeN1tel quenN1implique
|g(x)| ≤B+ 1.
Soitε >0. Il existeN2, tel que,nN2etxIimpliquent ε |fn(x)f(x)|< . A+B+ 1 Il existeN3, tel que,nN3etxIimpliquent ε |gn(x)g(x)|< . A+B+ 1 Soit alorsN= max(N1,N2,N3), etnN. En utilisant la relation
onde´duit
(fngn)(x)(f g)(x) = (fn(x)f(x))gn(x) + (gn(x)g(x))f(x),
|(fngn)(x)(f g)(x)| ≤ |fn(x)f(x)| |gn(x)|+|gn(x)g(x)| |f(x)|,
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et donc ε ε |(fngn)(x)(f g)(x)| ≤(B+ 1) +A=ε . A+B+ 1A+B+ 1 Ilenr´esultequelasuite(fngn) converge versf g.
75.Soitfla limite uniforme de la suite (fn[) sur a, bSoit[ . ε >0. Il existeNtel quenN etx[a, b[ impliquent ε |fn(x)f(x)|< . 4 Donc, simnN, on a ε |fn(x)fm(x)| ≤ |fn(x)f(x)|+|f(x)fm(x)|< . 2 Fixonsnetm. Les fonctionsfnetfmsont continues enb. Il existeα1>0, et tel quebα1< x < bimplique ε |fn(x)f(x)|< , 4 et il existeα2>0, et tel quebα2< x < bimplique ε |fm(x)f(x)|< . 4 Choisissonsxtel quebmin(α12)< x < b. Alors
|fm(b)fn(b)| ≤ |fm(b)fm(x)|+|fm(x)fn(x)|+|fn(x)fn(b)|,
donc ε ε ε |fm(b)fn(b)| ≤+ + =ε . 4 2 4 Ilenre´sultequelasuite(fn(bedetiuseE.yhcuaCunst)e)egtn.elI´rseluetlleestdoncconver alors de l’exercice 74 d), que la suite (fn[tsuremenorm´nufireegocvn)a, b] . n n (1) (1) 76.,ceener´dialtnamrofnEun(x) =, on trouve n n+x n n+1n (1)x un(x) =. n n(n+x)
Mais, puisque1x1 n |x|1 |un(x)|=, n n(n+x)n(n1) P 2 Commelase´riedetermege´ne´ral1/(n(n1))1/nveonceire´sal,egrunconverge norma-lementdoncuniforme´mentsur[1,1 ] . P n Parailleurslas´eriealtern´ee(1)/n´disnoctceuqrereesunsteeedri´econverge.Onpeu fonctionsconstantesquiconvergeuniform´ementsur[1,1 ] Alors n n (1) (1) = +un(x), n n+x n etlase´riepropos´eeconvergeuniform´ementsur[1,]1-inuseire´sxeuededmmsomeom,c forme´mentconvergentes.
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