Fonction logarithme népérien Cours 4

De
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Publié le : lundi 1 janvier 2007
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T ES1
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
...... ..................
......
1
x ...0 ...............
x
................................................................................................
................................................................................................
a b a<b lna...lnb
...............
1
L'ensem
p
ble
logarithme
de
est
d?nition
e
de
p
la
tels
fonction
La
ln,
Allure
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ln
dresser
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1
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te
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Cours
D?nition
4
n?p
F
la

la
logarithme

n?p
p
?rien
on
F


t
la
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t
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que
v
logarithme
de
alors,
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fonction
le
1
Remarque
D?nition
1
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de
.
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de
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de
Remarque
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est
La
Ainsi
e
si
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nom
a,
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t
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bre
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tout

.
la
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ln
P
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2
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our
:
On
pa> 0 b> 0 ....................................
a > 0 a > 0 ... a > 01 2 p
..........................................
1
A = ln8+ln10+ln B = ln3x + ln3
40
x> 0
1
◦ b> 0 ln =.........
b
a
◦ a> 0 b> 0 ln =..................
b
pa p
p ....................................
pln(a ) =.........

a a> 0

a> 0 ln a =.........
de
4
2
Logarithme
t
de
:
Propri?t?
our
:
3
,
fonction
(
P
e
pro
en
de
tier
our
relatif
a
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on
Preuv
tous
:
nom
en
,
tier
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:
5
a
Logarithme
on
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,
r?el
,
,
,
.
,
our
r?els
de
tous
Propri?t?
our
a
P
r?els
bres
our
nom
bres
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de
duit
duit
et
pro
d'un
d'un
tout
Exemple
Propri?t?
,
Logarithme
1
P
Simplication
,
des
quotien
et
P
nom
tout
bres
Logarithme
Logarithme
Propri?t?
r?els
on
tous
:
our
1
P
Propri?t?s
2
p
Propri?t?
alg?briques
a
la
on
ln
,
et
P
e
our
2
toutln
]0;+∞[
+∞ 0
◦ lim lnx =...... ◦ lim lnx =......
x→+∞ x→0
ln
3
2
1
0
-1
-2
-3
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Preuv
de
b
aux

limites
1
les
ableau
regardons
de
Etude
a
3
la
te
:

v
t
tation

fonction
et
Nous
able
en
d?riv
que
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e
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T
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Repr?sen
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la
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ln
la
en
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te
v
p
Limite
t
6
Propri?t?
tion.
d?n
de
ble
Equation
la

de
our
tangen
P
au
.
oin
ons
d'abscisse
d?j?
3
vulnx =α
α lnx =α
e
e ..................
lnx
◦ lim =...... ◦ lim xlnx =......
+x→+∞ x x→0
lnx ln(1+x)
◦ lim =...... ◦ lim =......
x→1x−1 x→0 x
+u R R
x u u(x)............
Propri?t?
ind?termin?es
que,
Le
aleurs
que
de
:
.
bre

Il
p
nom
on
unique
un
un
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8
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Propri?t?
our
:
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e
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Quelques
solution
L'?quation
unique
bre
Preuv
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e
v
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,
4
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ln
p
u
tout
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tel
ble
une
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fonction
formes
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a
sur
bre,
un
7
in
Soit
terv
nom
alle
r?el
de
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,
9
et
:
.
4
Fx −→ lnu(x) ........................
.......................................................................................
lnu
.................................
a +∞ −∞
+◦ lim u(x) = 0 lim lnu(x) =......
x→a x→a
◦ lim u(x) = +∞ lim lnu(x) =......
x→a x→a
+◦ lim u(x) =b b∈R lim lnu(x) =......
x→a x→a
u ........................... R
......′(lnu) =
......
′u
u
u R
′u
u
◦ x −→ln(u(x)) u(x)> 0
◦ x −→......... u(x)< 0
′u
◦ ............
u
est
un
alors
in
la
terv
Une
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12
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alors
d?nie
si
10
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la
alors
ln
:
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a
;
on
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,
p

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I
,
ariation
ou
fonction
r?el,
:
bre
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alors
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un
ln
Soit
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.
Limites
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e
le
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applique
si
on
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,
I.
Preuv
:
e
e
:
La
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ln
fonction
de
:
si
d?riv
:
est
primitiv
fonction
e
une
de

la
u
de
de
limites
D?riv
La
Propri?t?
fonction
si
les
u
est
fonction
d?riv
si
able
I
sur
de
un
11
in
:
terv
Preuv
alle
v
I
sens
de
alors
et
our
,
a
et
,
ne
sur
s'y
De
ann
g?n?rale
ule
fonction
pas.
primitiv
Alors,
sur
une
de
primitiv
u
e
est
sur
de
I
v
de
Sens
la
Propri?t?
fonction
able,
13
Cons?quence
5
sur2x
f :x −→
2x +1
......... ]0;+∞[
......
logx =
......
log100 log1000 log10000
,
2
Exemple
D?nition
not?e

fonction
Logarithme
une
5
fonction
e
sur
Logarithme
la
.
rouv

,
La
,
fonction
la
Exemple
2
3
d?nie
Calculer
puis
:
est
logarithme
T

er
:
par
de
6
primitiv

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