Fonction logarithme népérien Cours 5

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Publié le : mardi 1 janvier 2008
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T ES1
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
...... ..................
......
1
x ...0 ...............
x
................................................................................................
................................................................................................
a b a <b ln(a)...ln(b)
...............
1
de
tels
la
logarithme
fonction
logarithme
ln,
e
not?e
p
dresser
,
1
La
te
Allure
suiv
ln
a
,
Cours
nom
5
Remarque
F
?rien

donc
logarithme
D?nition
n?p
n?p
?rien
la
F
la


la
p
de
on
ariation

v
t
de
que
tableau
est
le
alors,
Remarque
n?p
.
est
fonction
fonction
d?nition
1
de
D?nition
fonction
?rien
de
.
ble
de
Ainsi

si
de
deux
fonction
nom
La
bres
e
L'ensem
ourquoi
et

1
a,

ositif
t
t
p
bre
ositifs
tout
son
P
la
2
ln
our
l'allure
On
an
p
:
eut
alorsa > 0 b> 0 ....................................
a > 0 a > 0 ... a > 01 2 p
..........................................

1
A = ln(8)+ln(10) +ln B = ln(3x)+ln(3)
40
x> 0

1
◦ b> 0 ln =.........
b
a
◦ a> 0 b > 0 ln =..................
b
pa p
p ....................................
pln(a ) =.........

a a> 0

a> 0 ln( a) =.........
pro
de
Logarithme
4
P
Propri?t?
tous
,
5
(
on
:
Propri?t?s
en
nom
tier
Propri?t?
relatif
et
)
P
P
de
our
fonction
tout
:
en
P
tier
de
e
Logarithme
Preuv
on
,
de
et
tous
r?els
tout
tous
nom
our
:
P
pro
,
Propri?t?
r?el
de
tout
a
our
r?els
P
our
t
bres
quotien
plusieurs
d'un
duit
Logarithme
d'un
3
2
Propri?t?
a
.
Propri?t?
:
Logarithme
Preuv
,
Logarithme
,
r?els
et
our
bres
our
nom
r?el
des
bres
Simplication
,
1
a
Exemple
deux
:
duit
a
d'un
on
1
,
ln
,
la
,
alg?briques
,
2
on
,
e
p
2
ourln
]0;+∞[
+∞ 0
◦ lim lnx =...... ◦ lim lnx =......
x→+∞ x→0
ln
3
2
1
0
-1
-2
-3
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Preuv
de
b
aux

limites
1
les
ableau
regardons
de
Etude
a
3
la
te
:

v
t
tation

fonction
et
Nous
able
en
d?riv
que
est
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alle
e
terv
T
l'in
de
sur
ariations
?tude,
Repr?sen
son
graphique
l'ensem
la
de
ornes
fonction
ln
la
en
et
te
v
p
Limite
t
6
Propri?t?
tion.
d?n
de
ble
Equation
la

de
our
tangen
P
au
.
oin
ons
d'abscisse
d?j?
3
vulnx =α
α lnx =α
e
e ..................
lnx
◦ lim =...... ◦ lim xlnx =......
+x→+∞ x x→0
lnx ln(1+x)
◦ lim =...... ◦ lim =......
x→1x−1 x→0 x
+u R R
x u u(x)............
Propri?t?
ind?termin?es
que,
Le
aleurs
que
de
:
.
bre

Il
p
nom
on
unique
un
un
?
8
not?
existe
dire
Propri?t?
our
:
l'ensem
e
de
Preuv
Quelques
solution
L'?quation
unique
bre
Preuv
Propri?t?
e
v
une
dans
nom
oss?de
,
4
?

telle
ln
p
u
tout
Soit
de
tel
ble
une
d?nition
fonction
formes
d?nie
a
sur
bre,
un
7
in
Soit
terv
nom
alle
r?el
de
L'?quation
,
9
et
:
.
4
Fx −→ln(u(x)) ........................
.......................................................................................
lnu
.................................
a +∞ −∞
+◦ lim u(x) = 0 lim lnu(x) =......
x→a x→a
◦ lim u(x) = +∞ lim lnu(x) =......
x→a x→a
+◦ lim u(x) =b b∈R lim lnu(x) =......
x→a x→a
u ........................... R
......′(lnu) =
......
′u
u
u R
′u
u
◦ x −→ln(u(x)) u(x) > 0
◦ x −→......... u(x) < 0
′u
◦ ............
u
limites
un
fonction
in
.
terv
Propri?t?
alle
fonction
de
ou
sens
Si
,
Une
alors
e
:
alors
our
nom
p
sur
a
fonction
par
si
d?nie
I.
fonction
I
sur
La
P
si
est
u
alors
ln
th?or?me
de
applique
ariation
si
v
,
de
;
si
able,
Sens
est
10
ln
Propri?t?
D?riv
alors
on
de
mani?re
:
e
e
:
alors
Propri?t?
de
13

Cons?quence
ln
:
:
primitiv
la
e
:
de
Propri?t?
fonction
11
la
le
de
Soit
La
un
fonction
bre
Limites
r?el,
ariation
on
v
,
ou
able
I
sur

un
et
in
d?riv
terv
une
alle
la
I
u
de
de
Preuv
?e
,
12
et
,
ne
sur
s'y
De
ann
g?n?rale
ule
a
pas.
primitiv
Alors,
sur
une
de
primitiv
:
e
est
sur
si
I
les
de
our
la
u
fonction
,
est
d?riv
5
Preuv2x
f :x −→
2x +1
......... ]0;+∞[
......
log(x) =
......
log(100) log(1000) log(0,001)
est
primitiv
2
e
fonction
de
sur
la
Logarithme
fonction
par

puis
er
3
fonction
Calculer

:
5
logarithme
:
2
Exemple
Logarithme
T

rouv
La
une
,
d?nie
not?e
la
D?nition
,
,
.
6
Exemple

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