Formulation eulerienne en vitesses

Publié par

DEFORMATIONS 1 Formulation eulerienne en vitesses 1.1 Tenseur gradient des vitesses de deplacement Sous l'effet d'un chargement exterieur, un corps solide peut se deformer. Un point materiel P , de position initiale ??X fixee dans la configuration C0, vient en position ??x dans la configuration courante C(t). Ces positions sont reliees entre elles par le vecteur deplacement ??u . En configuration eulerienne, l'evolution de la position du point P est donnee dans C(t) par sa vitesse instantanee ??v . Pour decrire localement la transformation du solide, nous avons vu que celle- ci etait linearisee autour du point P , ce qui permet de definir le tenseur gra- dient de la transformation F . De la meme fac¸on, nous etudions ici l'evolution d'un vecteur??dx autour du point P par l'intermediaire de sa variation au cours du temps. Nous obtenons : d dt (??dx ) = ddt ( F .??dX ) = F˙ .??dX = F˙ .F?1.??dx = L.??dx avec L = F˙ .F?1 = grad(??v (??x ,t)) (1) Cette equation permet de definir le tenseur gradient des vitesses de deplacement L. Il est important de noter ici que ce tenseur n'est pas la derivee par rap- port au temps d'une quantite, mais le gradient d'une vitesse. C'est pour cela qu'il est note sans point dessus.

  • configuration eulerienne

  • tenseur gradient des vitesses de deplacement

  • tenseur

  • deformation du solide

  • tenseur des taux de deformation et de rotation

  • integration en temps de la vitesse courante des particules du solide etait difficile

  • composante


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 59
Source : mms2.ensmp.fr
Nombre de pages : 11
Voir plus Voir moins
1
1.1
DEFORMATIONS
Formulationeulerienneenvitesses
Tenseurgradientdesvitessesdedeplacement
Sousleetdunchargementexterieur,uncorpssolidepeutsedeformer. −→ UnpointmaterielP, de position initialeXocnsnaleeadxtionguraC0, −→ vient en positionxdans la conguration couranteC(t). Ces positions sont −→ relieesentreellesparlevecteurdeplacementunoitarugeireluenne,ncoEn. levolutiondelapositiondupointPnnoadeensdtseC(t) par sa vitesse −→ instantaneev.
Pourdecrirelocalementlatransformationdusolide,nousavonsvuquecelle-cietaitlineariseeautourdupointPeedtdmeteleirnargruesn-,pireecuq dient de la transformationFnon,eusditusionlicoveitulno.eDalˆmmefeaoc −→ d’un vecteurdxautour du pointPederiaidemretniouucnaioatrivasasrarlp du temps. Nous obtenons :
³ ´ ³ ´ d−→d1 ˙ ˙ dx=F .dX=F .dX=.dxF .F =L.dx dt dt 1˙ avecL=F .F=grad(v(x ,t))
(1)
Cetteequationpermetdedenirletenseurgradientdesvitessesdedeplacement L-praareperevidlaastpesnurseneteceuqiciretonlIseitpmroattned. portautempsdunequantite,maislegradientdunevitesse.Cestpourcela quilestnotesanspointssus.Sesdeetssnoptocpmsonaogomneertouthanas 1 l’inverse d’un temps (sansu).Dromhtnoesroenabsapoomscsee,xeesetn sont :
1
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.