GEOCLE : DES CLES POUR DEMONTRER AU COLLEGE

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31 GEOCLE : DES CLES POUR DEMONTRER AU COLLEGE Jean-Louis GUILLOT Irem des Pays de la Loire Groupe EIEM REPERES - IREM. N° 56 - juillet 2004 mathématiques — pour faire du sens — chaque individu commence par se forger ses images mentales ; il les stabilise en les asso- ciant, en les décrivant, en les discutant avec ses pairs, pour éventuellement les modifier et les enrichir. Nous pensons également qu'en plus du guidage méthodique des travaux proposés, nous devons aider nos élèves à prendre conscience des moyens qu'ils utilisent pour apprendre les connaissances nouvelles, les ranger dans leur mémoire, les retrouver, les faire fonctionner … Je
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Publié le : mardi 27 mars 2012
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REPERES - IREM. N° 56 - juillet 2004
GEOCLE : DES CLES POUR
DEMONTRER AU COLLEGE
Jean-Louis GUILLOT
Irem des Pays de la Loire
Groupe EIEM
1Depuis plus de dix ans, notre groupe de mathématiques — pour faire du sens —
recherche-action « Environnements Interac- chaque individu commence par se forger ses
tifs et Enseignement des Mathématiques » pré- images mentales ; il les stabilise en les asso-
pare pour les collégiens des activités qui uti- ciant, en les décrivant, en les discutant avec
lisent de façon complémentaire l’ordinateur, ses pairs, pour éventuellement les modifier
le papier, le tableau … Pour des travaux indi- et les enrichir.
viduels, des travaux en groupe, des moments
de cours dialogué ou de cours magistral … Nous pensons également qu’en plus du
guidage méthodique des travaux proposés,
En effet, dans notre conception de nous devons aider nos élèves à prendre
l’apprentissage, nous cherchons à proposer conscience des moyens qu’ils utilisent pour
des environnements de types différents, qui apprendre les connaissances nouvelles, les
se complètent, sur lesquels l’élève peut agir ranger dans leur mémoire, les retrouver, les
et qui vont agir sur sa façon de penser. Nous faire fonctionner … Je me propose d’illus-
admettons que pour construire ses concepts trer ces quelques lignes directrices en
vous présentant Géoclé, l’un des envi-
ronnements que nous avons conçu, ainsi
1 Alain Bois, Vincent Bois, Pascal Chauvin, Jean-Louis
que quelques idées pour l’utiliser avec lesGuillot, Emmanuel Lemaître, Jacques Lucas, Charly Ried-
weg et Bernard Soulé-Nan. élèves de collège.
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2Géoclé est « le micromonde des cartes » propriétés de géométrie qu’il faut se
construit pour favoriser l’apprentissage de mettre en tête, bien rangées, avec tous
la démonstration, en géométrie, de la 6ème à leur liens pleins de sens, en images et en
la 4ème. Dans son développement actuel, mots, pour savoir les retrouver à la
c’est d’abord une base de données accessible demande. Savoir les tenir disponibles et
sur Internet. Les éléments de la base sont des « vivantes », pour « les plaquer et les
figures-clés codées, des mots-clés et des étirer » mentalement sur la figure du
phrases-clés. Ils sont rassemblés sur 80 problème à résoudre, afin de sélectionner
cartes, au format du jeu de cartes tradition- celles qui s’y adaptent bien. Savoir les uti-
nel pour la belote ou les réussites… Chaque liser comme points fixes pour explorer les
carte, imprimable sur papier ou carton, pré- liens avec le problème, et choisir ceux qui
sente « physiquement » une définition ou une « s’accrochent bien ». Réussir alors à
propriété avec sa figure-clé, ses mots-clés et penser, à dire, à écrire chacun de ces
une phrase-clé associée. À chaque carte, sur pas de raisonnement qui construiront
l’ordinateur, sont également associées des progressivement ce chemin énigmatique
phrases de reformulation et une figure défor- qu’est la démonstration.
mable (une applet Cabri Java). Les recherches
sont possibles, pour chacun des trois pre-
miers niveaux du collège, par leçons, défini- 1. La boîte à outils
tions, propriétés, mots clés en données ou en « Géoclé » sur Internet.
conclusions. Avec chaque carte trouvée, Géo-
clé fournit des phrases de reformulations, et
3la figure déformable, si on le souhaite. On peut Dans le site m@ThICE , en cliquant
également regrouper dans « le calepin » un choix sur l’un des liens Géoclé vous accédez à
de cartes pour les consulter ensemble, les page de présentation de cette boîte à
sauvegarder ou les imprimer... outils. Les options vous sont décrites et
vous pouvez observer la carte D3 où les
Ces « clés pour démontrer » sont celles hypothèses sont codées en vert et les conclu-
d’une boîte à outils bien traditionnelle. sions en rouge, aussi bien dans les mots
La boîte qu’est sensé se construire pro- clés que sur la figure. Hélas, la consultation
gressivement le collégien, à partir de la en noir et blanc perd beaucoup d’informa-
classe de 6ème. Avec ces fameuses phrases tion ! (voir page ci-contre)
écrites en rouge dans le cahier de cours,
encadrées ou coloriées, ou soigneuse- Si vous voulez consulter la leçon
ment préparées sur ces fiches carton- «Propriété de Pythagore » vous devrez
nées que l’on gardera précieusement. Ce sélectionner le niveau 4ème , pour qu’elle
sont toutes ces définitions et toutes ces figure dans les choix possibles. Sinon,
vous ne la verrez pas. Vous obtiendrez
alors les deux cartes de la page suivan-2 Terme emprunté à Seymour Papert, le concepteur de
LOGO, pour désigner par exemple l’environnement de la Tor- te et leurs reformulations.
tue, ou celui des blocs sonores (voir « Jaillissement de
l’esprit » [1] de cet auteur, chez Flammarion – 1981). Infini-
ment plus modeste, Géoclé est un assemblage d’objets géo-
3 Les m@ths au collège avec les TICE [2].métriques de natures différentes, organisés « concrète-
http://perso.wanadoo.fr/jean-louis.guillotment » autour des « cartes » pour que l’élève se les approprie.
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Les couleurs permettent de bien repérer Les phrases de la carte sont préparées pour
les prémisses des propriétés, avec les mots clés faciliter le « par cœur » : il n’y a jamais de lettres,
en vert ainsi que la flèche qui les désigne sur les reformulations à côté de la carte sont uti-
la figure, et les conclusions avec les mots clés lisées pour favoriser la compréhension verbale,
en rouge ainsi que l’astérisque qui les désigne tout comme les codes du dessin avec leur
sur la figure. Le « carré colorié contenant un « accroche » visuelle.
2» désigne le carré du côté correspondant.
L’inversion des deux phrases est soulignée par C’est en demandant « tester la figure
l’inversion des couleurs et celle de la flèche et déformable » qu’on pourra travailler la contex-
de l’astérisque. tualisation, et surtout les invariants dans
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La leçon « Propriété de Pythagore ».
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une fenêtre indépendante, grâce aux défor- clés) souhaités en conclusion, vous obtien-
mations de l’applet Cabri Java associée à la drez la proposition de choix ci-dessus ; chaque
carte. Des exemples de ces fenêtres seront pré- choix validé renverra le paquet des cartes
sentés plus bas. Si vous avez besoin de faire correspondantes, avec la même présentation
une recherche à partir des mots clés (ou idées que pour les leçons.
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Vous pouvez de la même façon faire une pagne, en reformulant de façon contextuali-
recherche à partir des mots clés (ou idées) que sée la phrase de la carte, ou en présentant un
vous voulez en données (hypothèses ou pré- raisonnement rédigé du type « données …
misses). donc … conclusion ». La consigne demande de
déplacer les points rouges pour observer les
Il est également possible de consulter modifications de la figure. Le texte affiché et
une définition à partir de la liste correspon- les codages peuvent changer selon les positions
dante. Même chose pour les propriétés. Les des points rouges.
cartes apparaissent toujours dans le même
type de fenêtre que pour les leçons. Les défi- Voici une première applet associée à
nitions sont construites avec « est » et les pro- un texte fixe :
priétés avec « si … alors » à quelques excep-
tions près. Sur la figure d’une définition,
c’est l’objet défini qui est montré par l’asté-
risque et la couleur rouge, alors que les attri-
buts sont repérés par la flèche et la couleur
verte, sauf sur quelques cartes à reprendre.
Le concept défini apparaît ainsi comme le résul-
tat de l’assemblage de ses attributs. Il revient
au professeur de faire remarquer que l’on
aurait pu faire le choix inverse. Une défini-
tion correspond en fait à deux propriétés
réciproques énonçables en « si … alors ».
Pour faire le dessin, c’est l’une d’elles que nous
avons choisie.
Le calepin ne permet pas l’affichage d’une
fenêtre complète du type précédent. Il rassemble
seulement côte à côte les cartes déjà vues
dans les fenêtres précédentes et qui auront été
cochées C’est une sorte de résumé sous la
forme d’un choix de cartes. Cet outil est très
commode pour éditer un paquet de cartes en
fonction d’un exercice ou d’une leçon donnée,
ou mal sue. Cette applet affiche une reformulation
de la définition du triangle rectangle, avec les
Dans toutes les fenêtres d’affichage de cartes noms des points, alors que sur la carte, on a noté :
autres que le calepin, vous pourrez accéder aux
applets Cabri Java. Un clic sur le bouton « Un triangle rectangle est un triangle qui
« tester la figure déformable » permet de a un angle droit ».
retrouver dans une nouvelle fenêtre une figu-
re proche de celle de la carte, déformable On peut déplacer les trois points (rouges)
comme sous Cabri. Un nouveau texte l’accom- A, B et C. Quelles que soient leurs positions,
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le segment [BC] reste perpendiculaire à la droi- point P en observant les quatre droites de
te rouge passant par B. La mesure de l’angle sommet P identifiées sur le dessin. C’est
ABC s’ajuste selon la déformation de la figu- lorsque PBC devient isocèle, et seulement
re et la marque de l’angle devient un carré lors- dans ce cas que ces droites sont confondues.
qu’on retrouve l’angle droit. Cette observation invite à formuler égale-
ment la propriété réciproque.
La deuxième applet affichée ci-dessous
est du même type. Elle illustre la propriété sui- Dans le troisième exemple d’applet
vante : « Si un triangle est un triangle isocè- présenté page suivante, on retrouve une idée
le, alors l’une de ses droites est à la fois hau- fréquemment utilisée : la figure Cabri est
teur, médiane, médiatrice et bissectrice. » une reprise fidèle du dessin codé de la carte.
Pour la carte de symétrie axiale de 6ème , on
Les points mobiles sont A, B, C et P. Le a voulu présenter une maison avec son axe de
triangle ABC reste isocèle. On déplace le symétrie. En 5ème, pour la symétrie cen-
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trale, on retrouvera les deux mêmes demi-mai- ment de texte de l’applet suivant la position
sons, mais avec cette double inversion gauche- du point O, centre du cercle circonscrit.
droite et haut-bas qui étonne toujours les
élèves. « Si dans un triangle, le centre du cercle cir-
conscrit est le milieu d’un côté, alors c’est
Comme pour la carte de 6ème, le texte des- un triangle rectangle ».
criptif présenté avec la figure déformable est
indispensable à la compréhension de la carte. Cette présentation visuelle est prévue
La formulation de la carte a besoin d’être pour favoriser pour plus tard, s’il y a lieu, la
explicitée. compréhension de l’expression : « condition
nécessaire », ainsi que l’équivalence entre
Dans le quatrième exemple d’applet les propriétés « P implique Q » et « non Q
de la carte, « Triangle dans un demi-cercle », implique non P ». Quelques autres applets sont
(page suivante) vous observerez le change- construites sur ce modèle.
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2. Pourquoi avons-nous est un intérêt et une contrainte supplémen-
créé cet environnement ? taires. Ce sont probablement ces difficultés
réelles qui ont suscité un grand nombre de
L’apprentissage progressif du raisonne- recherches et de productions chez nos col-
ment déductif est un objectif qui figure dans lègues enseignants, aussi bien que chez les cher-
les programmes officiels du collège, à partir cheurs professionnels. La plupart sont forte-
de la classe de 6ème. Toutes les disciplines y ment influencées par le courant constructiviste.
contribuent. Nous continuons à travailler sur ces produc-
tions et sur ces recherches depuis plus de vingt
En mathématiques, notre tâche est sans ans. Elles sont devenues des points d’appui
doute des plus difficiles, puisqu’on aborde dans nos pratiques de classe. Selon les oppor-
assez rapidement des domaines purement tunités, il nous est bien commode de pouvoir
abstraits comme l’apprentissage du calcul nous inspirer de l’une de ces activités struc-
littéral. C’est aussi le cas lorsqu’on vise la réso- turantes finement ciselées : problème ouvert,
4lution effective des problèmes géométriques situation problème, débat pédagogique ,
5jusqu’à la rédaction des démonstrations. Dans apprentissage de l’abstraction , groupes
6 7ce deuxième exemple, la question langagière d’apprentissage , projets coopératifs …
4 Voir par exemple : « Problème ouvert et situation-problème » [3] - 6 Cette notion est développée dans la thèse de Philippe Meirieu «outils
Arsac G., Germain G., Mante M. – brochure n° 64 de l’Irem de Lyon. pour apprendre en groupe » [5] . Nous nous en sommes inspirés, dans
5 Cette méthode de travail est développée par Britt-Mari Barth dans notre groupe IREM d’Angers pour publier « apprendre en groupe ou
son ouvrage « L’apprentissage de l’abstraction » [4] publié chez des élèves actifs en mathématiques » [6] au CDDP du Maine-et-Loire.
Retz en 1988. L’auteur décrit un modèle de construction de concepts 7 Je pense aux divers projets d’action éducative (PAE), projets
en classe, en « pilotant » les interactions dans le groupe. d’actions culturelles, travaux croisés, itinéraires de découverte …
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Ces modèles pédagogiques cherchent à déve- pas tout seul. Il y aura toujours la leçon à
lopper chez nos élèves des compétences indis- apprendre, les exercices à faire, les futures éva-
pensables au raisonnement déductif : apprendre luations à affronter. Pour y arriver chacun a
à observer, réfléchir, évaluer, débattre, argu- besoin de construire de bonnes habitudes
menter, justifier, prouver, raisonner … En clas- méthodologiques avec de la confiance, beau-
se, nous les apprécions d’autant plus, que coup de la patience, de la rigueur et des
préparés avec soin, ils vont permettent à cha- efforts. C’est aussi un travail pour plus tard.
cun de s’engager facilement dans le travail et Plein d’humilité.
de réussir quelque chose. Dans « l’apprentissage
de l’abstraction », Britt Mary Barth justifie ainsi En construisant l’environnement Géo-
ce type d’approches : « le bien-être, le plaisir, clé, nous nous sommes sans doute engagés dans
dus à la motivation intrinsèque — celle qui cette mission impossible de travailler à la
se nourrit par l’activité elle-même — sont fois dans les deux tensions opposées :
des forces puissantes qui stimulent le poten- celle du plaisir de « la motivation intrin-
tiel pour apprendre ». Nous savons tous com- sèque » éprouvé en participant à une activi-
ment la dynamique des interactions dans un té bien construite, mais aussi celle de l’effort
« bon groupe » peut développer cette motiva- et de la rigueur, demandés rituellement pour
tion pour apprendre, ou de la même façon la construction des savoirs et des méthodes
comment un projet bien conduit en inter- « pour plus tard ». Nous cherchons à assurer
action avec les ordinateurs peut réveiller avec patience et ténacité les tout premiers pas.
l’intérêt… Nous voulons fixer solidement les premières
balises, tout en sachant qu’elles devront pou-
Nous nous accrochons d’autant plus à voir évoluer en cas de besoin. Nous allons
ces idées fortes que nous sommes confrontés aider l’élève à « initialiser son apprentis-
à l’absence de volonté d’apprendre, au refus sage de la démonstration ». C’est-à-dire à
de l’effort, que manifeste une part importan- construire la première étape de son pro-
te de nos élèves ados. Tout particulièrement gramme personnel d’apprentissage, celle où
en mathématiques. Qui n’a jamais entendu cette il va fixer les constantes, le cadre et les pre-
remarque déstabilisante : « de toute façon, les miers outils qu’il utilisera dans la suite. Même
maths, c’est trop dur et ça sert à rien » ? Nous s’il n’est pas en mesure d’imaginer claire-
avons dans chaque classe des élèves en grandes ment ce « plus tard ». Il va devoir forger ses
difficultés voire en refus. Pour eux, les retards premières « clés pour démontrer », en accep-
scolaires s’accumulent, les bonnes habitudes tant avec confiance le guidage méthodique que
sociales se perdent, et le goût du travail bien nous allons lui proposer.
fait disparaît. Alors nous voulons les « remettre
en route ». Pour eux et pour toute la classe. Dès le début de sa 6ème, le nouveau col-
Tant mieux si une activité proposée se dérou- légien doit transformer profondément ses
le bien ! Tant mieux si quelques échanges premières notions géométriques venues de
8conflictuels construisent ou « réparent » des son milieu culturel et de l’école primaire. Par
connaissances. Mais nous savons bien qu’on exemple, il confond fréquemment les mots
ne peut pas en rester-là. Le reste ne se fera « parallèle », « perpendiculaire », « horizontale
» et « verticale ». C’est la même chose avec «
8 Le conflit « socio-cognitif » au sens de Piaget. carré », « rectangle », « losange » … Parfois
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