Geometrie Differentiable Annee

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Geometrie Differentiable Annee 2006–2007 Ch. Peters 31 mars 2008

  • courbes

  • courbes ?

  • rn du produit euclidien

  • vecteur velocite au temps t0

  • atlas differentiable

  • coordonnees euclidiennes

  • equations de structure


Publié le : samedi 1 mars 2008
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G´eom´etrie
Ann´ee
Di´erentiable
20062007
Ch. Peters
31
mars
2008
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Tabledesmatie`res
1 Courbes 5 1.1 Courbes Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Courbes Gauches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Surfaces 11 2.1P´etrages...........................11 aram 2.2 Quelques Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3Atlasdi´erentiable........................15 2.4 Courbure de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3Champsetformesdie´rentiables21 3.1 Champs vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2Alg`ebremultili´ire.......................25 nea 3.3Formesdi´erentielles.......................30 3.4ComportementsousdesApplicationsDe´rivables.......33 ´ 3.5 Equations de Structure surRn 36. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Le Lemme de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ´ 3.7 Equations de Structure : Cas des Surfaces . . . . . . . . . . . 41 3.8Surfacesa`CourbureConstantePositive............44 4Vari´et´esDie´rentiables47 4.1 Notions de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2Fibre´sVectoriels.........................50 4.3 Champs Vectoriels et Groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . 57 4.4FormesDi´erentielles.......................58 5 Connexions 63 5.1 Notions de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.2 M´t iques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 e r 5.3ConnexionsM´etriques......................68
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TABLE
DES
` MATIERES
Chapitre 1
Courbes
Unecourbeγ:IRnest une applicationCd’un intervalle ouvert IdansRn. SiIcontient 0 on dit que lacourbeγpasse parp=γ(0). On note : ˙γ:=dγtd=dγdt1 . . .  dγndt ` lesγkltroocnose´seodnndieiuelcdennesγ. Si on munitRndu produit ou es euclidienh−−istandard, pour deux courbesγ1etγ2on a : hγ1 γ2i˙ =hγ˙1 γ2) +hγ1 γ˙2i(1.1) Cetteformulesev´eriefacilementencoordonn´eeseuclidiennes. On dit que le vecteurt(t0) :=γ˙ (t0) est le vecteurev´elocit´au tempst0 etkt(t0)klavitesseau tempst0. Une courbe est dite`iregelur´esit6= 0 partout. Dans ce cas (1.1) implique que sa vitesse est une fonctionCqu’on pourraitdoncint´egrerlelongdeγ; la fonction τ7→s(τ) =Zτakt(u)kdu s’appelle lalongueur d’arcsurγ(Ivrlanietel]ntl´etaa b C’est une[ ). fonction strictement monotone, donc inversible :test une fonction deset lonpeutreparame´trerγparsirar´nceO. g(s) :=γ(t(s)) etonremarquequeparrapport`asla vitesse est toujours = 1.
1.1 Courbes Planes On suppose queg(sre`eliguetm´rapalrapee´ra)estuenocrueblpnaree´ longueur d’arcs. On pose t=g˙. 5
6 COURBESCHAPITRE 1. Cestunvecteurunit´etangent`alacourbe.Onchoisitnceetrunuocmmve´eit orthogonal`attelle que{tn}alidtner(tocmeneitiveposent´torisenioctre de la montre). On dit qu’on a uner`premebolieoci´e`alacourbe.eLass repe`re{tn}ppta´eelsep`reederentFeer. ˙ Siond´erivelarelationhtti= 1 on trouve quettet on pose t=κn κ: lacourburedeγ. Alors on montre facilement : Lemme 1.1.1(Frenet).Soitgpanelaeprbouecunlalrapee´rte´mareurongu d arc. ˙ t=κn n˙κt. =Soitγuocerebruge´e`ilavrepaecm`rareetnut. Puisque ddtt=ddtsdsdt=ddts∙ k˙γk
on obtient Corollaire 1.1.2(Frenet–bis). ˙ t=kγ˙k ∙κn ˙n=−k˙γk ∙κt. Lamotivationdumotcourburevientdele´tudeduncerclekxk=r parame´tre´parlalongueurdarc.Ontrouveh˙xxitnavenu,dncri´e=0doet fois de plushxx¨i+h˙xx˙i= 0 et doncκhxni = 0 par Frenet, ce qui+ 1 donne 1 κ=. r Eneet,uncercledevraitˆetrecourb´edefac¸oninversementproportionnelle `sonrayon.Onintroduit,plusge´ne´ralement,lece le de courburede la arc courbegau pointg(s0) =g0onqe´itaulrap + kx[g01(s0)]k=|κ(1s0)|. κ(s0)n Lescentresde´criventlacourbey(s) =g(s)+κ1(s)n(sl´eeappe,)eepelopd´ev ´ deg.
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1.2. COURBES GAUCHES Exercices au§1.1 1. Pour une courbe (x(t) y(t)) montrer que xyxy ˙ ¨ ¨ ˙ κ˙=(x2+y˙2)3/2. 2.De´terminerlerepe`remobilepouruneparaboley=px2sur l’intervalle x]11[. 1.2 Courbes Gauches Maintenantgitsoecunnieiddanslespaceeucluobrree´ugile`erR3(muni duproduitscalairestandard)et-parnosconventions-param´etr´eeparla longueur d’arc. On poset(s) = ˙g(sinoet`ntlacaeutobrruaaetpgun),levec g(seerubmmoc)itlacour.Ond´en ˙ κ:=|t|.(1.2) ˙ De (ttuqeudtidne´1o)=tetsal`aogonortht, mais il faut noter que ce vecteurest0auxpointso`ulacourbureest0.Siκ >0 partout on pose : ˙ t n:=. κ et on introduit lebinormal b:=t×n. Parconstruction,lerepe`re{tnb}, ditepertreFendeere`a uneorienta-tion positive. En posant τ ˙:= (nb) (1.3) on a Proposition 1.2.1(Frenet-II). ˙ t=κn n˙ =κt+τb ˙ b=τn. De´monstrationi`erprem:Lacourbure´dalinenoitaledeqe´tiuasoondert (1.2). Pour la seconde, on pose ˙n=αn+βt+γbnodtuaflmrete´dcinertie α=h˙nti,β=hn˙nietγ=hn˙bivie´dr.eiSnohnti= 0 on trouve α=κ, dehnni= 1 on trouveβntvari´etd0e=hnbi= 0, utilisant (1.3) on trouveγ=τ.eme`uqe´rtaLisiodu´edeitioatednsonsifa¸cire.mila
8 COURBESCHAPITRE 1. Remarque.nOnteralitatipr´edetesuonanivκetτ. Soitg(senu)ruocbe`a v´elocit´e1etcourbure>0 autour des= 0. Alors, si on utiliset(0)n(0)b(0) commerepere,etone´critg(s) = (x(s) y(s) z(s)). Alors ` x(s) =s+ O(s2) y(s) =21κ(0)s2+ O(s3) z(s) =16κ(0)τ(0)s3+ O(s4). L ´ ltat principal est : e resu The´ore`me1.2.2.tnocasaye`erugilsr´eurbeescossedn-norebuurPrloulaac nulle,a`uneisome´triedirectepr`es,lacourbeestde´termin´eeparsacourbure et sa torsion. Pourmontrercere´sultat,onutilise: Rappel 1.2.3ae´n)erilbe`P(orCaucmedeaslihy-c.SoitVunR-espace vectoriel de dimension finie etA(s)un endomorphisme deVqui depend de ´ fac¸onC1desI=]a b[. Soits0I,y0VucCahy`ebldemepeorrols.lA ˙ =A(s)yy(s0) =y0 y admet une solution uniquey(s)valable surIentier. Onde´duit: Lemme 1.2.4.SoitIun intervalle ouvert deRet soientκ τ:IR deuxfonctionsde´rivables,κ >0. On fixex0R3,{e1e2e3} `et u n repere orthonorme´deR3. Il y a une unique courbeg:IR3mararte´pee´rap longueur d’arc telle queg(s0) =x0et{t(s0)n(s0)b(s0)}={e1e2e3}. De´monstrationO:aln.3.2`alippe1quV=R3×4pscadesel,e`amatrices 3ligneset4colonnesquiparam`etrelesquadrupletsdesvecteurs(lignes) deR3suivante:`aun.Prcouuieqitsunu,oilitalesatonnoitm-uplet de vecteurs (colonnes) deRn, disonsV={v1 . . . vm}on associe la matrice M(V) dont lesmlignes sont lesmvecteurs lignesTvi,i= 1 . . .  m. La conditioninitialese´critalorsy(s0) =M(x0e1e2e3)V,ou`x0R3et {e1e2e3}normrtho´edep`reeoereunstR3. On pose 0100κ000A=000κ0ττ0. Lasolutionduprobl`emedeCauchys´ecritM(g(s)t(s)n(s)b(s)). La courbe gpasse parx0esebruocettectecherchbeurcolarae´.e On montrera d’abord que{t(s)n(s)b(s)}utsepernorone.m´re`ethorlI suffit de montrer que la matriceB=M(tnbya)aecsvlentrudsruetere`pe
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