Geometrie spinorielle et theoremes de la masse

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Geometrie spinorielle et theoremes de la masse positive Simon RAULOT Memoire de DEA Sujet propose par Oussama HIJAZI

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Publié le : lundi 18 juin 2012
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G´eom´etrie spinorielle et
th´eor`emes de la masse
positive
Simon RAULOT
M´emoire de DEA
Sujet propos´e par Oussama HIJAZIIntroduction
Ce travail a pour objectif de d´emontrer deux th´eor`emes de masse pos-
itive en suivant la m´ethode utilis´ee par Edward Witten (voir [W]) qui fait
intervenirdesoutilsspinoriels.Poursefaire,onsuivraplusparticuli`erement
l’article de Marc Herzlich [He1] et celui de Parker et Taubes [PT].
Danslapremi`erepartie,unpetitd´etourparlaphysique(plussp´ecifiquement
par la relativit´e g´en´erale) s’impose. En effet, le th´eor`eme de la masse posi-
tiveestun´enonc´emath´ematiquebas´esurl’id´eeintuitivequelamassetotale
d’un syst`eme gravitationnel doitˆetre positive ou nulle d`es qu’il poss`ede une
densit´e de masse locale positive. C’est donc dans cette premi`ere partie que
l’on va voir comment on peut associer (`a une certaine classe de vari´et´es)
un invariant g´eom´etrique, et pourquoi on peut alors l’assimiler a` une masse
(ou a` une ´energie du fait que masse et ´energie sont intimement li´ees par la
c´el`ebre ´equation d’Einstein).
Ladeuxi`emepartieseraconsacr´eea`lag´eom´etriespinorielleet`al’op´erateur
de Dirac. Apr`es un travail alg´ebrique assez important (voir Annexe), on
pourra d´efinir la notion de structure spinorielle sur une vari´et´e riemanni-
enne orient´ee, ce qui nous permettra alors de construire un fibr´e vectoriel
associ´e (le fibr´e des spineurs) et de s’int´eresser a` ses sections : les spineurs.
Onpourraensuited´efinirl’op´erateurdeDiracqui,commeonleverra,estun
op´erateur diff´erentiel lin´eaire elliptique d’ordre un agissant sur les champs
de spineurs. Cet op´erateur est un outil fondamental en g´eom´etrie spinorielle
et il est aussi tr`es important pour traiter le probl`eme qui nous int´eresse
ici. On verra ensuite que lorsque l’on s’int´eresse a` la g´eom´etrie extrins`eque
d’une hypersurface immerg´ee, on peut alors identifier les diff´erents fibr´es
des spineurs entrant en jeu. De la mˆeme mani`ere, on pourra ainsi d´efinir
diff´erents op´erateurs de Dirac, dont un s’av`erera tr`es important dans la
r´esolutiondesth´eor`emesdemassepositive:l’op´erateurdeDirac-Witten.On
finiracettepartieens’int´eressantplusparticuli`erementauxvari´et´esrieman-
niennesspinoriellesposs´edantunbordnonvide,etdoncauxdiff´erentstypes
de conditions a` bord que l’on peut imposer a` la r´esolution d’une ´equation
mettant en jeu un op´erateur diff´erentiel agissant sur les sections d’un fibr´e
vectoriel. On appliquera ensuite les r´esultats obtenus au cas de l’op´erateur
1de Dirac.
Latroisi`emepartiedecetexpos´eapourobjectifded´emontrerunth´eor`eme
de masse positive duˆ a` Marc Herzlich (voir [He1]). Ce th´eor`eme ´etait ini-
tialement destin´e a` prouver une in´egalit´e de type-Penrose (in´egalit´e plus
fine que la positivit´e de la masse), mais, mˆeme sortie de ce contexte, la
d´emonstration faite par Herzlich est tr`es int´eressante du fait qu’elle utilise
un certain type de condition `a bord. On verra aussi de la mˆeme mani`ere en
quoi la g´eom´etrie spinorielle est un outil tr`es puissant donnant une preuve
assez simple d’un th´eor`eme rest´e longtemps sans d´emonstration.
Lequatri`emeetdernierchapitreseraluiaussiconsacr´ea`lad´emonstration
d’un th´eor`eme de masse positive plus connu sous le nom de th´eor`eme de
l’´energie positive. Cette partie s’appuiera essentiellement sur l’article de
Parker et Taubes [PT] qui est en fait un raffinement de l’article de Edward
Witten [W] qui fut le premier `a voir quel rˆole pourrait avoir l’utilisation des
techniques spinorielles dans le cadre de la conjecture de la masse positive.
2Table des mati`eres
1 Relativit´e g´en´erale 5
1.0.1 Apparition d’un invariant g´eom´etrique . . . . . . . . . 5
1.0.2 Pourquoi appeler cet invariant “masse” . . . . . . . . 10
2 Structures spinorielles et op´erateur de Dirac 13
2.1 Connexion et courbure spinorielle . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Vari´et´e spinorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 La connexion de Levi-Civita spinorielle . . . . . . . . 16
2.1.3 Le tenseur de courbure spinoriel . . . . . . . . . . . . 19
2.2 L’op´erateur de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Op´erateurs diff´erentiels lin´eaires . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 L’op´erateur de Dirac sur des vari´et´es compactes sans
bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3 La formule de Schr¨odinger-Lichnerowicz . . . . . . . . 30
2.3 Restriction des spineurs a` une hypersurface . . . . . . . . . . 32
2.3.1 Restriction de la structure spinorielle . . . . . . . . . . 33
2.3.2 Identification du fibr´e des spineursS avec le fibr´e ΣM 34
2.3.3 La formule de Gauss spinorielle . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Ellipticit´e des conditions a` bord . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.2 Le cas de l’op´erateur de Dirac . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.3 Deux types de condition `a bord . . . . . . . . . . . . . 40
3 Un th´eor`eme de masse positive 42
3.1 Une formule de Bochner-Lichnerowicz-Weitzenb¨ock . . . . . . 43
3.2 Choix d’un spineur convenable pour la r´esolution du probl`eme 47
3.3 “Apparition” de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Th´eor`eme de l’´energie positive 56
4.1 Une formule de Weitzenboc¨ k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Expression de l’´energie en terme de spineurs . . . . . . . . . . 64
4.3 R´esolution de l’´equation de Dirac sur l’hypersurface . . . . . 69
34.4 Preuve du th´eor`eme de l’´energie positive . . . . . . . . . . . . 76
A Alg`ebres de Clifford et groupes spinoriels 79
A.1 Alg`ebres de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A.1.1 D´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . 79
A.2 Classification des alg`ebres de Clifford . . . . . . . . . . . . . . 85
A.2.1 Les alg`ebres de Clifford r´eelles . . . . . . . . . . . . . 85
A.2.2 Les alg`ebres de Clifford complexes . . . . . . . . . . . 89
A.3 Le groupe spinoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
A.3.1 D´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . 91
A.3.2 Le groupe Spin en petite dimension . . . . . . . . . . 96n
A.3.3 Alg`ebre de Lie du groupe Spin . . . . . . . . . . . . . 99n
A.4 Repr´esentationsdesalg`ebresdeCliffordetrepr´esentationspinorielle101
A.4.1 Quelques ´el´ements de la th´eorie des repr´esentations . . 101
A.4.2 Repr´esentations irr´eductibles des alg`ebres de Clifford . 101
A.4.3 Repr´esens spinorielles r´eelle et complexe. . . . . 106
B Les fibr´es vectoriels et principaux 109
B.1 Fibr´es vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
B.2 Fibr´es principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
B.3 Forme de connection et d´eriv´ee covariante . . . . . . . . . . . 111
B.4 Forme de courbure et tenseur de courbure . . . . . . . . . . . 113
4Chapitre 1
Relativit´e g´en´erale
Danscettepartie,oncherche`afaireapparaitreuninvariantg´eom´etrique
(que l’on appellera “masse”) d’une fa¸con assez naturelle. Pour cela, on con-
sacre la premi`ere section de ce m´emoire a` la physique, et plus pr´ecisement
a` la relativit´e g´en´erale, car c’est dans cette discipline que cet invariant est
apparu pour la premi`ere fois. On suivra plus particuli`erement l’article de
Lee et Parker [LP] ainsi qu’un expos´e effectu´e par Xavier Charuel lors du
s´eminaire de g´eom´etrie spinorielle de l’institut Elie Cartan de la facult´e des
sciences de Nancy.
1.0.1 Apparition d’un invariant g´eom´etrique
L’apparition de l’invariant annonc´e est survenue avec l’´etude d’une cer-
taine classe de vari´et´es, les vari´et´es asymptotiquement plates. On donne
donc tout d’abord la d´efinition de ces derni`eres.
D´efinition 1.0.1 Une vari´et´e riemannienne (N,g) est dite asymptotique-
ment plate d’ordre τ si il existe une d´ecomposition N = N ∪N (ou` N0 ∞ 0
est compacte) et un diff´eomorphisme
nφ:N −→R −B pour R>0,∞ R
(ou` B est la boule euclidienne de rayon R) satisfaisantR
−τg = δ +O(r )ij ij
−τ−1∂ g = O(r )k ij
−τ−2∂∂ g = O(r )l k ij
lorsque r =|z|→∞ dans les coordonn´ees {z} induites par φ sur N . Lesi ∞
coordonn´ees {z} sont appel´ees coordonn´ees asymptotiques ou coordonn´eesi
a` l’infini.
Remarque 1 On rappelle qu’une fonction f =O(g), ou` g est une fonction
positive, si il existe une constante C >0 telle que |f|≤Cg.
5La relativit´e g´en´erale mod´elise l’espace-temps par une vari´et´e N munie
d’une m´etrique lorentzienne g ( i.e. dont la signature est ( − + + +)).
La m´etrique repr´esente le champ gravitationnel, elle joue alors deux rˆoles
essentiels. Premi`erement, la m´etrique d´etermine la dynamique; i.e. les tra-
jectoires des particules en chute libre suivent exactement les g´eod´esiques de
la vari´et´e N. Deuxi`ement, elle doit satisfaire une ´equation visant `a d´ecrire
l’influenced’unedistributiondemati`eresursonchampgravitationnel.Cette
´equation est appel´ee l’´equation des champs d’Einstein et elle est donn´ee par
1
Ric− Sg =8πT
2
ou` Ric (resp. S) est le tenseur de courbure de Ricci (resp. la courbure
scalaire) de la vari´et´e N et ou` T est un tenseur d’impulsion-´energie dont
l’expression varie selon les int´eractions en pr´esence. On se propose alors
d’´etudierl’´equationd’Einstein.Unefa¸condeproc´ederestdeconsid´ererl’ac-
tion int´egrale d’Einstein-Hilbert donn´ee par
Z
A(g)=− S dv .g g
N
Gracˆ eaulemmesuivant,onpeutalors´etudierlavariationpremi`eredecette
action.
Lemme 1.0.2 Etantdonn´esunevari´et´eriemannienneoupseudo-riemannienne
(N,g),hun2-tenseursym´etrique,unefamilledem´etriquesg a`unparam`etret
dv´erifiant g =h, et si S (resp. dv ) d´esigne la courbure scalaire (resp.t t tdt|t=0
la forme volume) de la m´etrique g , alors on at
d jk(Sdv )=−(h G +div(ξ))dvt t jk g
dt|t=0
1ou` G = Ric− Sg est le tenseur d’Einstein de la vari´et´e N et ou` ξ est une
2
∗ k k j1-forme donn´ee par ξ =−(∇ h+∇(trh))=(h , −h )dx .jk k ,j
Remarque 2 1. Dans toute la suite de ce m´emoire, on adoptera la con-
vention d’Einstein. Cette convention consiste a` ne pas ´ecrire le sym-
bole de sommation mais a` sous-entendre qu’il y a une somme sur les
indices r´ep´et´es plusieurs fois.
2. Afin d’all´eger l’´ecriture dans le lemme pr´ec´edent, on a utilis´e des no-
tations bien particuli`eres. On en rappelle donc leurs significations :
si par exemple, on consid`ere T un tenseur deux fois covariant (i.e.
∗ ∗T ∈Γ(T M⊗T M)), alors on sait que l’on peut l’´ecrire (localement)
i jT =T dx ⊗dx ou`T sont des fonctions lisses sur la vari´et´eN.ij ij
6On sait alors que puisque les 1-formes et les champs de vecteurs sont
m´etriquement ´equivalents, on peut ´ecrire
ijT =T ∂ ⊗∂i j
ij ij ik jlou` les coefficients T sont donn´es par : T =g g T . De la mˆemekl
mani`ere, on aura alors :
i ilT = g Tljj
j kjT = g T .iki
On notera aussi :
T =∂ T .ijij,k k
Preuve du lemme 1.0.2 : On a
d d d
(Sdv )=( S )dv +S( dv ),t t t g t
dt|t=0 dt|t=0 dt|t=0
on se propose donc de calculer les deux termes de d´eriv´ee l’un apr`es l’autre.
Commen¸cons tout d’abord par le second terme :
pd d
dv = ( detg dx)t t
dt|t=0 dt|t=0
p1 −1= detg tr(g h)dx
2
1 jk= h g dv .jk g
2
Par un calcul simple, on peut montrer que le tenseur de courbure de Ricci
est localement donn´e par
i i i l i lR =∂ Γ −∂ Γ +Γ Γ −Γ Γ ,jk i kkj ij il jk kl ij
kou` les coefficients Γ sont les symboles de Christoffel de la connection de
ij
Levi-Civita de la vari´et´e N. En se pla¸cant dans un syst`eme de coordonn´ees
normales a` l’origine, et puisque
1k kmΓ = g (∂g +∂ g −∂ g )i mj j mi m ijij 2
on a
1k km∂ Γ = g ∂ (∂g +∂ g −∂ g ).l l i mj j mi m ijij 2
jkLa courbure scalaire S ´etant donn´ee par S =(g ) (R ) , on a alorst t t t jk
d d djk jkS =( (g ) )R +g ( (R ) ).t t jk t jk
dt dt dt|t=0 |t=0 |t=0
7d jkOr on voit facilement que le terme (g ) n’est rien d’autre que latdt|t=0
d −1(jk)-i`eme composante de g , on obtient donctdt|t=0
d djk −1(g ) = ( g )t jktdt|t=0 dt|t=0
−1 −1= −(g hg )jk
jl km jk= −g g h =−h .lm
De plus, comme on s’est plac´e dans un syst`eme de coordonn´ees normales,
kles composantes de la connection Γ sont nulles a` l’origine. Le tenseur deij
courbure de Ricci est donc donn´e par
i iR = ∂ Γ −∂ Γjk i kkj ij
1 1il il= g ∂ (∂ g +∂ g −∂g )− g ∂ (∂g +∂ g −∂g )j i j ijl k lj lk l jk k lj li l2 2
1
= (∂∂ g −∂∂g −∂ ∂ g +∂ ∂g ).i j lk i l kj k j il k l ij
2
Ceci nous permet alors de calculer
d 1 il(R ) = − h (∂∂ g −∂∂g −∂ ∂ g +∂ ∂g )t jk i j lk i l kj k j il k l ij
dt|t=0 2
1 dil+ g (∂∂ (g ) −∂∂ (g ) −∂ ∂ (g ) +∂ ∂ (g ) ).i j t lk i l t kj k j t il k l t ij2 dt|t=0
On a donc
d 1jk il jk ilg (R ) = −h R + g g ∂ (∂ h −∂h )t i jjk il lk l kjdt 2|t=0
1 jk il+ g g ∂ (∂h −∂ h )k l ij j il
2
il jk il= −h R +g g ∂ (∂h −∂ h ),ij jil k l il
et alors
d jk jk ilS =−2h R +g g ∂ (∂h −∂ h ).t jk k l ij j ildt|t=0
D’autre part, puisque par d´efinition la 1-forme ξ est explicitement donn´ee,
on v´erifie facilement que
jkj k−div(ξ) = h −hjk, k,j
jk il jk= g g ∂ (∂h −∂ h )−h R .k l ij j il jk
La d´eriv´ee de la courbure scalaire s’´ecrit donc
d jkS =−h R −div(ξ),t jk
dt|t=0
8et on peut ainsi conclure en calculant
d S jk jk(Sdv ) = h g dv −h R dv −div(ξ)dvt t jk g jk g g
dt|t=0 2
jk= −(h G +div(ξ))dv .jk g

En appliquant ce lemme `a des variations a` support compact (on prend h
`a support compact), le th´eor`eme de divergence montre que l’on a alors
Z
d d
A(g ) = − (Sdv )t t t
dt dt|t=0 |t=0NZ
jk= (h G +div(ξ))dvjk g
NZ
jk= h G dv .jk g
N
Une m´etrique lorentzienneg est donc un point critique (pour des variations
`a support compact) de l’action int´egrale d’Einstein-Hilbert si et seulement
si elle v´erifie l’´equation des champs d’Einstein dans le vide, i.e. G = 0.jk
Cependant, on peut chercher les m´etriques qui sont critiques pour A sous
touteslesvariationsquiconserventlecaract`ereasymptotiquementplatd’une
vari´et´e. Le terme de divergence entre alors ici en jeu. On int`egre l’´el´ement
d (Sdv ) sur une sph`ereS qui est dans le bout asymptotique et on faitt t Rdt|t=0
tendrelerayonRversl’infini.SiN d´esignelapartiecompactedelavari´et´eR
N d´elimit´ee par S , on a doncR
Z Z Z
d jk− (S dv ) = h G dv + div(ξ)dvt t jk g g
dt|t=0N N NR R RZ Z
jk= h G dv − ξ(ν)dsjk g g
N SR R
ou` lechampdevecteursν estnormalrentrantdeS .Enpassanta`lalimite,R
on obtient
Z Z
d jkA(g )= h G dv − lim ξ(ν)dst jk g g
dt R→∞|t=0 N SR
ou`
k kξ = h −hj jk, k,j
ki= g (h −h )jk,i ik,j
ki −τ= (δ +O(r ))(∂h −∂ h )i jk j jk
−τ= (∂h −∂ h )+O(r ).i ij j ii
9

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