Géométriediérentielle, groupesetalgèbresdeLie, fibrésetconnexions

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Géométrie différentielle,groupes et algèbres de Lie,fibrés et connexions Thierry MASSON B CPT (UMR 6207)Case 907 - Campus de LuminyF-13288 Marseille Cedex 9k Version du 8 mars 2010
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Publié le : mercredi 28 mars 2012
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Géométrie différentielle,
groupes et algèbres de Lie,
brés et connexions
Thierry MASSON
B CPT (UMR 6207)
Case 907 - Campus de Luminy
F-13288 Marseille Cedex 9
k thierry.masson@cpt.univ-mrs.fr
Version du 8 mars 2010Table des matières
Table des matières 1
Introduction 3
1 Variétés différentiables 5
1.1 Variétés différentiables, généralités ................................................................ 5
Dé nitions des variétés Espace tangent Champs de vecteurs Espace cotangent Applications différentiables entre
variétés
1.2 Tenseurs et formes différentielles.................................................................. 14
Rappel sur les tenseurs Tenseurs sur une variété Formes différentielles Différentielle Cohomologie de de Rham
Dérivée de Lie Intégration
1.3 Connexions linéaires.............................................................................. 23 Torsion et courbure
1.4 Variétés riemanniennes ........................................................................... 28
Métrique Connexion de Levi-Civita Coordonnées normales Bases non-coordonnées, repères locaux Théorie de
3Hodge Exemple de R
1.5 Groupes d homotopie............................................................................. 39
Composantes connexes par arcs Le groupe fondamental Revêtement universel Groupes d homotopie d ordres
supérieurs
2 Groupes et algèbres de Lie, représentations 43
2.1 Dé nitions....................................................................................... 43
Groupes topologiques et groupes de Lie Algèbres de Lie Algèbre de Lie d un groupe de Lie Application
exponentielle
2.2 Action d un groupe de Lie ........................................................................ 48
Dé nitions Champ de vecteurs fondamental Orbite d une action, espaces quotients, espaces homogènes
2.3 Représentations de groupes....................................................................... 51
Généralités sur les représentations Représentations de groupes nis Représentations de groupes compacts
2.4 Développements sur les algèbres de Lie............................................................ 62
Algèbre enveloppante d une algèbre de Lie Dualité sur une algèbre de Lie Représentations d algèbres de Lie
Représentations adjointe et coadjointe Formes bilinéaires Algèbres de Lie et semi-simplicité
2.5 Revêtements et groupes .......................................................................... 74
Généralités Les groupes Spin Le groupe des rotations Le groupe de Lorentz
3 Fibrés, connexions 81
3.1 Notions de brés................................................................................. 81
Fibré principal Fibré de bre quelconque Fibré vectoriel Opérations sur les brés Fibrés associés
3.2 Connexions sur un bré principal.................................................................. 94 Formes à valeurs vectorielles Formes tensorielles Différentielle covariante Courbure Le groupe de
jauge et son action Relèvement horizontal, groupe d holonomie
3.3 Connexions sur un bré vectoriel associé........................................................... 107
Du bré principal au bré vectoriel associé Dérivation covariante et connexion
3.4 Expressions locales ............................................................................... 112
Préliminaires La 1-forme de connexion et la courbure La différentielle covariante Lien avec la physique des
champs de jauge
3.5 Le bré principal L(M)........................................................................... 117
Le bré p L(M) Connexions linéaires La torsion revisitée
3.6 Classes caractéristiques........................................................................... 122
Polynômes invariants L homomorphisme de Weil Classes et caractères de Chern Classes de Pontrjagin Classe
d Euler
Bibliographie 129
Index 1312 Table des matières
Introduction
Dans ce polycopié sont donnés quelques bases sur les variétés différentiables, les groupes, les algèbres de
Lie, leurs représentations, les brés et objets associés. Loin d être complet, ce texte expose des dé nitions et
résultats importants dans ces domaines. Il est destiné à une utilisation en physique théorique, où ces outils
mathématiques sont de première importance aujourd hui. Peu d exemples y sont développés car les références
citées en sont bien fournies. A partir de ce texte, il doit être possible d aborder ces divers ouvrages avec pro t,
c est d ailleurs l un de ses buts. Les démonstrations sont souvent absentes, car leur présence nuirait trop à
l enchaînement des idées. Seuls quelques calculs techniques souvent absents dans les ouvrages courants sont
exposés, de façon à illustrer des concepts et rendre moins mystérieux certains résultats.
nPour aborder ce cours, nous supposons connues les notions de calcul différentiel sur R (applications
n mdifférentiables de R dansR , dérivées de ces applications, ...), les notions d algèbres linéaires élémentaires
(espaces vectoriels de dimensions nie, bases, dualité, quotients, matrices, ...) et quelques notions simples sur
les groupes (dé nition, homomorphismes, sous-groupes, ...).
Notation : La convention d Einstein de sommation sur les indices répétés, l un en haut , l autre en
bas , est systématiquement utilisée. Une même lettre d indice qui apparaît deux fois, une fois comme indice
haut et une fois comme indice bas, est l expression d une sommation :
iX i
se lit donc X
iX i
i
Si une même lettre d indice apparaît plusieurs fois mais toujours à la même hauteur, ce n est pas une som-
mation (sauf mention contraire!) :
S =g Si ij j
@ i@n est pas une sommation sur j. Dans , l indice i est en position basse, donc X est une sommation.i i@x @x4 Introduction
Chapitre 1
Variétés différentiables
1.1 Variétés différentiables, généralités
Références : (Arnold, 1997; Aubin, 2000; Bertlmann, 1996; Bredon, 1997; Choquet-Bruhat et DeWitt-
Morette, 1982; Doubrovin et al., 1982a; Gallot et al., 2004; Göckeler et Schücker, 1989; Kobayashi et No-
mizu, 1996a; Kobayashi et Nomizu, 1996b; Lang, 2002; Nakahara, 1990; Postnikov, 1981a; Postnikov, 1990b;
Schwarz, 1996; Sternberg, 1983; Warner, 1996).
1.1.1 Dé nitions des variétés
nLa notion de variété différentiable essaie de généraliser le calcul différentiel qu on sait dé nir sur R . Pour
ncela, nous allons introduire des objets mathématiques qui ressemblent localement à R , a n d y transférer
ce que nous savons déjà y faire (i.e. continuité, dérivabilité, vecteurs, applications diverses...), mais qui
n 3globalement ne seront pas topologiquement identiques àR . De tels objets nous sont familiers dansR : une
2sphère, un tore, un cylindre, une selle, une nappe... ressemblent localement à R . Nous voyons toujours ces
3objets comme sous-ensembles de R . Ce que nous allons dé nir ne peut a priori pas être vu comme sous-
nensemble d un R . Nous voulons en donner une dé nition intrinsèque, que nous appellerons variétés, sans
faire référence à un espace plus grand. Nous sommes dans la situation d habitants d une sphère qui voudraient
3dé nir leur habitat sans connaître ni se référer à R . Un habitant d une sphère, s il était mathématicien, se
2rendrait compte que localement (et seulement localement) son habitat ressemble à un ouvert de R . C est
cette propriété qui va être à la base de la construction des variétés. Nous allons recoller ensemble des ouverts
n ndeR . Globalement, nous n auront pas nécessairement R , mais localement, nous aurons à notre disposition
ntout ce que nous savons faire sur un ouvert de R .
Variétés topologiques
Nous allons ainsi dé nir ce qu est une variété topologique. M est une variété topologique si :
1 M est un espace topologique séparé ;
Pour tout p2M, il existe un ouvert U de M contenant p, et un homéomorphisme
n :U!WR
noù W est un ouvert deR .
Nous dirons que n est la dimension de M. Le couple (U,) est une carte locale de M. Un ensemble
de cartes localesf(U , )g tel que la réunion des U soit M tout entier est appelé atlas de la variété.i i i2I i
On dira alors quefUg est un recouvrement d ouverts de M. A priori, cet atlas n est pas unique. Eni i2I
particulier, la réunion de deux atlas est encore un atlas.
Éclairons cette dé nition. M est un espace topologique, c est à dire que l on a accès sur M à la notion
de continuité. Ainsi, il est possible de considérer des fonctions continues f :M!R. Ensuite, M ressemble
nlocalement à R . En effet, autour de chaque point de M, nous identi ons un ouvert U de M à un ouvert
n 2W = (U) de R grâce à l homéomorphisme . L image visuelle que nous pouvons nous donner de cette
identi cation est donnée par la gure 1.1.
Nous rappelons qu un espace topologique M est connexe s il ne peut pas s écrire M = U [U avec1 2
U \ U =∅ et U et U deux ouverts de cet espace topologique M.1 2 1 2
Une variété connexe est une variété topologique connexe. Elle est donc constituée d un seul morceau.
Dans la suite, nous ne considérerons que des espaces topologiques connexes, donc des variétés connexes, sans
qu il soit nécessaire de le préciser.
1. Un espace topologique est dit séparé si, pour tous points x,y de cet espace, il existe un voisinage U de x et un voisinage
V de y tels que U\V =∅.
2. Nous rappelons qu un homéomorphisme est une application bijective et continue dans les deux sens.6
6
6 Chapitre 1 Variétés différentiables Variétés différentiables, généralités 7
rlogique peut admettre plusieurs structures différentiables. Un atlas de classe C est bien sûr un atlas de
0r 0classe C pour tout r r.
0φ r r 0M U W Une carte locale (U,) d une variété différentiable de classe C sera dite de classe C pour r r, si la
0
rréunion de cette carte avec un atlas qui dé nit la structure différentiable de M est un atlas de classe C .
n 01 rR Cette dé nition impose donc que les applications soient de classeC . Il sera donc possible de réuniri
r r rdeux atlas de classe C en un atlas de classe C , si toutes les cartes locales de l un sont de classe C pour la
structure différentiable dé nie par l autre.
0r 0Nous dirons qu une fonction f :M!R est différentiable de classe C , avec r r, si pour toute carteFigure 1.1 Le couple (U,) constitue une carte de la variété M.
0 0r 1 rlocale (U,) de classe C , f :(U)!R est de classe C .
1Dans toute la suite, les variétés différentiables seront prises de classeC , et toutes les cartes locales seront
1prises de classe C .UjM Ui
Coordonnées locales
nSoit (U,) une carte locale de la variété différentiable M. Pour p2 U, (p)2 R peut s écrire (p) =
1 n 1 n(x (p),...,x (p)). Nous dirons que (x (p),...,x (p)) sont les coordonnées de p dans la carte (U,).
φj 1 nφi Nous dirons alors que lesn applications (x ,...,x ) sont lesn applications coordonnées associées à cette
icarte, que nous noterons plus brièvement (x ).
Wj−1φ ◦φj i
n 1 nW Soit :(U)!WR un difféomorphisme (de classeC ) entre l ouvert (U) deR et un autre ouverti
n n nR R W de R . Alors (U,) est encore une carte locale de la variété différentiable M, dont les coordonnées
associées ne sont plus celle associées à la carte locale (U,). Pour un ouvert U de M donné, il existe donc
une in nité de systèmes de coordonnées sur U. permet d effectuer un changement de coordonnées sur
i jFigure 1.2 Les deux cartes (U , ) et (U , ) se raccordent sur l intersection U \ U =∅. l ouvert U. Si (x ) sont les coordonnées associées à (U,) et (y ) sont celles associées à (U,), alors nousi i j j i j
j i jnoterons symboliquement le changement de coordonnées (y (x )) où l on regarde les y comme n fonctions
1 n(de classe C ) dé nies sur l ouvert (U) deR .
Variétés différentiables Nous dirons que le système de coordonnées associé à une carte locale (U,) est centré en p2M sip2U
Il est maintenant naturel de vouloir dé nir la notion de dérivabilité. Nous devons bien comprendre que et (p) = (0,..., 0). Les coordonnées de p sont donc nulles. Un tel système de coordonnée existe toujours
nnous n avons pas accès directement à cette notion sur l espace topologique M. En effet, la dérivabilité surR pour n importe quel p, puisqu il suffit de composer l homéomorphisme d une carte locale par une translation
n nfait explicitement appel à la structure d espace vectoriel de R , puisqu on forme le rapport dansR .
1 nÉtant donné une carte locale (U,), une fonction f :M!R prendra localement la forme f(x ,...,x )
1[f(x +hy) f(x)]/h au dessus de U (par abus de notation). En fait, il s agit ici de la fonction f . Attention donc de ne pas
se laisser piéger par de tels abus d écriture fréquents et sous-entendus.
Surunespacequelconque,cetterelationn aaucunsens apriori.Lasolutionconsisteàtransférerladérivabilité
nconnue sur les ouverts deR vers les ouverts de M qui leur sont homéomorphes. Sous-variétés
Pour cela, remarquons que si nous nous donnons une fonction continue f : M ! R, alors localement, Un sous-ensemble N d une variété M est une sous-variété s il existe un entier kn tel que pour tout
1nous avons une fonction continue f :W!R. Nous pouvons envisager la dérivabilité de cette fonction p2N, il existe une carte locale (U,) de M autour de p telle que
npuisqu elle part d un ouvert de R et va dans R. En un point p2 U, nous souhaitons donc dire que f est
1 kdérivable si f l est en x =(p). Mais qu advient-il de cette dé nition si p2U \ U pour deux ouverts (U\ N) =(U)\ (R f0g)i j
1 1U et U de cartes locales de M ? Est-on sûr que si f est dérivable en x = (p), f l est aussi eni j ii j k n 1 koùR f0g est le sous-ensemble deR constitué des éléments de la forme (x ,...,x , 0,..., 0).y = (p)? La dé nition n aura un sens que si elle est indépendante du choix de l ouvert contenant p.j
Alors N est une variété de dimension k dont les cartes locales ont pour ouverts les U\ N et pourNousrencontronspourlapremièrefoisiciunproblèmededé nitionliéauraccordementdedeuxcartes.En
homéomorphismes associés les applications = que l on considère comme allant de U\ N dans uneffet, a n que les dé nitions proposées soient cohérentes, il nous faudra toujours véri er qu elles ne dépendent N jU\N
kpas du choix de l ouvert (et de la carte) contenant le point où nous travaillons. ouvert deR .
1 Nous avons la notion évidente de sous-variété différentiable, où la structure différentiable est héritéeIci, cette condition de cohérence revient en fait à imposer que les applications soient dérivables,j i
n nces applications allant bien sûr d un ouvert de R dans un autre ouvert deR . Nous dé nissons donc : de celle de la variété ambiante.
rM est une variété différentiable de classe C (r 1) si ( gure 1.2)
Variétés à bord M est une variété topologique;
Une variété topologique à bordM est un espace topologique séparé tel que pour toutp2M, il existe Il existe un atlasf(U , )g de M tel que pour tous i,j tels que U \ U =∅,i i i2I i j
un ouvert U de M contenant p et un homéomorphisme
1 : (U \ U )! (U \ U )j i i j j i ji n :U!WR 1x0
r rest de classe C . Nous dirons alors que l atlas f(U , )g est de classe C .i i i2I
n 1 n n 1oùR 1 =f(x ,...,x )2R /x 0g. W est donc de deux type possibles :Nous voyons ainsi que la notion de dérivabilité sur la variété n est acquise qu à travers la composition x0
n n n 1 navec les a n de retrouver des applications de R surR (ouR ). Ou bien W est un ouvert deR , c est à dire ne rencontre pas l hyperplan x = 0 deR ;i
r n n 1f fUne variété topologique peut admettre plusieurs atlas de classe C . Deux tels atlas ne sont pas toujours Ou bien W est l intersection d un ouvert W deR et deR 1 , où W rencontre l hyperplan x = 0 dex0
r ncompatibles (leur réunion n est pas nécessairement un atlas de classe C ). Cela signi e qu une variété topo- R .6
6
6
8 Chapitre 1 Variétés différentiables Variétés différentiables, généralités 9
Dans le premier cas, nous dirons que (U,) est une carte locale du premier type, dans le second cas, une Seconde dé nition : dérivations
2 n n 1 1fcarte locale du second type. Les pointsp2M tels que(p) = (0,x ,...,x )2W\R pour une carte1 Onconsidèrel espacevectorieldesfonctionsdeclasse C surM,F(M) =ff :M!R, f de classe C g.x0
locale (U,) deM du second type (et donc pour toute carte locale qui contientp), constituent le bord de la Cet espace vectoriel est une algèbre pour le produit usuel des fonctions : (fg)(p) = f(p)g(p). Pour p2 M,
variété M, sous ensemble de M noté @M. Ce sous-ensemble @M est une variété topologique de dimension nous dé nissons sur F(M) une relation d équivalence :
n 1, dont les cartes locales sont les (U\ @M, ) pour les cartes locales (U,) du second type sur M.j@M
fg()9UM, U ouvert avec p2U, tel que f =gCette variété topologique est sans bord, ce qui s écrit jU jU
1@(@M) =∅ On noteC (M) l ensemble des classes d équivalence dans F(M) pour cette relation. Le produit surF(M)p
1passe au quotient (comme il est aisé de le véri er). Donc C (M) est une algèbre.pUn ensemblef(U , )g de cartes locales de M où les U forment un recouvrement d ouverts de M esti i i2I i 1 1Une dérivation sur C (M) est une application linéaire L : C (M)! R qui véri e la relation dep pappelé un atlas de M.
e e er Leibniz en p :L (fge) =L (f)g(p) +f(p)L (ge) où f et ge sont les classes d équivalence de f et g. ParNous dirons qu un atlas f(U , )g est de classe C si :i i i2I
1dé nition, l espace tangent en p à M, T M, est l espace vectoriel des dérivations sur C (M). Pour toute carte locale du premier type (U , ) et toute carte locale de type quelconque (U , ), telles p pi i j j
Quelques remarques sont nécessaires pour éclairer cette dé nition fort abstraite. Tout d abord, la relationque U \ U =∅i j
1 ed équivalence dé nie sur F(M) sert à ne faire dépendreL (f) que des valeurs def autour dep. En effet, : (U \ U )! (U \ U )j i i i j j i j
er n la seule information quef puisse conserver def est son comportement dans un voisinage aussi petit qu on leest de classe C (en tant qu application entre ouverts de R );
3veut dep (s en convaincre est un excellent exercice) . Donc aucun autre point que p ne peut intervenir dans Pour toutes cartes locales du second type (U , ) et (U , ) telles que U \ U =∅i i j j i j 1la dé nition d une dérivation L surC (M). Ensuite, la relation de Leibniz assure que cette dépendance nep1 : (U \ U )! (U \ U )j i i j j i ji peut se faire qu au maximum par la première dérivée de f enp, car une dérivation d ordre supérieur ne serait
r f n pas compatible avec cette relation.peut être prolongée en une application de classeC entre un ouvertW (U\U ) deR et un ouvert1 i i j
nfW (U \ U ) deR . La structure différentiable au bord de M est donc obtenue par restriction des2 j i j Équivalence des dé nitions
n nouverts deR à des ouverts deR .1x0 Ces deux dé nitions sont bien sûr équivalentes. Nous pouvons les relier de la façon suivante. Soit 2CrUn atlas de classe C sur une variété à bord M donne à M une structure de variété différentiable. 1un représentant d une classe de C/. Soit f2F(M) un représentant d une classe de C (M). On dé nitpIl sera facile de voir que les dé nitions à venir d objets dé nis sur une variété sans bord grâce à sa structure
une dérivation associée à par la formule :
différentiable pourront être généralisées à toute variété différentiable à bord.
df((t))ef7!Sauf mention contraire, dans la suite toutes les variétés sont sans bord.
dt jt=0
1.1.2 Espace tangent
1Il est facile de véri er que nous dé nissons bien une dérivation sur C (M), c est à dire que le résultat nep1Soit M une variété différentiable de classe C . Nous allons dé nir la notion d espace tangent. Cette
dépend que des classes de f et . Nous avons ainsi une relation entre la première dé nition et la seconde. Il3notion est assez immédiate dans le cas d une sphère (par exemple) : c est le plan tangent, dans R , à la sphère
est possible de montrer que cette application est une bijection.3au point considéré; c est donc un sous espace de dimension 2 deR . Ici cependant, nous allons devoir dé nir
ce que sont les vecteurs tangents et le plan tangent sans avoir à faire référence à un quelconque espace plus Nous tirons de tout cela que T M est un espace vectoriel, dont tout vecteur X(p) peut être vu soitp
grand que M. comme la dérivée d une courbe (non unique) passant par p, donc comme un vecteur , soit comme une
Il y a plusieurs façons de faire. Ici nous en donnons deux, équivalentes comme nous le verrons, et complé-
dérivation en p sur les fonctions dé nies au voisinage de p. Nous ne nous priverons pas d utiliser l un ou
mentaires dans la vision qu elles nous donnent du plan tangent. l autre de ces points de vue, selon les besoins.
Première dé nition : tangentes à une courbe Une base de l espace tangent
Soit p un point de la variété M. On noteC l ensemble des courbes : [ 1, 1]!M telles que (0) =p. 1 nPuisque nous avons un espace vectoriel, il est utile d en trouver une base. Soient (x ,...,x ) des coor-
Il existe alors " > 0 suffisamment petit tel que ([ ","]) U pour un ouvert U d une carte locale (U,). @données au voisinage de p. Une base de T M est donnée par les n dérivations (p), pour 1in, dontp ii i i @xNous notons (notation très usuelle souvent sous-entendue) (t) =x ((t)) sur cet intervalle, où lesx sont les j iles courbes associées sont les dé nies par : x ( (t)) = 0 pour j = i et x ( (t)) = t. En particulier, lai i i
applications coordonnées associées à la carte locale (U,). SurC, nous dé nissons une relation d équivalence :
dimension de T M en tant qu espace vectoriel est la dimension de M en tant que variété. Donc tout vecteurp ! @i i ii 0 X(p)2T M s écrit X(p) =X (p) (p), où les X (p) sont des réels. Cette écriture a l avantage de suggérerp id (t) d (t) @x0 1 n () = que X(p) est un vecteur puisqu il a n composantes X (p),...,X (p), et que c est aussi une dérivation. Dedt dt
jt=0 jt=0 plus, si la courbe dé nit ce vecteur, avec bien sûr (0) =p, alors nous avons
Il est aisé de véri er que cette relation d équivalence est indépendante du choix du système de coordonnées
id (t)0 isurU. Cette relation signi e que nous considérons deux courbes et comme équivalentes si elles ont même X (p) =
n dt vecteur tangent en 0 dansR , sur n importe quelle carte locale. jt=0
Par dé nition, l espace tangent enp àM, que l on note T M, est l ensemble des classes d équivalencesp
Nous utiliserons souvent cette relation, que nous écrirons ˙ (0) =X(p).dansC pour cette relation.
Cette dé nition signi e donc que T M est constitué des tangentes des courbes dansM. L indépen-p iNous pouvons considérer l effet d un changement de coordonnées sur les n nombresX (p) : si nous passons
dance vis à vis du choix des coordonnées locales est essentielle pour assurer la cohérence de cette dé nition. i j i i @ i @des coordonnées (x ) aux coordonnées (y (x )), alors si X(p) =X (p) (p) =Y (p) (p), nous avonsi i@x @yIl faut cependant souligner qu un vecteur tangent à M n a pas de sens si M n est pas un sous-ensemble
m nd un R . La tangente est plutôt vue ici dansR , grâce aux cartes locales. j@yj inBien que nous puissions visualiser les vecteurs (au moins dansR ), cette dé nition ne fait pas apparaître Y (p) = (p)X (p)
i@x
de façon évidente une éventuelle structure d espace vectoriel de T M. C est pourquoi nous avons recours àp
eune seconde dé nition. 3. On dit que f est le germe de f en p.10 Chapitre 1 Variétés différentiables Variétés différentiables, généralités 11
Variétés orientables Champs de vecteurs
La variété différentiable (connexe) M est dite orientable s il existe un atlas f(U , )g de M tel que Une section de TM est une application X : M! TM telle que X soit l identité sur M. C est ài i i2I
i i 1dire que pour tout p2M, nous associons un X(p)2T M. Une telle section X de classe C , sera appeléesi (x ) et (y ) désignent les coordonnées de deux cartes quelconques de M s intersectant, le changement de p
1j icoordonnées y (x ) véri e champ de vecteurs sur M. La notion d application de classe C entre variétés est dé nie plus bas.

j Un champ de vecteurs est donc une application qui à tout point de la variété M associe un vecteur au@y
det (p) > 0 1
i dessus de ce point (dans l espace tangent à ce point sur la variété), de façon C . Cette dernière hypothèse@x
i @ i 1équivaut à ce que, siX(p) =X (p) (p), les fonctionsX :M!R soientC sur l ouvert de la carte locale.i@x
pour tout p dans l intersection des ouverts des deux cartes. n o
@ @ Nous notons Γ(M) l espace vectoriel des champs de vecteurs sur M et par la suite, nous noterons souventAinsi,sinousdécidonsquelabase (p) deT M estorientéedanslesenspositif,alorslabase (p)i p j@x @y
X à la place de X(p).jpl est aussi, puisque le changement de base s effectue grâce à une matrice de déterminant strictement positif.
Lorsque le choix d une telle orientation est fait, on dit que M est orientée. Une variété orientable n a que Dérivations et champs de vecteurs
deux orientations possibles.
Nous appellerons dérivation sur l algèbre F(M) toute application linéaire D :F(M)!F(M) qui
véri e la relation de Leibniz :D(fg) =D(f)g +fD(g). Alors tout champ de vecteurX surM dé nit une
Cas d un espace vectoriel
dérivation surF(M) par la relation suivante : (Xf)(p) =X(p)f où dans le second membre,X(p) est pris
Considérons un espace vectorielV de dimension nie comme une variété différentiable. Pour cela, il suffit comme dérivation au sens de la dé nition de T M.p
de prendre une unique carte dont l ouvert est V tout entier, et comme coordonnées la décomposition de tout Localement, cette formule s écrit
élément sur une base quelconque. @fi(Xf)(p) =X (p) (p)Pour un pointv donné, son espace tangent est l ensemble des dérivations sur les fonctions dé nies sur un i@x
voisinage de v. Soit f une telle fonction. Tout élément x de V dé nit alors une dérivation, par la formule : nC est la dérivée de f dans la direction de X , comme il est facile de le voir dansR .
Réciproquement, il est facile de voir que toute dérivation de l algèbre F(M) dé nit un champ de vecteurs.
(f(v +hx) f(v))
Donc nous identi ons Γ(M) aux dérivations deF(M).lim
h! 0 h
Crochet de Lie
nqui est la formule usuelle de dérivation dans la direction de x si V =R .
Nous pouvons munir Γ(M) d une structure supplémentaire. Soient X,Y 2 Γ(M) et f2F(M). Puisque
Or, nous savons que l espace vectoriel T V a pour dimension la dimension de V en tant que variété,v
Xf2F(M), nous pouvons lui appliquer Y. Nous obtenons ainsi une application linéaire YX :F(M)!
donc a pour dimension la dimension de V en tant qu espace vectoriel. Il est d autre part facile de voir que
F(M).Maiscetteapplicationn estpasunedérivation(levéri er!).Ilestpossibledeconstruireunedérivation
l espace vectoriel des dérivations dé nies ci-dessus est de cette dimension aussi. Donc nous avons T V ’ Vv
à partir de X et Y, en posantpar l application x7! dérivation dans la direction de x . Ce résultat est valable en tout point v de V.
[X,Y ] =XY YX
Un calcul simple montre que [X,Y ] est une dérivation (i.e. véri e la relation de Leibniz), donc appartient1.1.3 Champs de vecteurs
à Γ(M). Nous appellerons crochet de Lie de X et Y le champ de vecteurs [X,Y ]. Le crochet de Lie est
En chaque point p de M, nous venons de dé nir l espace tangent. Nous avons alors la possibilité de
antisymétrique en X et Y et véri e l identité de Jacobi :
considérer une application qui associe à tout point p deM un vecteur dans T M. C est la notion de champp
de vecteurs. Formalisons ce concept. [X, [Y,Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y ]] = 0
Muni de ce crochet, Γ(M) est une algèbre de Lie (voir Chapitre 2). Son expression locale estFibré tangent
!Nous posons tout d abord j j[ @Y @X @i i[X,Y ] = X YTM = T Mp i i j@x @x @x
p2M
h i
@ @AlorsTM est une variété différentiable, dont il est facile de voir qu elle est orientable, appelée bré tangent On remarque que , = 0. Ceci est une caractéristique des dérivations le long de coordonnées.i j@x @x
4à M .
Un élément de TM est un couple (p,X(p)) avec p2M et X(p)2T M. Cherchons des coordonnées surp Flot d un champ de vecteurs
iTM. Soit (U,) une carte locale sur M, de coordonnées (x ). Pour p2 U, et X(p)2 T M, nous pouvonsp Tout champ de vecteurs X sur M dé nit une équation différentielle
1 n 1 nprendre comme coordonnées du couple (p,X(p)) les réels (x (p),...,x (p),X (p,X),...,X (p,X)) où nous
i @ d (t)décomposons X(p) selon X(p) =X (p,X) (p)2T M. Nous avons donc 2n coordonnées pour caractériseri p@x =Xj(t)
un élément deTM. Cette variété topologique est donc de dimension 2n. De plus, il est facile de voir, grâce à dt
ces coordonnées, que TM est bien une variété différentiable. Il est de même assez facile de montrer que c est dont l inconnue est la courbe : R! M. En chacun de ses points, cette courbe doit avoir pour vecteur
une variété orientable. tangent le vecteur associé à X en ce point. En physique, ce type d équation différentielle est très commune.
Le ot de X, noté t7! (t,p), est l unique solution de cette équationtielle de condition initialeX
Il existe une application surjective particulière :TM!M dé nie par (p,X) =p. C est la projection (0,p) =p pour tout p2M, c est à direX
de TM sur M. Nous remarquons que les ouverts des cartes de TM, dé nies ci-dessus, sont les ouverts
1 d (t,p)X (U)TM. D autre part, en identi ant p2M au point (p, 0) deTM, on peut considérer M comme une =Xj (t,p)Xdtsous-variété de TM.
Le ot de X n est pas nécessairement dé ni pour tout t2 R. On note I(p) le plus grand intervalle sur4. La dé nition précise de bré est donnée au Chapitre 3. On peut juste expliquer ici que comme son nom l indique, un bré
nest une variété qui est une sorte de réunion de copies d une bre type, ici l espace vectoriel R (isomorphe à chaque T M) lequel le ot est dé ni en p 2 M. On peut montrer que pour tous s 2 I(p) et t 2 I( (s,p)), on ap X12 Chapitre 1 Variétés différentiables Variétés différentiables, généralités 13
(t, (s,p)) = (t +s,p). À t donné, l application (t,) :M!M est un difféomorphisme, d inverseX X X X F
( t,). U VX
Pour tout 2R , on peut montrer, en utilisant l unicité du ot, que
(t/ ,p ) = (t,p) X X χφ
1.1.4 Espace cotangent
−1χ◦F ◦φ
Dualité
n mComme T M est un espace vectoriel, il est possible de considérer son dual, que nous noterons T M.p p R R
C est l espace cotangent à M en p. Nous rappelons que le dual d un espace vectoriel est l ensemble des
applications linéaires de cet espace vectoriel vers R. Cet ensemble forme lui-même un espace vectoriel, de
même dimension. Nous noteronsh ,X i2 R le couplage entre 2 T M et X 2 T M, c est-à-direjp jp jp jp pp 1Figure 1.3 L application F est différentiable si F est différentiable en tant qu application entre
(X ).jp jp n mouverts deR etR .
Différentielle d une fonction
Soitf une fonction surM. Si nous considéronsX comme une dérivation,X f2R dépend linéairement Application linéaire tangentejp jp
de X . Ainsi, f dé nit une application linéaire T M!R, donc un élément de T M. On note df(p) ou dfjp p jp Soit F : M ! N une application différentiable. Munissons les deux variétés différentiables M et N cip
i jcet élément, qui ne dépend bien sûr que de f et p. Nous avons ainsi dessus de coordonnées locales (x ) et (y ) respectivement, autour des point p2M et F (p)2N.
Nous voulons dé nir une application linéaire de T M dans T N, canoniquement associée à F et notéep F(p)hdf ,X i =X fjp jp jp T F. Pour cela, nous avons trois manières de faire, totalement équivalentes.p
Nous dirons que df est la différentielle de f en p. Elle ne peut dépendre que des dérivées premières dejp
La première façon de procéder considère un vecteur tangent comme la dérivée d une courbe. Soit X 2jpf en p.
T M. Alors il existe une courbe dansM telle que(0) =p et˙ (0) =X . Nous remarquons alors queFp jp
Une base de l espace cotangent est une courbe dans N qui passe en F (p) à t = 0. Si nous la dérivons en ce point, nous obtenons un vecteur

@ de T N. Par dé nition nous posonsF(p)Nous savons que localement, au dessus d un ouvert U d une carte locale (U,), (p) est une base dei@x
i T M pour toutp2U. Nous notonsfdx g sa base duale. Cette écriture se justi e en effet par la dé nition dep jp dF(t)
i T FX =p jpla différentielle, puisque lesx sontn fonctions dé nies localement sur M et puisque nous avons par dé nition dt jt=0
même de la différentielle
j@ @xj j Nous dé nissons ainsi l application linéaire tangente T F :T M!T N.p p F(p)hdx , (p)i = (p) =ijp i i@x @x
La seconde façon de procéder consiste à considérer X comme une dérivation sur les fonctions dé niesIl est aisé de véri er que dans cette base, jp
surM. Soitf :N!R une fonction surN. Nous remarquons quefF est une fonction dé nies sur M. Par
@f i dé nition, nous posons :df = (p)dxjp jpi@x
T FX f =X (fF )p jp jp
Fibré cotangent et 1-formes différentielles
1Il est possible de montrer que T FX est bien une dérivation sur C (N), dé nissant ainsi un élément dep jp pComme pour T M, nous pouvons considérer la variété différentiablep T N.F(p)[
T M = T Mp En n, la troisième façon de dé nir l application linéaire tangente peut se faire par son expression dans
p2M i jdes cartes locales, de coordonnées (x ) sur M et (y ) sur N. Si dans ces coordonnées nous posons
appelée bré cotangent de M. j 1 n j 1 nF (x (p),...,x (p)) =y (F (x (p),...,x (p)))1 Une section de classe C , :M!T M, de ce bré, est appelée une 1-forme différentielle sur M.
1 j j iC estdoncuneapplicationquiàtout p2M associeunélément deT M.Onnote Ω (M)l espacevectorieljp p (que nous abrégeons sous la forme y =F (x )), nous posons
1 des 1-formes différentielles sur M. Ainsi, si f2F(M), nous avons df2 Ω (M) (df :p7!df 2T M). !jp p
jiLocalement, au dessus d un ouvert U d une carte locale (U,) deM, nous pouvons écrire = dx avec @ @F @i T F = (p)1 i p i i j :U!R fonction C . Le couplage avec un champ de vecteurs X s écrit h,Xi = X . Par recollement @x @x @yi i
1sur tous les ouverts des cartes locales, ce couplage donne une fonction C sur M :
et nous prolongeons par linéarité. n o jh,Xi(p) =h ,X i2R @ @ @Fjp jp De ce point de vue, dans les bases (p) et (p) ,T F est la matrice (p) . Cela nous permeti j p i@x @y @x
j1.1.5 Applications différentiables entre variétés @Fde dé nir le rang de F en p comme le rang de la matrice (p) . Cet entier est indépendant du choixi@x
Dé nition des coordonnées, mais dépend du point p considéré.
Soient deux variétés différentiables M et N. Une application F : M ! N est différentiable de
r r Si nous ôtons la dépendance en p, nous avons dé niclasseC , si pour tout p2M, il existe une carte locale (U,) deM autour de p, de classe C , et une carte
r 1 rlocale (V,) de N, de classe C , telles que F (U)V et F soit de classe C (voir gure 1.3). TF :TM!TN
Ainsi, pour parler de dérivabilité d une telle application, nous sommes obligés de composer à la fois à
1droite et à gauche par les homéomorphismes dé nissants les cartes locales. application C entre variétés différentiables. Cette application est aussi notée F :TM!TN./
/
/
/
14 Chapitre 1 Variétés différentiables Tenseurs et formes différentielles 15
Application pull-back 1.2.1 Rappel sur les tenseurs
1 1Soit maintenant 2 Ω (N) et X2 Γ(M). On dé nit F 2 Ω (M) par Dé nitions
Soient E et F deux espaces vectoriels réels de dimensions p et q respectivement. Nous notons E et F
hF ( ),X i =h ,T FX i jF(p) jp jF(p) p jp leur espace vectoriel dual. Pourf2E , g2F , x2E ety2F, nous posons (f
g)(x,y) =f(x)g(y). Nous
dé nissons ainsi f
g comme une forme bilinéaire surEF. C est le produit tensoriel des deux formes
j j ien tout p2M. Localement, si y =F (x ), nous avons
f et g.
1 p 1 q Sife ,...,eg est une base de E etff ,...,f g une base de F , alors l espace vectoriel des formes jF = ( F )dFj i jbilinéaires sur EF admet pour base les pq éléments e
f .
Par dé nition, l ensemble des formes bilinéaires sur EF est notéE
F et appelé produit tensorielC est une formule qui peut se révéler utile en pratique. F est appelée l application pull-back associée à i jde E et F . Tout élément T2E
F s écrit donc T =T e
f .ij
F. Nous savons d autre part que tout vecteur de E peut être considéré comme une forme linéaire sur E ,
c est à dire comme élément de E (en dimension nie, nous avons E ’E). Nous pouvons donc appliquer
Pour résumer, nous avons donc ce schéma de construction à E et F a n de dé nir le produit tensoriel E
F’ E
F . Une base de
E
F est alorsfe
fg oùfeg etffg sont des bases de E et F.i j i j
1 1F :M!N F :TM!TN F : Ω (N)! Ω (M) Nous avons alors les règles algébriques suivantes, faciles à véri er : si x,x ,x 2E,y,y ,y 2F et2R,1 2 1 2
alors
Nous pouvons encore (et nous le ferons par la suite) étendre ces dé nitions. Pour le moment, nous allons
dé nir F :F(N)!F(M) par la formule : x
(y +y ) =x
y +x
y1 2 1 2
(x +x )
y =x
y +x
y1 2 1 2F f =fF
( x )
y =x
( y ) =(x
y)
pour f2F(N). On montre alors que
Nous pouvons itérer le processus de tensorialisation et dé nir ainsi E

E
F

F. Pour la suite,
d(F f) =F (df) nous particularisonsF en prenantF =E . Nous obtenons alorsE

E
E

E oùE apparaîts
fois etE r fois. Les éléments de cet ensemble sont des formes (r +s)-linéaires surE E EE.
i ...i1 s j j1 rUn tel élément s écrit T = T e

e
e

e , c est un tenseur de type (s,r). Nousi1 isj1...jr
F G i ...i1 sIl est facile de véri er que pour M N P où M, N et P sont des variétés différentiables, nous dirons que les coefficients T sont les coordonnées du tenseur T dans la base (e ).ij1...jr
iavons : 0 j 0 1 i jEffectuons un changement de base e = a e dans E. Nous avons alors e = (a ) e . Il est facile deji i j
montrer que les coordonnées du tenseur T se transforment selon : (GF ) =G F (GF ) =F G
0i ...i i i k ...k ‘ ‘1 s 1 1 1 s 1 s 1 rT = (a ) (a ) T a aj ...j j j1 r k1 ks ‘1...‘r 1 r1 1En n, si F est un difféomorphisme (i.e. F existe et est C aussi), alors il est possible de dé nir
l application pull-back sur les vecteurs par la formule : De cette relation, nous dirons que les indices bas deT sont covariants, et les indices hauts contravariants.
Un élément de R est par convention un tenseur de type (0, 0). Ces tenseurs sont appelés des scalaires.
1F X = F X Ces tenseurs n ayant pas d indice, par la relation précédente ils sont invariants par changements de base.
C est bien ce qu on attend d un scalaire. Un tenseur de type (1, 0) est bien sûr un vecteur deE, et un tenseur
de type (0, 1) est une forme de E .Immersion, plongement, submersion
i ...i i ...i1 s 1 sNous dirons qu un tenseur T =T e

e est symétrique (resp. antisymétrique) siT =i i1 sNous dirons que l application différentiable F :M!N est une immersion si T F :T M!T N estp p F(p) i ...i i1...is sign() i ...i(1) (s) (1) (s)T (resp. T = ( 1) T ) pour tout 2 S où S est le groupe des permutationss sinjective pour toutp2M. Dans ce cas dimM dimN et le rang deF est égal à la dimension deM en tout
de l ensemble f1,...,sg. Cette dé nition est indépendante du choix de la base.point p de M.
Les opérations de produit tensoriel et de contraction permettent de construire de nouveaux tenseurs à
partir de tenseurs donnés.
Nous dirons que F est un plongement si F est une immersion et si F réalise un homéomorphisme de Le produit tensoriel du tenseur
M sur F (M) (pour la topologie induite). Ceci permet de caractériser les sous-variétés M de N : ce sont les
k ...k1 q ‘ ‘sous-ensembles M N tel que l inclusion i : M ,! N soit un plongement. Si F est un plongement, alors 1 pS =S e

e
e

ek k‘ ...‘ 1 q1 pF (M) est trivialement une sous-variété de N.
avec le tenseur
i ...i1 s j1 jrT =T e

e
e

eEn n, F est une submersion si T F : T M ! T N est surjective pour tout p2 M. Dans ce cas, j ...j i1 is1 rp p F(p)
dimM dimN et le rang de F est égal à dimN en tout point p de M. est le tenseur
k ...k1 q i ...i ‘ ‘ j j1 s 1 p 1 rS
T =S T e

e
e

e
e

e
e

ek k i i‘ ...‘ j ...j 1 q 1 s1 p 1 r
1.2 Tenseurs et formes différentielles
La contraction d un tenseur consiste à sommer l un de ses indices hauts avec l un de ses indices bas.
Références : (Arnold, 1997; Bertlmann, 1996; Bott et Tu, 1995; Bredon, 1997; Choquet-Bruhat et Par exemple, la contraction de
X où 2 E et X2 E, esth,Xi, c est à dire que nous sommons un
i j iDeWitt-Morette, 1982; Doubrovin et al., 1982a; Gallot et al., 2004; Göckeler et Schücker, 1989; Helgason, indice haut (X ) et un indice bas ( ) : X 7! X . Dans ce cas particulier, nous obtenons un scalaire.i i i
2001; Kobayashi et Nomizu, 1996a; Kobayashi et Nomizu, 1996b; Kolar et al., 1993; Nakahara, 1990; Schwarz, Dans le cas général, la contraction d un seul indice fait passer d un tenseur de type (s,r) à un tenseur de
1996; Sternberg, 1983). type (s 1,r 1).16 Chapitre 1 Variétés différentiables Tenseurs et formes différentielles 17
Première application :E
E ’L (E) Champs de tenseurs
Nous pouvons considérer la variété différentiableLa première utilisation de la notion de tenseur est la suivante : nous allons montrer que E
E s identi e
canoniquement, en dimension nie, à L (E), l espace vectoriel des endomorphismes de E. [
(s,r) (s,r)i j T M = T MEn effet, tout élément M =M e
e 2E
E s identi e à l endomorphisme pj i
p2M

i i j i jv =v e 7!Mv =M e e (v) = M v ei j i j i 1qui est un bré au dessus de M, le bré des tenseurs de type (s,r). Des sections C de ce bré seront
appeléeschampsdetenseursdetype (s,r).UnchampdetenseursT detype (s,r)s écritdonclocalement,
ic est à dire, tout simplement, que M est la matrice de cet endomorphisme dans la base feg de E. iij au dessus d une carte locale de M, de coordonnées (x ),
iRéciproquement, tout endomorphisme M2L (E) se met sous forme d une matrice M dans la basefeg,ij
i j @ @et donne l élément M e
e 2E
E dans cette identi cation. Il est facile de montrer que cette identi cation i ...i j jj i 1 s 1 rT =T


dx

dxj ...j1 r i i1 sest indépendante du choix de la basefeg de E, et qu elle est donc canonique. @x @xi
Globalement, il est facile de véri er qu un tenseur de type (s,r) est une applicationF(M)-multilinéaire
Seconde application : l algèbre extérieure 1 1sur Ω (M) Ω (M) Γ(M) Γ(M) à valeurs dansF(M). Un champ de tenseurs de type (0, 0)Vr La seconde utilisation du produit tensoriel va consister à dé nir l espace E desr-formes multilinéaires n est autre qu une fonction sur M, un tenseur de type (1, 0) est un champ de vecteurs, et un tenseur de type
antisymétriques sur E. (0, 1) est une 1-forme différentielle.
Pour cela, considérons l espace vectoriel
i j iLors d un changement de coordonnées x 7! y (x ), les composantes du tenseur se changent selon la
r
E =E

E relation| {z } i i ‘ ‘1 s 1 r@y @y @x @xr fois 0i ...i k ...k1 s 1 sT = T j1...jr k k ‘1...‘r j j1 s 1 r@x @x @y @yVr r et posons E le sous espace vectoriel de
E des éléments complètement antisymétriques.
Dé nissons alors le produit extérieur
En n, si F :M!N est un difféomorphisme, il est possible de dé nir l application pull-back sur les
V V V champs de tenseurs :r s r+s ^ : E E ! E

(!,)7!!^ 1 s 1 1 1 s(F T )( ,..., ,X ,...,X ) =T (F ) ,..., (F ) ,F X ,...,F X1 r 1 r
par
i 1X1 où T est un champ tensoriel sur N, 2 Ω (M) et X 2 Γ(M).isign()(!^)(x ,...,x ) = ( 1) !(x ,...,x )(x ,...,x )1 r+s (1) (r) (r+1) (r+s)r!s!
2Sr+s 1.2.3 Formes différentielles
pour tous x ,...,x 2E. Ce produit a la propriété de commutativité1 r+s Dé nition
Uner-forme différentielle (ou plus brièvementr-forme) sur M est un champ tensoriel de type (0,r)
rs!^ = ( 1) ^! rcomplètement antisymétrique. Nous noterons Ω (M) l espace vectoriel de ces r-formes. Pour r = 0, nous
0avons Ω (M) =F(M). Pour r = 1, nous retrouvons les 1-formes différentielles. Pour r > n (n dimension
Dé nissons l espace vectoriel rde M), nous avons Ω (M) =f0g. Une r-forme différentielle est donc une application F(M)-multilinéaireV V V V0 1 p E = E E E antisymétrique de Γ(M) Γ(M) dansF(M).
V V V0 1 n où nous posons E =R, E =E . Nous remarquons que E =f0g pour n>p = dimension de E. Expressions localesV
iAlors le produit extérieur donne à E une structure d algèbre. C est l algèbre extérieure sur E . Sifdxg est une base locale des 1-formes différentielles, au dessus de l ouvert U d une carte locale de M,
ide coordonnées (x ), nous posons
1.2.2 Tenseurs sur une variété X
i i sign() i i1 r (1) (r)dx ^^dx = ( 1) dx

dx
Dé nition 2Sr
Pour tout p2M, dé nissons l espace vectoriel
i i r1 rpouri <<i . Alors lesdx ^^dx engendrent localement Ω (M) sur les fonctions. C est à dire que1 r
(s,r) toute r-forme ! s écrit, au dessus de U,T M =T M

T M
T M

T Mp pp p p| {z } | {z }
i i i is fois 1 r 1 rr fois ! =! dx

dx =! dx ^^dxi ...i i ...i1 r 1 r
(s,r)
Un élément T 2 T M est un tenseur de type (s,r) au dessus de p. Dans une base associée à des où la seconde sommation porte sur i < < i et où les ! sont des fonctions U ! R. Parfois,p 1 r i ...i1 r
icoordonnées (x ) au voisinage de p, il s écrit cette seconde portera sur tous les indices i ,...,i , ce qui suppose que l on étende la dé nition1 r
i1 irdes dx ^^dx à tous les (i ,...,i ) et que les ! :U!R deviennent des fonctions complètement1 r i ...i1 r
1@ @i ...i j1 jr antisymétriquessurleursindices;ilfaudraalorsaussiplacerunfacteur devantlasomme.Nousl indiquerons1 s r!T =T (p) (p)

(p)
dx

dxjp j ...j1 r i i jp jp1 s@x @x quand ce sera le cas.

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