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[GJamP] Actes des Rencontres d'Analyse Complexe (Poitiers-Futuroscope, 1999), 81–104, Atlantique, Poitiers, 2002. Zeros de fonctions holomorphes et contre-exemples en theorie des radars Gustavo GARRIGOS, Philippe JAMING & Jean-Baptiste POLY? ? Mathematiques SP2MI, BP 179, 86960 Futuroscope Cedex, FRANCE Resume: Nous montrons comment les solutions aux problemes de type re- construction de phase sont liees aux zeros de fonctions holomorphes. En par- ticulier, le probleme d'ambiguite radar se separe en deux problemes distincts. Le premier, que nous appelons probleme restreint, ne fait pas intervenir les zeros de fonctions holomorphes et est entierement resolu dans [Jam4]. Pour le second, nous apportons une reponse partielle via une discretisation du probleme. On montre ainsi que les solutions qui ne sont pas deja des solutions du probleme restreint sont rares, mais existent. Mots Cles: Probleme d'ambiguite radar. AMS subject class : 42B10, 81S30, 94A12. 1. Introduction. Les problemes de reconstruction de phase apparaissent dans de nombreux domaines de la physique (optique, cristallographie, physique quantique ... cf. [FG] [Hu], [KST]). Il s'agit de reconstruire un signal a partir de la seule donnee du module de sa transformee de Fourier, la phase etant en general perdue quand on mesure ces signaux.

  • partenaire d'ambiguite

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  • probleme d'ambiguite radar


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Source : univ-orleans.fr
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[GJamP] Actes des Rencontres d’Analyse Complexe (Poitiers-Futuroscope, 1999), 81–104, Atlantique, Poitiers, 2002. Z´erosdefonctionsholomorphesetcontre-exemplesenth´eorie des radars ´ Gustavo GARRIGOS, Philippe JAMING & Jean-Baptiste POLYpecodeCeFRx,CEANth´eMaPB,IM2PSseuqitamosurut0F96869,17 R´ume´:uoNnomslotuoisnuapxorlbtronscommentlessetsdme`ee-eryp es constructiondephasesontli´eesauxze´rosdefonctionsholomorphes.Enpar-ticulier,leprobl`emedambiguite´radarses´epareendeuxproble`mesdistincts. Lepremier,quenousappelonsproble`merestreint,nefaitpasintervenirles ze´rosdefonctionsholomorphesetestenti`erementr´esoludans[Jam4]. Pourlesecond,nousapportonsunere´ponsepartielleviaunediscre´tisationdu proble`me.Onmontreainsiquelessolutionsquinesontpasd´ej`adessolutions du probleme restreint sont rares, mais existent. ` MotsCle´s:ra.mbigedaeraduit´me`lborP AMS subject class :42B10, 81S30, 94A12. 1.Introduction. Lesprobl`emesdereconstructiondephaseapparaissentdansdenombreuxdomainesdela physique (optique, cristallographie, physique quantique ...cf. s’agit de[FG] [Hu], [KST]). Il reconstruireunsignal`apartirdelaseuledonn´eedumoduledesatransform´eedeFourier, laphasee´tanteng´en´eralperduequandonmesurecessignaux.Detelsprobl`emessonten g´en´eralmalpose´set,sanshypoth`esesspl´ntaires,ilsontuneinnit´edesolutions. up eme Ilsetrouvequel´etudedeze´rosdefonctionholomorphesentreenjeudansladescription dessolutionsdetelsproble`mes(voirsection2.1). Danscetarticle,nousnousconcentronssurleprobl`emedambiguit´eradarou,pluspr´eci-s´ement,suruneversionendimensionniedecelui-ci: N ´=Xaneint Etantdonne´unpolynˆometrigonom´etriquef(t)spleustoerinrmte-oˆnylod,e´ n=0 N mestrigonom´etriquesg(t) =Xbneinttels que n=0 (PN)|Af(k, t)|=|Ag(k, t)|pour toutkZ, tR o`uAf(k, t) =Xanankeint. n Notreprincipalr´esultatestque,pourN,3elrpbo`lmeePNestbienpos´e(i.e.qu’il n’a quedessolutionstriviales)a`moinsquelescoecients(a0, . . . , aN) def`tannnetreiappanunecertainevari´ete´semi-alge´briquer´eelledeCN+1 Dede codimension reelle au moins 1. ´ plus,nousde´crivonsentie`rementcettevarie´t´edanslespetitesdimensions(N= 3 etN= 4) et montronsquelleestdecodimensionr´eelleexactement1.Enn,desexemplesdepolynoˆmes lacunairesmontrentquecettevari´ete´nestpasvidede`squeN3. 263
264 Cetarticleestorganise´commesuit:dansleprochainchapitre,nousd´ecrivonsquelques proble`mesdereconstructiondephase,lasection2.3´etantconsacre´eauprobl`emedambiguite´ radar.Lerˆoledecettepartie,quireprendlesr´esultatsdusecondauteur[Jam4],estessen-tiellementintroductif.Ensuite,nousexpliquonslepassageduprobl`emedambiguite´radarau proble`me(PNons4ectiLess).irtpoicna`aledcsompl`eteepsevitcs5tertnocrsaes´eenemontc des solutions pourN= 3 etNsuoccnulE.n,non=4roe´eme`rap6htelecasontisdonslan principaletsapreuve,lecaslacunaire´etantexpose´en6.4.
2.P ` roblemes de reconstruction de phase. 2.1.l.Leplboreme`ne´gare´ructonstephaiondlbe`psorreceemdsiuq,esLeusplmpsidele survient en optique, est le suivant : Probleme 1(Reconstruction de Phase). ` Soientu, vL2(R)mpcortpoupass`oneuqsellettcaxuofcnited|Fu(x)|=|Fv(x)|pour tout xR(Fnartrofsee´moFedieur.Pr)t-eud´ondeiuertnale´atvdeu? Dessolutionstrivialesa`ceproble`mesontv(t) =cu(t+a) etv(t) =cu(t+a) aveccT etaR,o`uTd´eytuepli,siofeutTo1.ledumodeeslpxecsmobmerseonblednsemelesign avoirdautressolutions.D´ecrivonslesbri`evement: Commeuppusctroea`tseneiW-ye,reor`eth´ePalemedtcd,moape`lsarpFuest une fonc-tionentie`redordre1detypeni.Dapr`eslethe´ore`medeHadamard,Fuadmet donc une factorisation de la forme : eα0+α1zzkm=Y11zzkez/zk ega avecmN,α0, α1Cet (zkszlero´e)edsemocsxelpFu. Commev´lemeestrottna`uspp compact,FvroemmefeemopC.mourmdacafenutetisaritomˆladeonx´eelr: 1zxkex/zk=1zxkex zkonend´eduitfacilementque(th´eo`eduˆa`Walther[Wa]): rem Une fonctionvL2(R)sa`oppucortacmp´etveri|Fv(x)|=|Fu(x)|pour toutxRsi et seulement s’il existecT,aRet un choixζk∈ {zk, zk},k= 1,2,3, . . ., tels que pour toutzC, Fv(z) =ceiazeα0+α1zzmkY=11ζzkez/ζk. Le choixζk∈ {zk, zk}el´peaprasezero flipping. Danscethe´ore`me,c,aainsi que le choixζk=zkpour toutk, correspondent aux solutions triviales.Onvoitdoncque,de`squeFurosnxzeeelsonr´auadsueomnigujus,´enoetonnc ´ ilexistedessolutionsnontrivialespourleprobl`eme1.Onpeutdoncsedemandersides conditionssuppl´ementairespeuventimpliquerlunicite´delasolution.Parexemple,nila positivite´deuugalir´te´earil,nC,enussent`agarantirlinu´tic(ecf.[Jam4]).
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