Groupe de renormalisation - Application au système d'Ising

De
Publié par

Groupe de renormalisation Application a Ising 1D Application a Ising 2D Conclusions Groupe de renormalisation - Application au systeme d'Ising G. Chardin CSNSM, Univ Paris-Sud et CNRS/IN2P3 October 5, 2011 G. Chardin Groupe de renormalisation - Application au systeme d'Ising
  • donne lieu au prix nobel de physique decerne
  • operation de changement de description
  • chardin groupe de renormalisation - application au systeme d'ising ¶
  • sommation partielle sur les indices pairs
  • groupe de renormalisation application
  • spins
  • spin
Publié le : mercredi 28 mars 2012
Lecture(s) : 57
Source : ensta-paristech.fr
Nombre de pages : 22
Voir plus Voir moins

Groupe de renormalisation
Application `a Ising 1Dcation `a Ising 2D
Conclusions
Groupe de renormalisation - Application au
syst`eme d’Ising
G. Chardin
CSNSM, Univ Paris-Sud et CNRS/IN2P3
October 5, 2011
G. Chardin Groupe de renormalisation - Application au syst`eme d’IsingGroupe de renormalisation
Application `a Ising 1Dcation `a Ising 2D
Conclusions
Plan du cours “Groupe de renormalisation”
Introduction
Le groupe de renormalisation et Ising 1D
Le groupe de renormalisation et Ising 2D
Quelques conclusions
G. Chardin Groupe de renormalisation - Application au syst`eme d’IsingGroupe de renormalisation
Application `a Ising 1Dcation `a Ising 2D
Conclusions
Groupe de renormalisation
Technique assez r´ecente, ´etudi´ee au d´ebut des ann´ees 1970
...qui a donn´e lieu au prix Nobel de Physique d´ecern´e `a
Kenneth Wilson en 1982
Id´ee fondamentale: ´etudier un syst`eme sous les op´erations de
changement d’´echelle, c’est-`a-dire la r´esolution avec laquelle
on le regarde
Comment varie la description d’un syst`eme et de ses
couplages lorsque l’on change l’´echelle d’observation ?
Id´ee assez abstraite, que l’on va chercher `a rendre concr`ete
grˆace aux syst`emes d’Ising `a une et `a deux dimensions
Cours bas´e sur un article de H. Maris et L. Kadanoff, grand
artisan du groupe de renormalisation:
H. Maris and K.P. Kadanoff, American Journal of Physics 46
(1978) 652
G. Chardin Groupe de renormalisation - Application au syst`eme d’IsingGroupe de renormalisation
Application `a Ising 1Dcation `a Ising 2D
Conclusions
Groupe de renormalisation
Id´ee derri`ere le groupe de renormalisation:
Supposons que l’on ne soit capable de voir le syst`eme de spins
qu’avec une r´esolution de 2 distances atomiques (blocs de
2×2 spins, mais pas plus petit)
Comment d´ecririons-nous le syst`eme r´esultant ?
En particulier, comment d´ecririons-nous les nouvelles
constantes de couplage des blocs de spins de 2×2 spins,
consid´er´ees comme des entit´es individuelles ?
Si l’on est capable de r´ealiser cette op´eration de changement de
description `a travers un changement d’´echelle, rien n’interdit
de recommencer et de regarder comment ´evolue la constante
de couplage (en particulier, tend-elle vers 0 ou vers∞ ?
Caract´erisation d’un point critique: longueur de corr´elation
infinie, donc conserv´ee sous les op´erations de changement
d’´echelle
On va donc rechercher les points fixes sous les transformation
d’´echelle G. Chardin Groupe de renormalisation - Application au syst`eme d’IsingGroupe de renormalisation
Application `a Ising 1Dcation `a Ising 2D
Conclusions
Groupe de renormalisation
1234567
Partons de l’expression maintenant habituelle du hamiltonien
du syst`eme d’Ising `a une dimension:
NX
H =−J S Si i+1
i=1
Fonction de partition associ´ee:
" #
NX X X X X1−βEαZ = e = ··· exp JS Si i+1
kT
{α} S =±1 S =±1 S =±1 i=11 2 N
G. Chardin Groupe de renormalisation - Application au syst`eme d’IsingGroupe de renormalisation
Application `a Ising 1Dcation `a Ising 2D
Conclusions
Groupe de renormalisation
1234567
R´ealisons une moyenne partielle sur les sites pairs. Notant
K = J/kT:
X X
Z = exp[K (S S +S S )]exp[K (S S +S S )]···1 2 2 3 3 4 4 5
S =±1S =±11 2
qui s’´ecrit apr`es sommation partielle sur les indices pairs:
X X
K(S +S ) −K(S +S ) K(S +S ) −K(S +S )1 3 1 3 3 5 3 5··· e + e e +e
S =±1S =±11 3
G. Chardin Groupe de renormalisation - Application au syst`eme d’IsingGroupe de renormalisation
Application `a Ising 1Dcation `a Ising 2D
Conclusions
Groupe de renormalisation
De fa¸con assez miraculeuse (due au fait que la variable de
spin S ne peut prendre que les valeurs±1), on peut r´e´ecrirei
chaque terme exp[K (S S +S S )] sous la forme1 2 2 3
0K(S +S ) −K(S +S ) K S S1 3 1 3 1 3e +e = f (K)e
Consid´er´e comme un syst`eme de deux ´equations `a deux
inconnues, ce syst`eme a pour solution unique (Exercice):
10K = ln(cosh2K)
2

f (K) = 2 cosh2K
G. Chardin Groupe de renormalisation - Application au syst`eme d’IsingGroupe de renormalisation
Application `a Ising 1Dcation `a Ising 2D
Conclusions
Groupe de renormalisation
Comme la fonction de partition comporte N/2 termes du type
exp[K (S S +S S )], elle va s’´ecrire sous la forme:1 2 2 3
X X
0N/2 K (S S +S S +...)1 3 1 3Z (N,K) = ···f (K) e
S =±1 S =±11 3

N/2 0= f (K) Z N/2,K
Notre op´eration de sommation partielle sur les spins pairs
nous a donc permis de relier la fonction de partition `a N spins
`a celle `a N/2 spins, mais avec un changement de la constante
de couplage
0Il est facile de montrer (Exercice) que K est inf´erieure `a K,
ce qui correspond indiff´eremment `a une diminution de la
constante de couplage ou `a une augmentation de la
temp´erature
G. Chardin Groupe de renormalisation - Application au syst`eme d’IsingGroupe de renormalisation
Application `a Ising 1Dcation `a Ising 2D
Conclusions
Groupe de renormalisation
La diminution de la constante de couplage n’est pas
surprenante, car on regarde maintenant la corr´elation entre
spins `a deux sites de distance au lieu d’un
A temp´erature infinie, la fonction de partition est simplement
donn´ee par le nombre d’´etats du syst`eme, soit:
X
−βE NαZ = e = 2
{α}
Utilisons maintenant la condition d’extensivit´e de l’´energie
libre F en d´efinissant la fonction ζ :
F =−kT lnZ ≡−NkTζ
G. Chardin Groupe de renormalisation - Application au syst`eme d’IsingGroupe de renormalisation
Application `a Ising 1Dcation `a Ising 2D
Conclusions
Groupe de renormalisation
En utilisant la relation de r´ecurrence entre Z(N,K) et
0Z(N,K ) trouv´ee plus haut:

N/2 0Z(N,K) = f (K) Z N/2,K
on obtient alors la relation:

N/2 0−NkTζ(K) =−kT ln f (K) Z N/2,K

N N 0=−kT lnf + ζ K
2 2
G. Chardin Groupe de renormalisation - Application au syst`eme d’Ising

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.