II Continuité et limites

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II – Continuité et limites C'EST TRÈS LIMITE MAIS ÇA CONTINUE -------------------------------------- 2 À SAUTE FONCTION ------------------------------------------------------------ 4 DINOSTRATE PASSE À LA LIMITE --------------------------------------------- 6 LES BORNES ATTEINTES, IL N'Y A PLUS DE LIMITE ------------------------- 8

  • continuité

  • courbe représentative

  • outils limite

  • courbe représentative de ? sur l'écran de la calculatrice

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Publié le : lundi 18 juin 2012
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II – Continuité et limites C'EST TRÈS LIMITE MAIS ÇA CONTINUE 2ÀSAUTE FONCTION 4DINOSTRATE PASSE À LA LIMITE 6LES BORNES ATTEINTES,IL NY A PLUS DE LIMITE 8
Objectif
Outils
C'EST TRÈS LIMITE MAIS ÇA CONTINUE
Démontrer la continuité ou la discontinuité en un réel de différentes fonctions. Limite en un réel, limite à droite et à gauche en un réel. Définition de la continuité en un réela d'une fonction réelle de variable réelle, sous la formelim (x)=f(a). xa Théorème surlimf(u), lorsqueu converge vers un réela etf admet une n n→+∞ limite en a. Ces théorèmes sont rappelés en début de texte.
On se propose d'étudier la continuité en 0 de différentes fonctions.
Rappels On dit qu'une fonctionf, définie ena, est continue ena, sifadmetf(a) pour limite ena. Si (un) ifest une fonction qui admet pour limiteAena, est une suite de réels convergeant versa, et s alorslimf(u)=A. n n→+∞
Exercices 1 1. Soitfla fonction définie surRparf(x)=xsinsix0etf(0)=0. Tracer la courbe représentative defsur l'écran de la calculatrice graphique. Étudier la continuité defen0. 1 x e 2. Soitgla fonction définie surRparg(x)= six<0,g(x)=xlnx six>0, etg(0)=0. x Étudier la continuité degen0. 13. Soithla fonction définie surRparh(x)=sin six0 eth(0)=0⎜ ⎟ x ⎝ ⎠ Tracer la courbe représentative dehsur l'écran de la calculatrice graphique. Étudier la continuité dehen0. On pourra considérer les deux suites (u) et (v) définies, pour tout n n π entier natureln, paru=2n.πetv=2n.π+et raisonner par l'absurde. , n n 2
II – Continuité et limites
C'est très limite mais ça continue
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x 4. SoitFla fonction définie surRpar :F(x)= six0 etF(0)=01 x 1+e a. Étudier la continuité deFen0. F(x) b. SoitTla fonction définie surRparT(x)= six0 etT(0)=0. x Étudier la continuité deTen0. c. Relativement à la courbe représentative de la fonctionF, quelle est l'interprétation graphique des limites deTà droite et à gauche en zéro ?
5. On appelle fonction partie entière, et on noteE, la fonction qui, à tout réelx, associe le plus grand entier inférieur ou égal àx. En conséquence, pour tout réelx, on a :x1<E(x)x. On considère les fonctionsG,GetGdéfinies surRpar : 1 2 3 1G(0)=0 et, pour tout réelx non nul,G(x)=E; 1 1⎜ ⎟ x ⎝ ⎠ 1G(0)=1 et, pour tout réelx non nul,G(x)=x. E;2 2⎜ ⎟ x ⎝ ⎠ 21G(0)=0 et, pour tout réelx non nul,G(x)=x. E . 3 3⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Esquisser les courbes représentatives de ces trois fonctions, puis étudier la continuité de chacune d'elles en 0.
12 6. SoitHla fonction définie surRparH(x)=xsin six0 etH(0)=0.⎜ ⎟ x ⎝ ⎠ a. Tracer la courbe représentative deHsur l'écran de la calculatrice graphique. b. Démontrer queHest continue en0. Démontrer queHest dérivable surRet donner l'expression deH '(x) pour tout réelx. c. Étudier la continuité en0de la fonctionH '.
II – Continuité et limites
C'est très limite mais ça continue
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ÀSAUTE FONCTION
ObjectifExaminer des fonctions discontinues en certains réels et critiquer les représentations graphiques inexactes fournies par les calculatrices graphiques. Étudier la continuité en un réel de la somme, du produit, de la composée de deux fonctions, suivant que chacune d'elles est, ou non, continue. OutilsLimite en un réel. Limite à droite et à gauche. Définition de la continuité en un réelasous la formelim (x)=f(a). xa Continuité de la somme, du produit, de la composée, de deux fonctions continues. Dans cette séquence, la définition et les théorèmes sont rappelés. Une fonctionfcontinue en a si est f admetf(a) pour limite ena. Si deux fonctions sont continues en un point, leur somme, leur produit, est aussi continu en ce point. De même, sifest continue enaetgcontinue enf(a), alors la composée defsuivie degest continue ena. Mais que conclure si l'une des fonctions de départ n'est pas continue "là où il le faut" ? L'étude de quelques fonctions bâties à partir de la fonction « partie entière » va tenter d'apporter des éléments de réponse. A. La fonction « partie entière » On appelle fonction « partie entière », et on noteE, la fonction qui, à tout nombre réelx, associe le plus grand entier inférieur ou égal àx. 1. a. Donner la valeur des expressions suivantes : E(0)E(0,5)E(0,999 9)E(1)E(1,5)E(1,999 999)E(2) E(5,1)E(5)E(1,000 1)E(1)E(0,999)E(0,5)E(0,000 001) b. Tracer la courbe représentative de la fonctionE. 2. Étudier la continuité de la fonctionEen tout réela. 3. Faire tracer par la calculatrice graphique la courbe représentative de la fonctionE. Ce tracé estil correct ? Le cas échéant, expliquer d'où vient l'erreur commise par la calculatrice.
B. Continuité en un réel d'une somme de fonctions Soitaun nombre réel. On rappelle que, si les fonctionsfetgsont définies et continues ena, alors la fonction sommef+gest continue ena.fougétant discontinue ena, peuton conclure surf+g? er 1 cas :fest continue enaetgdiscontinue enaa. Exemple. Soitf :x6x ;g :x6E(x) ; alorsf+g :x6xE(x). Tracer la courbe représentative def+g dans un repère du plan. En quels réelsf+g sembletelle être discontinue ? (on ne demande pas de démonstration). b. Résultat général. Soitf etgfonctions définies en un réel deux a. En raisonnant par l'absurde, démontrer que, sifest continue enaet sigest discontinue ena, alorsf+gest discontinue ena.
II – Continuité et limites
À saute fonction
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e 2 cas :fetgsont discontinues ena. n a. Soitnun entier naturel non nul etϕla fonction définie surRparϕ(x)=E(x)+(xE(x)) . Démontrer queϕest continue surR. b. Soitψla fonction définie surRparψ(x)=E(x)+E(1x). Démontrer queψest discontinue en tout entier relatif et esquisser la courbe représentative deψdans un repère. Faire afficher la courbe représentative deψl'écran de la calculatrice et sur critiquer cette représentation graphique.
c.
Démontrer, en donnant des exemples, que, sifetgsont discontinues ena,f+gpeut être soit continue, soit discontinue ena.
C. Continuité en un réel d'un produit de fonctions Soitaun nombre réel. On rappelle que, si les fonctionsfetgsont définies et continues ena, alors la fonction produitf.gest continue ena. De plus, si une fonctionfest définie ena, continue ena, et si 1 f(a) n'est pas nul, alors la fonction est continue ena. f fougétant discontinue ena, peuton conclure surf . g? er 1 cas :fest continue ena, avecf(a)0, etgest discontinue ena. Démontrer, en raisonnant par l'absurde, quef . gest discontinue ena. e 2 cas :fest continue ena, avecf(a)=0, etgest discontinue enaa. Démontrer, en donnant des exemples, quef . gpeut être soit continue, soit discontinue ena. (On 1 pourra considérer les fonctionsfetgdéfinies surRparf(x)=xetg(x)=pour tout réel non
nul etg(0)=0.) b. On suppose que la fonctiongest bornée au voisinage dea. Démontrer alors quef . gest continue ena. e 3 cas :fetgsont discontinues ena. Démontrer quef . gpeut être soit continue, soit discontinue ena.
D. Continuité en un réel de la composée de deux fonctions On considère dans cette partie une fonctionfdéfinie sur un intervalleI, une fonctiongdéfinie sur un intervalleJcontenantf(I) et un réeladeI. On rappelle que, sifest continue enaet sigest continue enf(a), alors la fonction composéegDfest continue ena.
fétant discontinue enaet / ougétant discontinue enf(a), peuton conclure surgDf?
er 1 cas :fest continue enaetgest discontinue enf(a). Démontrer, en donnant des exemples, quegDfpeut être soit continue, soit discontinue ena.
e 2 cas :fest discontinue enaetgest continue enf(a). 1 Même consigne. On pourra considérer, entre autres,f:x6E(x)+ ;g:x6|x|.
e 3 cas :fest discontinue enaetgest discontinue enf(a) 1 Même consigne. On pourra considérer, entre autres,f:x6E(x)+ ;g:x6xE(x).
II – Continuité et limites
À saute fonction
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Objectif
Outils
DINOSTRATE PASSE À LA LIMITE
Étudier une construction géométrique du nombreπaux mathématiciens due 1 grecs de l’Antiquité et comportant un passage à la limite. sin Limite, pourxtendant vers0, de . Prolongement par continuité.
Il s’agit d’étudier une construction géométrique du nombreπdue aux mathématiciens grecs de l’Antiquité et comportant un passage à la limite. A. Construction de la courbe d’HIPPIAS Hippias d’Élis vivait un peu avant 400 avant JésusChrist. Il inventa la courbe suivante : ABCDest un carré de sens direct. E étant un point mobile sur le quart de cercleBDcentre de A, le segment [AE] tourne à vitesse angulaire constante autour deA, en partant de la position [AB]. Fétant un point mobile sur [AB], etla droite passant parFet perpendiculaire à (AB),part de la position (BC) et se déplace parallèle à ellemême, à vitesse constante, de telle façon que arrive sur (AD)exactement au même instant que [AE] arrive sur [AD]. À tout instant, sauf à l’instant final, le pointMest l’intersection du segment [AE] et de la droite. La trajectoire du pointMest alors laCourbe d’Hippias. On suppose, une unité de temps ayant été choisie, que les deux mouvements démarrent à l’instant t=0s’achèvent à l’instant et t=1.On noteE,Fles positions des pointsE etFl’instant à t, pourtt télément de [0 ; 1] etMla position du pointMpourtélément de [0 ; 1[. t ⎯→ ⎯→ π 1. Tracer un carréABCDde côté1 dm,avec [AB] horizontal et(AB; A D)=. 2 Placer les pointsE,F,M, pour les valeurs suivantes det(à l’exception deM pourt=1). t t t t 1 1 1 3 7 15 31 63 0 , , , , , , , , , 1 .(On pourra construire des bissectrices ) 2 4 8 4 8 16 32 64 En admettant que la courbe soit « continue », relier les différents points pour obtenir la courbe d’Hippias. 2.Le pointMdéfini, pour estil t=1 ? Constater que , lorsquet tend vers1,Ms’approche d’une t tposition limiteH.Évaluer graphiquement la distanceAH.
B. Fonction associée à la courbe d’HIPPIAS Les Grecs de l’Antiquité n’utilisaient pas le concept de fonction. Il est en revanche assez naturel, à notre époque, de rechercher une fonctionfdont la courbe d’Hippias soit la représentation graphique. ⎯→ ⎯→ On se situe dans le repère(A; AB; A D). Pour tout réelt[ de 0 ; 1[, on notex etyet l’abscisse l’ordonnée du pointM. t 1  Référence bibliographique : « Mathématiques et mathématiciens »  Dedron et Itard  éd. Magnard, 1960, p. 415416.
II – Continuité et limites
Dinostrate passe à la limite
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⎯→ ⎯→ 1.Exprimerxen fonction det. Exprimer en fonction detla mesure principale de l’angle(AB, AM ). t x 2. Démontrer que, pourt0,y=. ⎛ π tan ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ On admet donc que la courbe d’Hippias est la représentation graphique de la fonctionfdéfinie sur x ]0 ; 1] parf(x)= pourx1 etf(1)=0.⎛ π tanx ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 3. Faire tracer la courbe représentative defpar la calculatrice graphique. 4. On recherche la limite defen0.
π2 1 Démontrer que si l’on pose=x,f(x)peut s’écrire :f(x)=.cosX.. 2π sin⎜ ⎟ X ⎝ ⎠ En déduire la limite defen0. Expliquer commentfpeut être prolongée par continuité en0. En déduire l’ordonnée du pointH, et comparer avec la valeur obtenue graphiquement.
C. La quadrature du cercle par DINOSTRATE On attribue à Dinostrate, qui vécut un peu plus tard, entre 400 et 300 avant JésusChrist, d’avoir précisé la 2 position du pointHde Dinostrate procédait de façon exclusivement géométrique, et ne se. La démonstration servait pas du concept de limite que ne connaissaient pas les mathématiciens grecs de l’Antiquité. 2 1. Le résultat établi dans la partie B peut s’écrire :AH=AB. Démontrer que cette relation équivaut π q AD mes(DEB) qq à :=,mes(DEB)désigne la longueur de l’arcDEB. AH AD Dinostrate exprimait ce résultat de la façon suivante : Proposition de Dinostrate : Le segment AD est au segment AH comme l’arc DEB est au segment AD. Dinostrate déduisait de cette relation une construction géométrique du nombre que nous appelons aujourd’hui π, puis une quadrature du cercle. 2. Tracer la parallèle à (BH) passant parD. Elle coupe (AB) enP. Construire le symétriqueP’deAAP' par rapport àP. Démontrer que la proposition de Dinostrate entraîne que= π. AB Quelle approximation deπdonne la figure ? 3. Démontrer que l’aire du rectangle de côtés [AD] et [AP’] est égale à l’aire du cercle de rayon [AB]. ⎯⎯→ ⎯→ 4. Placer le pointQtel queP'Q=ABun demicercle de diamètre [. Tracer AQ]. La perpendiculaire à (AQ) passant parP’coupe ce demicercle enR. Vérifier que [P’R] est le côté d’un carré ayant même aire que le disque de rayon [AB]. Dinostrate arrive donc à réaliser un des grands objectifs des mathématiques grecques :la quadrature du cercle, c’estàdire la construction d’un carré ayant même aire qu’un disque donné. La quadrature du cercle n’est en fait pas possible à la règle et au compas, seuls instruments de construction 3 que s’autorisaient les grecs . La méthode de Dinostrate réalise cette quadrature mais en utilisant l’opération de passage à la limite, qui ne permet pas de construction parfaitement exacte, et qui était refusée par les plus puristes des géomètres de l’antiquité. 2  La démonstration figure dans l’ouvrage cité en référence. 3e  Cette impossibilité ne fut établie qu’auXIXsiècle.
II – Continuité et limites
Dinostrate passe à la limite
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Objectif
Outils
LES BORNES ATTEINTES,IL NY A PLUS DE LIMITE
Montrer que l’on peut obtenir des fonctions discontinues à partir de fonctions continues par passages à la limite de suites ou de fonctions, ou par dérivation. Limites, limite à droite, limite à gauche, continuité, démonstration par récurrence.
Il ne faut pas penser que toutes les fonctions sont continues. Mieux, les fonctions discontinues ne sont pas des objets mathématiques aussi rares, aussi abstraits, aussi artificiels qu’on pourrait le croire. Elles peuvent intervenir naturellement, par exemple en électronique, en physique plus généralement, mais aussi en mathématiques. Les exercices de cette séquence présentent différentes situations mathématiques où la continuité mène à la discontinuité.
Les différentes parties sont indépendantes. On rappelle qu’une fonctionfest continue enasifadmet pour limitef(a) ena.
A. Non continuité d’une fonction limite de fonctions continues 1 Pour tout entier naturelnnon nul, on considère la fonctionfdéfinie sur[0;+[parf(x)=. nn n 1+ On noteCla courbe représentative defdans un repère. n n 1. a. SoitnN*. Déterminer le sens de variation def. n Démontrer que les courbesCpassent par deux points fixes. n b. Soitn etmentiers naturels non nuls avec deux n<m. Comparerf(x) etf(x) suivant les m n valeurs dex. En déduire les positions relatives deCetC. n m c. Esquisser les courbesC,C,C. Préciser les tangentes aux points d'abscisses0et1. 1 2 3 2. a. Démontrer que, pour tout réelx positif,f(x) admet une limitef(x). On définit ainsi une n fonctionfsur[0;+[. Expliciter la fonctionf. Tracer sa courbe représentativeC. b. Étudier la continuité defsur[0;+[.
I  Problèmes introductifs
Les bornes atteintes, il n’y a plus de limite
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B. Non continuité de la fonction limite d’une suite croissante de fonctions continues 1 Pour tout entier naturel non nuln, on considère la fonctionfdéfinie surRparf(x)=1. nn 2 (nx)+1 On noteC la courbe représentative def: dans un repère orthogonal (unités 2 cm en abscisses ; n n 5 cmen ordonnées). 1. Étudier les variations def. n 2. Démontrer que, simetnsont deux entiers tels que1m<n, alors, pour tout réelx,f(x)f(x). m n On traduit cela en disant que la suite de fonctions (f) est croissante. n
1 1 3. a. Déterminer les points deCd’abscisses0;;;1;3;4;5;10. 1 4 2 b. Tracer la partie deCcorrespondant à des abscisses comprises entre5et5. 1 c. Démontrer que, pour tout entiernnon nul et tout réelx:f(x)=f(nx). n1 Déduire alors de la question a différents points deC, puis deC, et tracerCetCsur la 2 10 2 10 même figure. 4. a. Démontrer que, pour tout réelx,f(x) admet une limitef(x). On définit ainsi une fonctionfn surR. Expliciter cette fonction puis tracer sa courbe représentativeC. b. Étudier la continuité defsurR.
C. Non continuité d’une limite de suite, par rapport à la condition initiale 1 3 On considère la fonctionfdéfinie surRpar(x)=(x+3x). 2 Pour tout réelade l'intervalleI=[1;1], on considère la suiteudéfinie par son premier termeu=a0 et, pour tout entier natureln, par la relation de récurrenceu=f(u). n+1n Lorsque, pour un certain réela, la suiteupossède une limite, on note celleciL(a). On s'intéresse à la fonctionLainsi définie. 1. Étude graphique et conjecture. a. Étudier les variations defsurI. b. Tracer, pour des abscisses appartenant àI, la courbe représentative defla droite et d’équationy=x. c. Par des explorations graphiques, conjecturer la limite de la suiteu, c’estàdire la valeur deL(a). d. Étudier alors la continuité de la fonctionLsurI. 2. Démonstrations Premier cas: on suppose quea=uappartient à l’intervalle]0;1]0 a. Démontrer que, pour tout entier natureln,uappartient à l’intervalle]0;1]. n b. Démontrer que, pour tout réelxde]0;1],f(x)x. En déduire que la suiteuest croissante. 12 c. Démontrer que, pour tout entier natureln,1u=(1u)(2uu). n+1nn n 2 12 En déduire01u≤ λ(1u), où l’on a poséλ =(2uu). n+1n0 0 2
I  Problèmes introductifs
Les bornes atteintes, il n’y a plus de limite
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Les commentaires (1)
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ranionaji

merci c'est très interssent

dimanche 3 juillet 2016 - 14:47